关于函数极限的多种求法-学位论文.doc

目录
1 一元函数极限的求法 1
1.1 一元函数极限的定义 1
1.2 一元函数极限求解方法 2
1.2.1 利用定义求极限 2
1.2.2 利用Cauchy求极限 2
1.2.3 利用单调有界原理求极限 3
1.2.4 利用数列与子列、函数与数列的极限关系求极限 3
1.2.5 利用极限的运算法则求极限 4
1.2.6 利用等价代换求极限 4
1.2.7 利用初等变形求极限 5
1.2.8 利用夹逼性准则求极限 5
1.2.9 利用两个重要极限求极限 6
1.2.10 利用变量替换求极限 7
1.2.12 利用洛必达法则求极限 8
1.2.13 利用Toylor公式求极限 9
1.2.14 利用导数的定义求极限 10
1.2.15 利用微分中值定理求极限 11
1.2.16 利用积分定义求极限 12
1.2.17 利用积分中值定理求极限 13
1.2.18 利用级数求极限 13
1.2.19 利用黎曼引理求极限 14
2 二元函数极限的求法 14
2.1 二元函数极限的定义 14
2.2 二元函数极限的若干求法 16
2.2.1 利用定义求极限 16
2.2.2 利用多元函数的洛必达法则求极限 16
2.2.3 利用连续性求极限 17
2.2.4 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量求极限 18
2.2.5 通过对分式的分子或分母有理化求极限 18
2.2.6 利用极限的夹逼性准则求极限 18
2.2.7 利用等价无穷小变换求极限 19
2.2.8 利用变量替换, 将二重极限化为一元函数中的已知极限求极限 19
2.2.9 利用取对数法求极限 19
2.2.10 用三角变换法求极限 20
2.2.11 利用一元函数中的极限推广求极限 20
2.2.12 利用无穷小的性质求极限 20
2.2.13 利用()法求极限 21
参考文献 22

II

关于函数极限的多种方法
作者 杨松 指导教师 马玲副教授
（湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048）
摘 要 本文较为全面地总结了一元函数，二元函数极限的若干求法，并通过例题加以说明.
关键词 极限；方法
About the Number of Methods Solution Functional Limit
Yangsong
( Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University
Zhanjiang,524048 China)
Abstract The paper more comprehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate.
Keywords limit;methods
1 一元函数极限的求法
1.1 一元函数极限的定义[1]
定义1 设为定义在上的函数, 为定数, 若对任给的, 存在正数(）, 使得当时有
则称函数当趋于时以为极限,记作
或
定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数.若对任给的, 存在正数, 使得当时，有 , 则称函数当趋于时以为极限, 记作
1.2 一元函数极限求解方法
1.2.1 利用定义求极限
例1[2] 用极限的定义证明
证 ，要（此式解出n有困难），记
，
此式可改写成
，
得

（当n>1时）至此要.只要,即，故令.则n>N时有.
注意 用极限的定义时, 只需要证明存在, 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑.
1.2.2 利用Cauchy求极限
例2[2] 设，试证收敛.
证 因为
=
= ，
，（只要（即）），故令，则n>N时，有
，
收敛获证.
注意 在事先不知道极限的猜测值时可选择Cauchy准则.
1.2.3 利用单调有界原理求极限
定理1[1] 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
例3[2] 设，证明存在.
证 利用不等式
，
得
（有下界）.

= ，
即. 单调下降，有下界.故收敛.
注意 利用单调准则证明极限存在, 主要方面的性质: 单调性和有界性. 解题的难点在于判断单调性, 一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项．
1.2.4 利用数列与子列、函数与数列的极限关系求极限[2]
例4 证明从任一数列中必可选出一个（不一定严格）单调的子数列.
证 （我们来证明：如果不存在递增子序列，则必存在严格递减的子序列）假若中存在（不一定严格的）递增子序列，则问题已被解决.若中无递增子序列，那么，使得，恒有.同样在中也无递增子序列.于是又，使得，恒有.如此无限进行下去，我们便可以找到一严格递增的子序列.
1.2.5 利用极限的运算法则求极限
定理2 已知, 都存在, 极限值分别为, , 则
(1) ；
(2) ；
(3) （此时需成立).
例 5 求.
解: 原式

.
注意1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.
注意2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.

