矩阵行列式的概念与运算统一标准答案.doc

矩阵、行列式概念与运算
知识点总结：
一、矩阵概念与运算
1、 矩阵中行向量是，；
2、 如：，那么
，
矩阵加法满足互换律和结合律，即如果是同阶矩阵，那么有：。
同理如果矩阵是两个同阶矩阵，那么将它们相应位置上元素相减所得到矩阵叫做矩阵与差，记作。
实数与矩阵乘法满足分派律：即。
矩阵对乘法满足：，，

3、 矩阵乘法不满足互换率，如
矩阵乘法能进行条件是左边矩阵列数与右边矩阵行数相等，并且矩阵乘法不满足互换率，不满足消去律。
二、行列式概念及运算
1.用记号表达算式,即=,其中叫做二阶行列式;算式叫做二阶行列式展开式;其计算成果叫做行列式值;都叫做行列式元素.运用对角线可把二阶行式写成它展开式,这种办法叫做二阶行列式展开对角线法则;即在展开时用主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积.
2.二元一次方程组解
二元一次方程组(其中不全为零);记叫做方程组系数行列式;记,即用常数项分别替代行列式中系数或系数后得到.
(1) 若D则方程组有唯一一组解，;
(2) 若,且中至少有一种不为零,则方程组无解;
(3) 若,则方程组有无穷多解.
3。三阶行列式及对角线法则
用表达算式;其成果是.
咱们把叫做三阶行列式；叫做三阶行列式展开式.其计算成果叫做行列式值;()都叫做三阶行列式元素.
4． 三阶行列式按一行(或一列)展开
把行列式中某一元素所在行和列去后,剩余元素保持本来位置关系构成二阶行列式叫做该元素余子式;余子式前添上相应正负号叫做该元素代数余子式;其中第行与第列代数余子式符号为.
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其相应代数余子式乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.
5.三元一次方程组解
三元一次方程组
记为方程组系数行列式;记,
,即用常数项分别替代行列式中系数后得到.
(1) 当时,方程组有惟一解
(2) 当时,方程组有无穷多组解或无解.

举例应用：
一、 填空题：
1、已知，则 ；
解：；
2、已知，则 ；
解：；
3、已知，则 ；
解：

4。矩阵一种运算该运算几何意义为平面上点在矩阵作用下变换成点在矩阵作用下变换成曲线值为 .
解：由题意，代入，整顿可得令，， ，用待定系数法
二、 选取题
5、给出下列三个式子：
（1）
（2）
（3）
其中对的式子个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解：由于上面各命题都不对，因此选取（A）
6.下面给出矩阵某些性质中对的是（ ）
A.AB=BA B.若AB=(0),则A=(0)或B=(0) C.若AB=AC,则B=C D.(AB)C=A(BC)
解：依照矩阵性质，懂得（A），（B），（C）都不对，因此选用（D）
7、已知若A=2B,则x,y值分别为（ ）.
A.1,2 B. C.2,1 D.不存在
解：由
8、下列说法对的是（ ）.
A.任意两个矩阵都可以相加
B.任意两个矩阵都可以相乘
C.一种阶矩阵与一种阶矩阵相乘得到一种阶矩阵
D.一种阶矩阵与一种阶矩阵相乘得到一种阶矩阵
解：依照矩阵乘法性质，得到（C）成立。
三、 解答题
9、已知矩阵，求矩阵，使
解：设，则
由，得。

10．给出方程组有唯一解充要条件
解：由
即相应
即，因此当且仅当时有唯一解。
11．（1）求值；
（2）求
解：（1）
（2）由此猜想：，下面用数学归纳法加以证明
证明：（1）当时，等式成立：
（2）当时，等式成立，即，
那么
则当时，等式成立。
依照（1）、（2）证明知等式对都成立。
12、某电器商场销售彩电、U盘和MP3播放器三种产品。该商场供货渠道重要是甲、乙两个品牌二级代理商。今年9月份，该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、MP3播放器180台。而10月份，该商场从每个代理商处购得产品数量都是9月份1.5倍。现知甲、乙两个代理商给出产品单价元）入下表所示：

彩电
U盘
MP3播放器
甲代理商单价
2350
1200
750
乙代理商单价
2100
920
700
（1） 计算，并指出成果实际意义；
（2） 用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商购货费用。
解：（1） ，第一行表达9月份该商场从两个代理商处购得彩电、U盘、MP3播放器数量，第二行表达10月份该商场从两个代理商处购得彩电、U盘、播放器数量。
（2）
即9月份付给甲代理商购货费为432400元，付给乙代理商购货费为383840元；10月份付给甲代理商购货费为648600元，付给乙代理商购货费为575760元。
13．关于二元方程组,并讨论解状况.
解：,,
(1) 当即且时,方程组有唯一解
(2) 当时,,方程组有无穷多组解,此时方程组可化为,
令,则原方程组解可表达为.
(3) 当时,但，方程组无解。
14．已知函数
（1） 当时，解不等式；
（2） 求取值范畴，使得在上是单调函数。
解（1）：原不等式即为，解得；
（2），且当或时，在上是单调函数。
15．解方程组:
解:

(1) 当且时,方程组有唯一解
(2) 当时,原方程组为消去得,因此方程组无解.
(3) 当时,原方程组为,因此方程组有无穷多解.
16．已知行列式
(1)写成元素余子式,代数余子式;(2)将该行列式按第二列展开;
(3)求证:
(4)若为整数,试判断该行列式值能否被整除;
解:(1)余子式为,代数余子式.
(2)按第二列展开为
=
=
(4) ,又为整数,因此也为整数,该行列式值能被整除.
17．顶点为面积等于行列式值绝对值一半。试用此结论求：
（1） 求觉得顶点四边形面积；
（2） 已知，若和所相应点分别为，你能得出什么结论？
解：作图可知四边形由两个三角形与构成。由已知可得：
绝对值=绝对值=9。
绝对值绝对值
因此所求四边形面积为。
（3） 依题意：绝对值
因此面积为，从而点三点共线。
18。已知函数定义域为，最大值为4．试求函数（）最小正周期和最值．
解：

当＞0时，，
解得，从而， ，
T=，最大值为，最小值为；
当m＜0时，， 解得，
从而，，
T=，最大值为，最小值为．