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第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。abc 三角形的表示方法三角形用符号“”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“ABC”三角形ABC用符号表示为ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+bc，b+ca，a+cb拓展：a+bc，根据不等式的性质得c-ba，即两边之差小于第三边。即a-bca+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A3cmB4cmC7cmD11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a、b、c，a+bc，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4的等腰三角形吗？为什么？【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。2、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm，三边长比为234，则最长边比最短边长。5、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。6、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是_。7、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_。8、下列条件中能组成三角形的是（）A、5cm, 7cm, 13cmB、3cm, 5cm, 9cm C、6cm, 9cm, 14cmD、5cm, 6cm, 11cm9、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）A、5，6 B、6，4C、7，2D、以上三种情况都有可能11、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（）A、4，6 B、4，6，8 C、6，8D、6，8，1011、ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（）A、2x14B、x2 C、x14D、7x1412.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4 （3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。14.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。求这个三角形的周长。16、如图，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD 知识点3 三角形的三条重要线段 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法 AD是ABC的高 ADBC，垂足为D 点D在BC上，且BDA=CDA=90度【练习】画出、三个ABC各边的高,并说明是哪条边的高. AB边上的高是线段_ AB边上的高是线段_ AB边上的高是线段_BC边上的高是_ BC边上的高是_ BC边上的高是_AC边上的高是_ AC边上的高是_ AC边上的高是_辨析 高与垂线有区别吗？_探究 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】_ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，ABD和ACD的面积相比有何关系？【例2】如图，已知ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=4厘米，ABD的周长是12厘米，求ABC各边的长。 三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。辨析 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线，你有什么发现？_自我检测如图，AD、AE、CF分别是ABC的中线、角平分线和高，则：(1)BD=_=_； (2)BC=2_=2_；(3)BAE=_=_；(4)BAC=2_=2_；(5)_=_=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD是ABC的中线，已知ABD比ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_2、如图，D为ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且ABC的面积等于DEC面积的2倍，则BE的长为（）3、若点P是ABC内一点，试说明AB+ACPB+PC【课后作业】1.AD是ABC的高，可表示为 ，AE是ABC的角平分线，可表示为 ，BF是ABC的中线，可表示为 .2.如图2，AD是ABC的角平分线，则 = = ；E在AC上，且AE=CE,则BE是ABC的 ；CF是ABC的高，则 = =900，CF AB.3.如图3,AD是ABC的中线,AE是ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若BAC=600,则CAE= .4.如图4,以AD为高的三角形共有 .C5.三角形的一条高是一条（ ）ABDEC图3 A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线ABEDC图4ABDEF图26.下列说法中，正确的是（ ） A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部7.下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形8.如图8，ADBC于D,CEAB于E,AD、CE交于点O,OFCE,则下列说法中正确的是（ ） A.OE为ABD中AB边上的高 B.OD为BCE中BC边上的高C.AE为AOC中OC边上的高 D.OF为AOC中AC边上的高9. 如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，A=45，BDC=60，求BED的度数10.已知BD是ABC的中线，AC长为5cm，ABD与BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.11.如图11,在ABC中，ACB=900,CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) ABC的面积；(2)CD的长.AAAA图11AEBDC图1212.如图12，D是ABC中BC边上一点，DEAC交AB于点E,若EDA=EAD,试说明，AD是ABC的角平分线.第二讲 与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD的度数，可得到A+B+ACB=1800。想一想，还可以怎样拼？剪下A，按图（2）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。 图2把和剪下按图（3）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知ABC，求证：A+B+C=1800。