1.2.6 利用等价代换求极限
例6 求
解 因为，故
原式= .
要点：在求乘除式极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变.最常用的等价关系如：当时，
（其中a>0,b0）.
还有.
1.2.7 利用初等变形求极限
例7 求,设
.
解 乘以.

(当时)（）.
要点：用初等数学的方法将变形，然后求极限.
1.2.8 利用夹逼性准则求极限
定理3[1] 设, 且在某一空心邻域内
有
,
则
.
例8 求.
解: 当时, 有
,
从而 ,
由夹逼准则得 ,
所以 .
注意1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.
注意2 利用夹逼准则求函数极限的关键：
（1）构造函数, , 使；
（2）, 由此可得.
1.2.9 利用两个重要极限求极限
两个重要极限:（1)； (2).
根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式针对递推数列, 必须验证数列两个进行推广：(1) ()；
(2) .
例9 .
解:

1.2.10 利用变量替换求极限
要点：为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程.
例10 若，，试证

解 令，，则时，.于是

=
=
. （1

当时第二、三项趋向零.现证第四项极限亦为零.
事实上，因(当 时)，故有界，即，使得
（），故

从而（1）式以为极限.
1.2.11 利用初等函数的连续性求极限（适用于求函数在连续点处的极限）

利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：
(1)若f(x)在处连续，则 f(x)= f()；
(2)若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A);
(3)若f(x)=A>0, g(x)=B,则=
例11：
解
.
由于初等函数在有定义的地方皆连续，
原极限.
1.2.12 利用洛必达法则求极限
洛比达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定极限却不能求。（0-，-，，，型未定式可以转化为“”型和“”未定式）
定理4：若
（i） f(x)=0，g（x）=0
（ii）f与g在的某空心领域内可导，且g（x）≠0
（iii）=A（A可为实数，也可为±或），则==A
此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。
例12[2] 求极限
解

.
故原式=.
注意 (1)每次在使用法则之前，务必考察它是否属于七种不定型，否则不能用;
(2)一旦用法则算不出结果，不等于极限不存在.例如，就是如此.这是因为法则只是充分条件，不是必要条件.
(3) 型的法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向无穷大也没关系.
1.2.13 利用Toylor公式求极限
例13 求极限
解 原式=
1.2.14 利用导数的定义求极限
定义3 设函数在点的某个邻域内有定义, 若极限

存在,则称函数在点处可导, 并称该极限为函数在点处的导数, 记作.
例14 设存在, 求.
解

.
例15 求.
解 这是型极限,先转化成, 其指数是型极限, 由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知
,
因此由复合函数求导得
原式.
注意 对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.
1.2.15 利用微分中值定理求极限
1.2.15.1 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理）
定理5[1] (拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件：
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间上可导,
则在上至少存在一点,使得
.
例16 求,其中.
解 由题意, 可对和分别应用拉格朗日中值定理,
则 原式=
=
=（其中
例17 计算.
解 设, 由于在上连续, 在内可导. 于是, 由微分中值定理知
,
当 , 所以 .
1.2.15.2 用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式)
例18 计算 .
解 因为, ,
所以 .
注意1 常用展式：
, 等.
注意2 在计算过程中, 要注意高阶无穷小的运算及处理.
1.2.16 利用积分定义求极限
定义4[1] 设在上的一个函数, 是一个确定的实数. 若对任给的正数, 总存在某一正数, 使得对的任何分割, 以及其上任意选取的点集, 只要, 就有 ,
则称函数在区间上可积, 数称为在上的定积分,
记作 .
若用极限符号表达定积分, 可写作.
例19 求极限 .
解 因为，时，
左端极限
=时，
右端极限
=
故 原式= （两边夹法则）.
注意 由定积分的定义我们知道, 定积分是某一和式的极限, 因此, 如果关于的某一和式可以表示成某一积分的形式时, 则可利用定积分, 求出这个和式的极限, 显然, 若要利用定积分求极限, 其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.
1.2.17 利用积分中值定理求极限
定理 6[1] 设与都在上连续, 且在上不变号, 则至少存在一点, 使得 .
例 21 求极限.
解 取, , , 则在上的最小值, 最大值, 由积分中值定理知 .
因为, 所以.
1.2.18 利用级数求极限
1.2.18.1 利用级数展开式求极限
例22
解 利用幂级数的展开式, 可得
原式
=.
注意 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式.
1.2.18.2 利用级数收敛的必要条件求
极限
定理7 若级数收敛, 则它的一般项趋于零.
例23 求.
解 研究级数 , 令,用比值法:

