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第一章 测量误差及数据处理
物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。
第一节 测量与误差
物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。
国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。
一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。
测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。
根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测量。间接测量借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。
一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如电能的测量本来是间接测量，现在也可以用电度表来进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。
根据测量条件来分，有等精度测量和非等精度测量。等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量，如同一个人，用同一台仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变。这样所进行的一系列测量叫做非等精度测量，非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量。应该指出：重复测量必须是重复进行测量的整个操作过程，而不是仅仅为重复读数。
测量仪器是进行测量的必要工具。熟悉仪器性能。掌握仪器的使用方法及正确进行读数，是每个测量者必备的基础知识。如下简单介绍仪器精密度、准确度和量程等基本概念。
仪器精密度是指仪器的最小分度相当的物理量。仪器最小的分度越小，所测量物理量的位数就越多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般来讲应在仪器最小分度范围内再进行估计读出一位数字。如具有毫米分度的米尺，其精密度为1毫米，应该估计读出到毫米的十分位；螺旋测微器的精密度为0.01毫米，应该估计读出到毫米的千分位。
仪器准确度是指仪器测量读数的可靠程度。它一般标在仪器上或写在仪器说明书上。如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。对于没有标明准确度的仪器，可粗略地取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半，一般对连续读数的仪器取最小分度数值的一半，对非连续读数的仪器取最小的分度数值。在制造仪器时，其最小的分度数值是受仪器准确度约束的，对不同的仪器准确度是不一样的，对测量长度的常用仪器米尺、游标卡尺和螺旋测微器它们的仪器准确度依次提高。
量程是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差，即仪器的测量范围（有时也将所能测量的最大值称量程）测量过程中，超过仪器量程使用仪器是不允许的，轻则仪器准确度降低，使用寿命缩短，重则损坏仪器。
误差与偏差
测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值N与真值N0之间总是存在着这种差值，这种差值称为测量误差，即
ΔN＝N－N0
显然误差ΔN有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注意，绝对误差不是误差的绝对值！
误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好。因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法。如比较法、替代法、天平复称法等，都是为了减小测量误差；对测量公式进行这样或那样的修正，也是为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调仪器使其处于铅直、水平状态，要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计；电表接入电路和选择量程都要考虑到引起误差的大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的测量不太准确对结果没有什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待，在进行处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。
由于客观条件所限、人们认识的局限性，测量不可能获得待测量的真值，只能是近似值。设某个物理量真值为x0 ，进行n 次等精度测量，测量值分别为x1，x2，… xn，（测量过程无明显的系统误差）。它们的误差为

……

求和

即

当测量次数n→∞，可以证明→0, 而且是的最佳估计值，称为测量值的近似真实值。为了估计误差，定义测量值与近似真实值的差值为偏差：即 。偏差又叫做“残差”。实验中真值得不到，因此误差也无法知道，而测量的偏差可以准确知道，实验误差分析中要经常计算这种偏差，用偏差来描述测量结果的精确程度。
相对误差
绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示：