、【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30方向，B岛在A岛的北偏东100方向，C岛在B岛的北偏西55方向，从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成RtABC。由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。自我探究 画出图中三角形ABC的外角1、判断图中1是不是ABC的外角：_ 2、如图，(1)1、2都是ABC的外角吗？_(2)ABC共有多少个外角？_请在图中标出ABC的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明ACD与A、B的关系吗？CEAB， A=_，_=2又ACD=_+_ACD=_+_结论1_三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；结论2_三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。外角的作用：1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个2、可证一个角等于另两个角的和3、证明两个角不相等的关系课后练习1.填空：求出下列各图中1的度数. (2)(1)如图，1=_；(2)如图，1=_；(3)如图，1=_； (3) (1) (6) (4)(4)如图，1=_；(5)如图，1=_；(6)如图，1=_. (5) 2、判断正误： (1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） (2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( )第3题图第2题图2. 已知：如图，1=30，2=50，3=45，则(1)4=_；(2)5=_.3.已知：如图1=40，2=3，则第4题图 (1)4=_；(2)2=_.4.如图，ABCD，B=55，C=40，则 (1)D=_；(2)1=_.第5题图5. 如图，BAE，CBF，ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：因为BAE=_+_， CBF=_+_，ACD=_，所以BAE+CBF+ACD=（_+_）+（_）+（_） =2（1+_）=2180=360.6.已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的高，第6题BAC=80，C=40，则BAD=_.第7题7.已知：如图，BD是ABC的角平分线, A=100，C=30，则ADB=_.8.*如图，AD、BE分别是ABC的高和角平分线，BAC=100，C=30，则1=_.第8题9、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则A+B+C+EFB=_10.ABC中，B=A+100，C=B+200，求ABC各内角的度数第9题11、如图所示，已知1=2，BAC=70度，求DEF的度数。12.如图所示,在ABC中,A=70,BO,CO分别平分ABC和ACB,求BOC的度数. 13.如图所示,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63, 求DAC的度数.第三讲 多边形及其内角和一、 知识点总结知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n边形共有条对角线。知识点四：多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和定理的应用： 已知多边形的边数，求其内角和； 已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和：任意多边形的外角和等于360. 二、经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用例1一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750，求这个多边形的内角和是多少？ 【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用例2、一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）.A6 B7 C8 D9【变式1】一个十二边形有几条对角线。类型三：可转化为多边形内角和问题例3、如图所示，1+2+3+4+5+6=_. 【变式1】如图所示，求ABCDEF的度数。类型四：实际应用题例4如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m.【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36，然后继续向前走10米，再向右转36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边ABCF，CDAE. 按规定AB、CD的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由. 三、综合练习一、选择题：1.一个多边形的内角和是720,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.83.若正n边形的一个外角为60,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.84.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600 B.720 C.900 D.10805.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形二、填空题1.十边形的对角线有_条.2.内角和是1620的多边形的边数是_.3.一个多边形的每一个外角都等于36，那么这个多边形的内角和是 .4.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是 边形.5.如图在ABC中，D是ACB与ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且EDC=50，则A的度数为 . 三、计算题1.一个多边形的每一个外角都等于45,求这个多边形的内角和.2.一个多边形的每一个内角都等于144，求它的边数.3.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，求这个正多边形的边数.4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数；毛5. 探究：（1）如图与有什么关系？为什么？（2）把图沿折叠，得到图，填空：12_ (填“”“”“”)，当时，+=_.（3）如图，是由图的沿折叠得到的，如果，则（+） , 从而猜想与的关系为 . 图 图 图 6（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、CABC中，A=30，则ABC+ACB=_，XBC+XCB=_（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么ABX+ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX的大小第四讲 全等三角形（一） 知识要点1、 全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做 形。