所以级数收敛, 从而 .
注意 对某些极限可将函数作为级数的一般项, 只需证明此级数收敛, 便有.
1.2.19 利用黎曼引理求极限
定理8[1] 若在上可积, 是以为周期的函数, 且在上可积, 则有 .
例24 计算.
解 因为的周期为,
2 二元函数极限的求法
2.1 二元函数极限的定义
定义5[1] 设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数.若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有
，
则称在上当时，以为极限，记作
.
在对于不致产生误解时，也可简单记作
.
当，分别用坐标，表示时，式也常写作
.

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别． 在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限变得更加复杂, 它实质上是包含任意方向的逼近过程, 是一个较为复杂的极限, 对于二元函数的二重极限, 其重点是研究极限的存在性以及具体的求解方法． 其中, 求解方法非常多样, 灵活性和随机性很强, 我在这里总结了几种具有代表性的求解方法.
引例 求
原解法 因为对, 取,
当, , 且()(0,0)时, 有<, 由极限的定义得 .
新解法：令当（)(0,0)有,
因为,
所以
两者相对比, 我们就会发现, 此例用极坐标代换求极限比用定义求解简单的多, 那么, 选择一个正确的解题方法就显得尤为重要了． 下面, 我会对各类方法进行探索.
2.2 二元函数极限的若干求法
2.2.1 利用定义求极限
例26 讨论，在的极限.
解 令

以为此路径为特殊路径，故不能说明
.
再利用定义判定：，取，当
时，有
,
由于
,
即有：，故.
2.2.2 利用多元函数的洛必达法则求极限
定理9[3] 设函数f与g在点的某空心领域内有定义，并且满足条件：
（1）
（2）函数f和g在内可微，并且

（3）
则
注意1 上述定理对于同样成立.
注意2 对非有限点（中至少有一个为的极限问题，只要采用适当变了替换就可以转化为有限点的情形
例25 求
解
2.2.3 利用连续性求极限
例27 求
解 原式.
例28 .
解 原式.
例29 求.
解 原式.
2.2.4 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量求极限
例30 求.
解 原式=
例31 求.
解 原式.
因为是有界变量，又为无穷小量，
所以原式.
2.2.5 通过对分式的分子或分母有理化求极限
例32 求.
解 原式.
.
（这里是无穷小量，为有界变量）
2.2.6 利用极限的夹逼性准则求极限
例33 求 .
解 由，
而，故可知
2.2.7 利用等价无穷小变换求极限
例34 求.
解 当时，，
原式=.
2.2.8 利用变量替换, 将二重极限化为一元函数中的已知极限求极限
例35 求 .
解 原式=
当时， 令

故原式.
2.2.9 利用取对数法求极限
例36 求
解 令，
而

令
那么，

故原式
2.2.10 用三角变换法求极限
例37 求
解 令，则可得
于是，于是为：
，
而
，，
所以，原式为：.
2.2.11 利用一元函数中的极限推广求极限
例38 求
解 因为，
所以

2.2.12 利用无穷小的性质求极限
与一元函数类似, 在求极限的过程中, 以零为极限的量称为无穷小量, 有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中
例39 求
解 以为，
所以，原式
2.2.13 利用)法求极限
例40 （x，y不同时为0）
解 因为
故 ， 可取，则当， 时，有
所以，
.

参考文献
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[10]百度文库 《函数极限的若干求法》 链接：

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