1、第二章习题课10/10/1第1页例1：设有一倒摆在只能沿x方向移动小车上，如图(a)所表示。图中，M为小车质量，m为摆质量，2l为摆长，J为摆转动惯量。当小车受到外力u(t)作用时，假如摆角位移较小，试推导描述运动方程。解：倒立摆系统由小车和安装在小车上倒立摆组成。倒立摆是不稳定，假如没有适当控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在平面内运动。若有适当控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器姿态控制模型（姿态控制问题目标是要把空间助推器保持在垂直位置）。10/10/2第2页设小车和摆杆质量分别为M和m，摆杆长为，
2、且重心位于几何中点处，小车距参考坐标位置为，摆杆与铅垂线夹角为，摆杆重心水平位置为，垂直位置为，画出隔离体受力图，设摆杆和小车结合部水平反力和垂直反力分别为H和V，略去摆杆与小车、小车与地面摩擦力。摆杆和小车受力分析图以下：10/10/3第3页1、摆杆围绕其重心转动运动式中J为摆杆围绕其重心转动惯量，为垂直力关于其重心力矩，为水平力关于其重心力矩。2、摆杆重心水平运动3、摆杆重心垂直运动4、小车水平运动10/10/4第4页方程-描述了车载倒立摆运动。因为在这些方程中包含和，所以它们是非线性方程。假如假设角度很小，则。于是可用以下线性化方程表示(1)(4)式：上述四式中消去中间变量，并带入转动惯
3、量，于是为联立可得：10/10/5第5页例2：液压伺服马达数学模型 液压执行元件是自动控制系统中经常采取一个执行机构，它与其它类型执行机构相比，含有体积小、反应快等优点。下列图为液压伺服缸工作原理图，它出滑阀式液压放大器和执行机构油缸组成。它能够控制极大输出功率，而操纵滑阀只需要很小功率。当滑阀处于中间位置时，油缸中活塞两侧压力相等，活塞处于静止状态。然而，当滑阀向右位移 时，油缸腔1与高压油路 相通，于是活塞两侧产生压差 。此压差推进活塞带动负载向右运动，使负载位移 。从液压伺服缸来看，输入量是位移 ，输出量是位移 。10/10/6第6页1、油缸负载特征 进入油缸油量 与滑阀位移 和活塞两侧
4、压差相关。设滑阀位移为 ，活塞两侧单位面积上压差为 ，单位时间内进入油缸油量为 ，变量 与 和 之间关系为非线性，表示为 ，假如工作点为 ，那么液压伺服缸在工作点附近工作时，能够用以下线性化方程式来表示：式中：，。写成增量方程式为：，这就是液压伺服缸负载特征线性化方程。10/10/7第7页n(2)活塞运动方程式。当高压油进入油缸并推进活塞和负载产产位移时，这一运动过程由两种平衡关系来决定。一个平衡关系是进油量和活塞位移量之间关系，可表示为：，或，该方程式表示当不计油压缩和漏泄时，进入油缸油量所占有容积应等于活塞右移容积。另一个平衡关系是因为压差使活塞运动时力平衡，可写成：由上述几式可求得液压伺服缸动态微分方程式为：10/10/8第8页(2)活塞运动方程式。当高压油进入油缸并推进活塞和负载产产位移时，这一运动过程由两种平衡关系来决定。一个平衡关系是进油量和活塞位移量之间关系，可表示为：，或，该方程式表示当不计油压缩和漏泄时，进入油缸油量所占有容积应等于活塞右移容积。另一个平衡关系是因为压差使活塞运动时力平衡，可写成：由上述几式可求得液压伺服缸动态微分方程式为：10/10/9第9页
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