隐藏在势能函数里的信息省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

隐藏在势能函数里信息隐藏在势能函数里信息第第1页页1.引子引子线性恢复力作用下运动线性恢复力作用下运动 永永远远指指向向平平衡衡位位置置力力称称恢恢复复力力。恢恢复复力力大大小小与与偏偏离离/形形变变/位位移移成成正正比比时时，称称为为线线性性恢恢复复力力。受受线线性性恢恢复复力力作作用用质质点点运动方程为：运动方程为：（1）或或（2）解为解为或或A称振幅，称振幅，称角频率称角频率/圆频率，圆频率，/称初相。运动方称初相。运动方式式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。（3）第第2页页xU2.设有一质点受保守力作用沿设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势能函数为轴运动，势能函数为 .势能曲线以下。曲线与势能曲线以下。曲线与x轴交点轴交点a,b,称为称为U曲线曲线零点零点，它们满，它们满足方程足方程:abx1x0 x2在在x=x0,x1,x2处处，势势能能曲曲线线上上点点d,c,e有有水水平平切切线线。它它们们称称为为曲曲线线极极值值点点，又又称称平平衡衡点点。极极值值点点横坐标满足方程：横坐标满足方程：(5)cde(4)o第第3页页xUx1x0 x2极值点可分为以下极值点可分为以下3类：类：1.极大极大 如如e,满足条件满足条件cde3.拐点拐点 如如c,满足条件满足条件2.极小极小 如如d，满足条件，满足条件E Exf fg质点运质点运动范围动范围不稳定平衡点。不稳定平衡点。不稳定平衡点。不稳定平衡点。稳定平衡点。稳定平衡点。质点机械能守恒：质点机械能守恒：o第第4页页 在在保保守守力力场场中中运运动动质质点点，满满足足机机械械能能守守恒恒条条件件。设设能能量量值值为为E E,在在图图中中用用红红色色水水平平线线表表示示。当当质质点点位位于于x处处时时，其其势势能能值值为为兰兰色色箭箭头头所所表表示示，向向下下为为负负；动动能能为为蓝蓝色色箭箭头头所所表表示示，向向上上为为正正。二二者者之之和和为为E E .因因动动能能不不可可能能为为负负，质质点点被被限限制制在在f,g之之间间作作往往复复周周期期性性运运动动,满满足足条件条件E E U(x)。xUx1x0 x2cdeE Exf fg质点运质点运动范围动范围因因动动能能是是非非负负，质质点点运运动动范范围围便便是：是：o第第5页页3.质点在势能曲线极小点附近行为质点在势能曲线极小点附近行为设能量值设能量值E E 只比势能极小值只比势能极小值U(x0)大一个小量大一个小量1:xUx0E Exf fg运动运动范围范围U(x0)E E-U(x0)=1(6)质点运动范围也会很小：质点运动范围也会很小：E E U(x)x1x2-x1r0处处，f(r)0,在在r0,力力f 永永远远指指向向平平衡衡点点r0.这这表表明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。o第第15页页质质点点在在绕绕力力心心旋旋转转同同时时还还要要做做径径向向振振动动，这这是是一一个个什什么么样样复复合合运动呢？可能有两种情况：运动呢？可能有两种情况：rE0r0a.横横向向运运动动周周期期/频频率率与与径径向向运运动动周周期期/频频率率成成简简单单整整数数比比，则则质质点点运运动动轨轨迹迹是是封封闭闭曲曲线线（李李萨萨茹图形）；茹图形）；b.横横向向运运动动周周期期/频频率率与与径径向向运运动动周周期期/频频率率比比值值是是无无理理数数，则则质质点轨迹不封闭。点轨迹不封闭。能能够够严严格格证证实实，在在中中心心力力是是胡胡克克力力情情况况下下，径径向向频频率率：横向频率横向频率=2:1。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴交点。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴交点。o第第16页页 现现仅仅就就能能量量E=E0+E稍稍大大于于圆圆运动能量运动能量E0情况作一讨论。因情况作一讨论。因rE0r0因而质点径向运动范围满足条件因而质点径向运动范围满足条件r1r2将将径径向向运运动动方方程程在在平平衡衡点点r0邻邻域域内内展展开开成成泰泰勒勒级级数数，展展开开到到一级小量：一级小量：可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为o第第17页页因为因为质点径向小振动圆频率质点径向小振动圆频率质质点点横横向向运运动动频频率率能能够够以以下下求求出出：横横向向运运动动偏偏离离匀匀速速圆圆周周运动很小。