1、第三章函数迫近与FFT计算方法 有理迫近、三角函数迫近与有理迫近、三角函数迫近与FFT1第1页本节内容本节内容n 有理函数迫近有理函数迫近l 有理迫近与连分式有理迫近与连分式l Pade 迫近迫近n 三角函数迫近三角函数迫近l 最正确平方迫近最正确平方迫近l 最小二乘最小二乘l FFT（快速（快速 Fourier 变换）变换）2第2页有理迫近有理迫近用有理函数来做函数迫近用有理函数来做函数迫近 有理迫近有理迫近若函数在一些点附近无界时，则使用有理迫近可若函数在一些点附近无界时，则使用有理迫近可能会取得很好迫近效果能会取得很好迫近效果3第3页举例举例例：例：Taylor 展开展开连分式连分式ex
2、35.m4第4页Pade 迫近迫近设设 f(x)Taylor 展开为展开为部分和记为部分和记为Pade 迫近迫近设设 f(x)CN+1(-a,a),N=m+n,若有理函数若有理函数其中其中 Pn(x)与与 Qm(x)无公因式，且满足无公因式，且满足则称则称 Rnm(x)为为 f(x)在在 x=0 处处(n,m)阶阶 Pade 迫近迫近k=0,1,N5第5页三角多项式迫近三角多项式迫近l 在在 0,2 上带权上带权 (x)=1 正交三角函数族：正交三角函数族：1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，三角函数迫近主要用于周期函数数值迫近三角函数迫近主要用于周期函数数值迫近三角多项式
3、迫近三角多项式迫近l 设设 f(x)是以是以 2 为周期平方可积函数，则可利用为周期平方可积函数，则可利用上面三角函数族对其进行数值迫近。上面三角函数族对其进行数值迫近。6第6页最正确平方三角迫近最正确平方三角迫近l f(x)以以 2 为周期且平方可积，则其在为周期且平方可积，则其在 0,2 上最正确平方三角迫近为上最正确平方三角迫近为q 最正确平方三角迫近最正确平方三角迫近(k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)其中其中当当 n 趋于无穷大时，趋于无穷大时，Sn(x)即为即为 f(x)Fourier 展开展开7第7页三角多项式迫近三角多项式迫近结论结论若若 f(x)在在 0,2 上分段连
4、续，则上分段连续，则8第8页最小二乘最小二乘若只给出离散数据若只给出离散数据(xj,yj)，其中其中则可类似地得到则可类似地得到 f(x)离散离散 Fourier 迫近迫近(假定假定 N=2m+1)(k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)其中其中n m9第9页三角插值三角插值三角插值三角插值当当 n=m 时能够证实时能够证实故故 Sn(x)为为 f(x)在在点集点集 x0,x1,xm 上上三角插值三角插值(j=0,1,2m)10第10页DFTl 考虑在考虑在 0,2 上带权上带权 (x)=1 正交三角函数族：正交三角函数族：这里这里 i 是虚部单位是虚部单位则则 在在 处函数值为处函数值为
5、离散正交离散正交11第11页DFT则则 f(x)最小二乘最小二乘 Fourier 迫近为迫近为(n m)(k=0,1,n-1)其中其中l 设设 f(x)以以 2 为周期为周期复函数复函数，给定函数值，给定函数值 (xj,yj)，其中，其中离散离散 Fourier 变换变换l 当当 n=N 时，时，Sn(x)即为即为 f(x)在在 x0,x1,xn-1 上插值函数上插值函数(j=0,1,N-1)离散离散 Fourier 逆变换逆变换12第12页DFT令令结构矩阵结构矩阵性质性质(1)性质性质(2)13第13页DFT/FFTDFT 与与 IDFTc=fft(y)/Ny=ifft(c)*Nex36.m14第14页
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