1、2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引发所引发零状态响应零状态响应称为称为单位冲激单位冲激响应响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)例例1 描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解 依据依据h(t)定义定义 有有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。第1页因方程右端有因方程右端有(t)，故，故利用系数平衡法利用系数平衡法。h”(t
2、)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6 =1考虑考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 ,h(0+)=1+h(0-)=1对对t0时，有时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统冲激响应为一齐次解。故系统冲激响应为一齐次解。微分方程特征根为微分方程特征根为-2，-3。故系统冲激响应为。故系统冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1,
3、所以所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t)第2页 例例2 描述某系统微分方程为描述某系统微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解 依据依据h(t)定义定义 有有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知，h(t)中含中含(t)故令故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含为不含(t)某函数某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t
4、)代入式代入式(1)，有，有第3页a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用利用(t)系数匹配，得系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+)h(0-)=3对式对式(4
5、)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+)h(0-)=12故故 h(0+)=3，h(0+)=12第4页微分方程特征根为微分方程特征根为 2，3。故系统冲激响应为。故系统冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得求得C1=3，C2=6,所以所以 h(t)=3e2t 6e3t ,t 0结合式结合式(2)得得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)=T(t)，0因为因为(t)与与(t)为微积分关系，故为微积分关系，故第5页例例3 3 如图所表示如图所表示LTILTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。系统，求其阶跃响应及冲激响应。解：解：（1 1）列写系统微分方程）列写系统微分方程第6页（2 2）求阶跃响应）求阶跃响应第7页第8页（3 3）求冲激响应）求冲激响应第9页第10页第11页验证结论（解法验证结论（解法II）：）：第12页
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