由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替。在这种情况下，Ｎ可能是公认值，或高一级精密仪器的测量值或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。
系统误差与随机误差
根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差和随机误差。
系统误差 是指在一定条件下多次测量的结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是具有一定的规律性。系统误差的来源具有以下几个方面：（1）仪器误差。它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差；（2）理论误差。它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法等所带来的误差；（3）观测误差。它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。例如，用“落球法”测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，这是测量方法不完善造成的误差；用停表测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t总是偏大为一个固定的数值，这是仪器不准确造成的误差；在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的误差。
在任何一项实验工作和具体测量中，必须要想尽一切办法，最大限度的消除或减、小一切可能存在的系统误差，或者对测量结果进行修正。发现系统误差需要改变实验条件和实验方法，反复进行对比，系统误差的消除或减小是比较复杂的一个问题，没有固定不变的方法，要具体问题具体分析各个击破。产生系统误差的原因可能不止一个，一般应找出影响的主要因素，有针对性地消除或减小系统误差。以下介绍几种常用的方法。
检定修正法：指将仪器、量具送计量部门检验取得修正值，以便对某一物理量测量后进行修正的一种方法。
替代法：指测量装置测定待测量后，在测量条件不变的情况下，用一个已知标准量替换被测量来减小系统误差的一种方法。如消除天平的两臂不等对待测量的影响可用此办法。
异号法：指对实验时在两次测量中出现符号相反的误差，采取平均值后消除的一种方法。例如在外界磁场作用下，仪表读数会产生一个附加误差，若将仪表转动180°再进行一次测量，外磁场将对读数产生相反的影响，引起负的附加误差。两次测量结果平均，正负误差可以抵消，从中可以减小系统误差。
随机误差 在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差，有时也叫偶然误差。当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点是：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大（单峰性）；绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性）；绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）；误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零（抵偿性）。因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。
引起随机误差的原因也很多。仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。如仪器显示数值的估计读数位偏大和偏小；仪器调节平衡时，平衡点确定不准；测量环境扰动变化以及其他不能预测不能控制的因素，如空间电磁场的干扰，电源电压波动引起测量的变化等。
由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。
实验中，精密度高是指随机误差小，而数据很集中；准确度高是指系统误差小，测量的平均值偏离真值小；精确度高是指测量的精密度和准确度都高。数据集中而且偏离真值小，即随机误差和系统误差都小。
测量的精密度、准确度和精确度
测量的精密度、准确度和精确度都是评价测量结果的术语，但目前使用时其涵义并不尽一致，以下介绍较为普遍采用的意见。
测量精密度表示在同样测量条件下，对同一物理量进行多次测量，所得结果彼此间相互接近的程度，即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度，因而测量精密度是测量偶然误差的反映。测量精密度高，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。
测量准确度表示测量结果与真值接近的程度，因而它是系统误差的反映。测量准确度高，则测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小，但数据较分散，偶然误差的大小不确定。测量精确度则是对测量的偶然误差及系统误差的综合评定。精确度高，测量数据较集中在真值附近，测量的偶然误差及系统误差都比较小。
随机误差的估算
对某一测量进行多次重复测量，其测量结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）。我们用描述高斯分布的两个参量（x和σ）来估算随机误差。设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：
1．算术平均值
根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值
（1）
是待测量真值的最佳估计值。称为近似真实值，以后我们将用来表示多次测量的近似真实值。
2．标准偏差
误差理论证明，平均值的标准偏差
（贝塞尔公式） （2）
其意义表示某次测量值的随机误差在之间的概率为68.3％。
算术平均值的标准偏差
当测量次数n有限，其算术平均值的标准偏差为
（3）
其意义是测量平均值的随机误差在之间的概率为68.3%。或者说，待测量的真值在范围内的概率为68.3％。因此反映了平均值接近真值的程度。
标准偏差
标准偏差小表示测量值密集，即测量的精密度高；标准偏差大表示测量值分散，即测量的精密度低。估计随机误差还有用算术平均误差、2、3等其它方法来表示的。
异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
1．3准则
统计理论表明，测量值的偏差超过3的概率已小于1％。因此，可以认为偏差超过3的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差 和标准偏差，把其中最大的与3比较，若＞3，则认为第j个测量值是异常数据，舍去不计。剔除后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各个偏差均小于3为止。
2．肖维准则
假定对一物理量重复测量了n次，其中某一数据在这n次测量中出现的几率不到半次，即小于，则可以肯定这个数据的出现是不合理的，应当予以剔除。
根据肖维准则，应用随机误差的统计理论可以证明，在标准误差为的测量列中，若某一个测量值的偏差等于或大于误差的极限值，则此值应当剔出。不同测量次数的误差极限值列于下表。
表1 肖维系数表
n

n

n

4
1.53
10
1.96
16
2.16
5
1.65
11
2.00
17
2.18
6
1.73
12
2.04
18
2.20
7
1.79
13
2.07
19
2.22
8
1.86
14
2.10
20
2.24
9
1.92
15
2.13
30
2.39

⒊ 格拉布斯（Grubbs）准则
若有一组测量得出的数值，其中某次测量得出数值的偏差的绝对值||与该组测量列的标准偏差之比大于某一阈值，即
||>·
则认为此测量值中有异常数据，并可予以剔除。这里中的n为测量数据的个数。而 p为服从此分布的置信概率。一般取 p为0.95和0.99（至于在处理具体问题时，究竟取哪个值则由实验者自己来决定）。我们将在表2中给出p＝0.95和0.99时或1－p＝0.05和0.01时，对不同的n值所对应的g0值。
表2 值表
1－p
n
0.05
0.01
1－p
n
0.05
0.01
3
1.15
1.15
17
2.48
2.78
4
1.46
1.49
18
2.50
2.82
5
1.67
1.75
19
2.53
2.85
6
1.82
1.94
20
2.56
2.88
7
1.94
2.10
21
2.58
2.91
8
2.03
2.22
22
2.60
2.94
9
2.11
2.32
23
2.62
2.96
10
2.18
2.41
24
2.64
2.99
11
2.23
2.48
25
2.66
3.01
12
2.28
2.55
30
2.74
3.10
13
2.33
2.61
35
2.81
3.18
14
2.37
2.66
40
2.87
3.24
15
2.41
2.70
45
2.91
3.29
16
2.44
2.75
50
2.96
3.34