按圆周运动计算，横向角速度运动很小。按圆周运动计算，横向角速度满足条件：满足条件：向心力公式向心力公式第第18页页即即，在在径径向向运运动动完完成成两两个个周周期期时时间间内内，横横向向运运动完成一个周期。动完成一个周期。质点径向振动圆频率质点径向振动圆频率质点横向运动频率质点横向运动频率力心力心第第19页页5.再看另一个常见中心力再看另一个常见中心力反平方引力情形反平方引力情形反平方引力反平方引力势能函数势能函数等效势能函数等效势能函数 求圆运动半径求圆运动半径令令求得可能圆运动半径求得可能圆运动半径可可用用向向心心力力公式验证公式验证（1）第第20页页当当质点在惯性系中作半径为质点在惯性系中作半径为r0圆运动，能量为圆运动，能量为E0。因为因为等效势函数等效势函数 在在r0处有极小。半径为处有极小。半径为r0圆运动是稳定。圆运动是稳定。r0rE0E+Er1r2求径向振动频率求径向振动频率（2）o第第21页页为求横向频率，写出向心力公式：为求横向频率，写出向心力公式：（3）（2），（），（3）比较，知）比较，知=。力心力心可可证证，轨轨道道是是以以力力心为焦点之一椭圆。心为焦点之一椭圆。第第22页页r0rE0r1r2E力心力心r2r1o可证，只要可证，只要轨轨迹迹都都是是以以力力心心为为焦焦点点之之一一椭椭圆圆。能能量量最最小小可可能能值值是是 ,此此时时轨轨迹迹为圆。为圆。等等效效势势分分析析法法还还能能够够用用以以分分析析陀陀螺螺运运动动。机机械械能能守守恒恒式式加加上上两两个个角角动动量量分分量量守守恒恒式式，就就能能够够将将陀陀螺螺运运动动用用一一个个角角坐坐标标及及其其对对应应角角速速度度表表出出，快快速速得得出出章章动周期。动周期。第第23页页2.自然界秩序自然界秩序 和方向性和方向性 第第24页页一、宏观事物不可逆性一、宏观事物不可逆性 汉汉书书上上记记叙叙了了一一个个故故事事，说说是是汉汉代代有有一一个个名名叫叫朱朱买买臣臣人人，因因家家境境贫贫寒寒，他他妻妻子子不不愿愿与与他他患患难难相相守守，离离他他而而去去。待待到到几几年年后后，朱朱买买臣臣功功成成名名就就，衣衣锦锦还还乡乡时时，这这个个已已经经嫁嫁给给了了他他人人女女人人又又想想破破镜镜重重圆圆。朱朱买买臣臣则则在在马马前前泼泼水水以以明心志。这就是成语明心志。这就是成语覆水难收覆水难收来历。来历。在在自自然然界界，我我们们天天天天都都能能见见到到不不可可能能自自动动返返回回原原状状过过程程：玻玻璃璃杯杯落落地地摔摔成成一一堆堆玻玻璃璃碴碴；宠宠物物狗狗与与流流浪浪狗狗玩玩了了一一会会儿儿，前前者者染染上上了了满满身身跳跳蚤蚤；克克服服摩摩擦擦力力做做功功全全部部变变成成热热，等等。等等。我我们们在在大大学学物物理理教教材材用用几几个个编编号号分分子子在在容容器器左左右右两两边边分分布布可可能能性性来来说说明明某某种种宏宏观观分分布布状状态态出出现现几几率率。现现在在我我们们来看稍微复杂情形。来看稍微复杂情形。第第25页页 在在教教科科书书中中，我我们们讨讨论论过过大大量量分分子子在在容容器器左左右右两两半半中中分分布布可可能能情情况况，从从而而导导出出了了熵熵波波尔尔兹兹曼曼表表示示式式。实实际际上上，分分子子分分布布不不但但有有位位置置分分布布，还还有有能能量量分分布布。我我们们来来说说明明这这个问题。个问题。密密闭闭容容器器中中定定量量气气体体，不不但但有有确确定定总总分分子子数数N和和体体积积V,而而且且有有确确定定内内能能E。以以i 标标识识一一个个可可能能微微观观状状态态，在在其其中中，单个分子能量为单个分子能量为i，处于这个能量状态分子数为，处于这个能量状态分子数为Ni,于是有于是有打打个个比比喻喻：3个个人人分分3个个苹苹果果。此此处处3个个人人表表示示总总分分子子数数N=3;3个个苹苹果果表表示示总总能能量量E=3.就就单单个个分分子子而而言言，可可能能能能量有四种：量有四种：第第26页页总体能量分布情况有以下诸种：总体能量分布情况有以下诸种：N=NiE=NiiNi微观能量状态微观能量状态1每人每人1个苹果个苹果a,b,cN1=0;N2=3；N3=0；N4=01微观能量状态微观能量状态21人独占人独占3个苹果个苹果,2人无苹果人无苹果a,bcN1=2;N2=0;N3=0;N4=13a,cbb,ca微观能量状态微观能量状态31人人2个苹果个苹果1人人1个苹果个苹果1人无苹果人无苹果abcN1=1;N2=1;N3=1;N4=06几率最几率最大能量大能量分布状分布状态态acbbacbcacabcba微观状态数微观状态数第第27页页可可见见，假假如如认认可可每每一一个个微微观观态态都都是是平平权权，则则几几率率最最大大苹苹果果分分配配方方式式并并非非1，1，1，而而是是2，1，0.自自然然法法则则与与人人类类社社会会法则有所不一样！法则有所不一样！第第28页页第第29页页第第30页页