1、第五节第五节二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分一、二阶常系数线性齐次微分 方程解性质与通解结构方程解性质与通解结构二、二阶常系数线性齐次微分二、二阶常系数线性齐次微分 方程解法方程解法第1页方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程./形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程/为二阶常系数线性非齐次微分方程.第2页定理11.1 设y1(x)，y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)两个解，则 也是方程(3)解，其中C
2、1,C2是任意常数.一、二阶常系数线性齐次微分方程解性质与通解结构证第3页第4页 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)，y2(x)线性组合 ，仍是方程解.那么，是不是方程(3)通解呢？第5页例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程轻易验证：都是它解.由定理11.1 知也是它解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程通解.第6页问题：方程(3)两个特解y1(x)，y2(x)满足什么条件时，才是方程(3)通解？由例1分析可知，假如方程(3)两个特解y1(x)，y2(x)之间不是常数倍关系，那么它们线性组合得到解就必定是方程(3)通解.第7页定义6.1 设y1(x)与y2(
3、x)是定义在某区间内两个函数，假如存在不为零常数k(或存在不全为零常数k1,k2)，使得对于该区间内一切x，有成立，则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关，不然称y1(x)与y2(x)线性无关.比如，例1中 是线性相关，是线性无关.第8页定理6.2 假如函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)两个线性无关特解，则就是方程(3)通解,其中C1,C2为两个任意常数.第9页例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解第10页由定理7.2可写出所给方程通解为其中C1,C2为任意常数.第11页二、二阶常系数线性齐次微分方程解法把 代入方程(3)，整理后得称一元二次方程(5)为
4、二阶常系数线性齐次微分方程(3)特征方程.是方程(3)解，第12页特征方程(5)根为于是都是方程(3)解，且即 线性无关.所以方程(3)通解为第13页于是得到方程(3)一个特解 ，须找出方程(3)另一个特解y2，且第14页取一个满足上式且不为常数u(x),即可得到所求y2,将上式积分两次,得可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)另一个特解线性无关，方程(3)通解为第15页第16页是方程(3)复数形式特解.利用欧拉公式第17页再由定理6.1可知，函数也是方程(3)解，且即 线性无关，故得微分方程(3)通解为其中C1,C2为任意常数.第18页求二阶常系数齐次线性微分方程(3)通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程两个根；2.依据两个特征根不一样情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程通解.可使用下表:两个不相等实根特征方程:微分方程:两个相等实根一对共轭复根两个根r1,r2通解第19页例3 求微分方程 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,第20页例4解第21页第22页例5解第23页
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