2）能够完全重合的两个三角形叫做全等 形。ABCDEF把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。3）全等三角形表示方法：“全等”用“”表示，读作“全等于”，如ABCDEF。4）对应元素：对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边对应角：A与D，B与E，C与F是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，ABC和DEF全等，是，记作ABCDEF。其中，。2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。（1）平移型：如下左图，若ABCDEF，则BC=EF。将DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。ABCDEFABCDEF（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角1=2。ABC1EDABCDO12（1）（2）ABDC（1）（2）ABCED（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB3、 全等三角形的性质1） 全等三角形的对应边相等；2） 全等三角形的对应角相等。3） 知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。（二） 典型例题例1：若把ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。BACDE例2：如图，已知ABDACE。试说明BE=CD，DCO=EBO。EABCDO例3：如图，ADFCBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。ABCDFE例4：如图，在ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（ ）A、150 B、200 C、250 D、300例5：如图，ABE和ADC是ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若1：2：3=28：5：3，则求的度数。例6：如图所示，ABCADE，B和D对应，C和E对应，且B=25，E=105，DAC=15，则EAC等于多少度？ 例7：如图，已知ABCDBE，ABCD，DE的延长线交AC于点F，那么DFAC吗？说明理由例8：如图，已知ABEACD且AB =AC，求证： (1) BAD= CAE; (2)BD= CE.例9.如图，已知， ， ，.求的度数. （三） 反馈练习1如图，ABCDCB，若l与2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。2如图，ABCABC，且点B，B，C，C在同一直线上，则BB=_；若A=80，则A= ，BDC= 。 （题1） （题2） （题3） （题4）3如图，把ABC沿直线BC翻折180，得到DBC，则ABC与DBC的关系是 。4如图，把ABC绕点A旋转一定的角度得到AED，那么ABC AED，其中对应边有 ， ， ，对应角有 ， ， 。5（南通）已知：如图，OADOBC，且O=70，C =25，则AEB= 。 （题5） （题6） （题7） （题9）6如图，ABDACD，AB=AC，则BAD= ，BD= ，ADB= 度7如图，若AB CEDC，且B=58，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则E= ，BC= cm.8若ABCDEF，DEF的周长为32cm，DE= 9cm,EF= 12cm，则AB= cm,BC= _cm，AC= cm.9如图，直角ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论中错误的是( ) A.ABCDEF B.DEF= 90 CAC =DF DEC= CF10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若ABCDEF，则A=D，AB =EF.其中正确的个数有( ) A.l个 B.2个 C3个 D4个 11如图所示，ABCAEF，AB=AE，B=E，则下列结论：AC=AF;FAB=EAB；EF =BC;EAB=FAC.其中正确结论的个数是( )A.l个 B.2个 C.3个 D.4个12. 如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的 点，若ADBEDBEDC，则C的度数 为( ) A15 B20 C25 D30 （题11） （题12） （题13） 13如图，ABCCDA，下列各组边中，不是对应边的是( ) AAB与DC B.AC与CA C.AD与CB D.AD与DC14.如图，ABCADE，点B的对应点是点D若BAD= 100，CAE= 40，求BAE的度数15、如图所示，ABCAEC，B和E是对应顶点，B=30，ACB=85，求AEC各内角的度数 16、如图，已知，求证：第五讲 全等三角形的判定（一）（一） 知识要点1、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。书写格式：ABCABC在ABC和ABC中，ABCABC（SSS）规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。（二） 典型例题例1.在ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.求证：ABDACDBCDEFA例2已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD =BC， AE =BF，CE= DF.求证:DF/CE. 例4.如图，已知ABEACD，求证：l=2.例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM= CN，BM= DN.求证：AMCN，BMDN例6. 已知：如图，四边形ABCD中，AB = CB，AD= CD，求证：A=C例7如图所示，AB=AEBC= ED，CF=FDAC=AD，求证：BAF= EAF. （三）练习：1如图，若AB =AC，BD= CD，B =62，则BAC= 度 2如图，已知AB= CD，AD= CB，还有条件 ，可判定ABCCDA，其依据是 （题1） （题2） （题3） 3如图，在ABD和ACE中，已知AB =AC，BD = CE，AD =AE，若l= 20，则2= 4如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO= BO，CO =DO，AD= BC，则图中全等三角形有 对 5如图，已知AB=BCAD=CD，ABC=80，ADC= 50，则A= ，C= （题4） （题5） （题6）6如图，已知AB =AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)ABDACD；(2) B=C;(3)AD 平分BAC; (4) ADBC.其中正确的个数是( ) A1个 B2个 C.3个 D.4个7下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等其中正确说法的个数是( ) A.4个 B3个 C2个 D1个8下列命题中正确的是( ) A有两条边对应相等的两个三角形全等 B两个等边三角形全等