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矩阵的特征值与特征向量 邵阳学院毕业设计（论文）
矩阵的特征值与特征向量
摘 要

本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式

I

Matrix eigenvalue and eigenvector
Zhong Yueyuan
(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)
Abstract
This paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.
Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial

II

目 录
中文摘要...................................................................................................Ⅰ
Abstract..............................................................Ⅱ
引言...........................................................................................................1
1 矩阵的特征值与特征向量................................................................1
1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论.................................1
1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 ..............................................4
2 实对称矩阵的特征值与特征向量...................................................7
2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化..................................................7
2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量............................................9
3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用..........................................10
3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项......................................11
3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用.........................................12
4 结论..............................................................................................15

参考文献..................................................................................................16
致谢.........................................................................................................17

引言
矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。
1 矩阵的特征值与特征向量
1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论
定义1 设一个阶方阵，是一个数，如果方程
(1.1)
存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。
(1) 式也可写成，
(1.2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 (1.3)
即

上式是以λ为未知数的一元次方程，称为方多项式阵的特征方程。其左端λ是的次多项式，记作，称为方阵的特征。
=|A－λE|=

显然的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。因此，阶矩阵有个特征值。
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）
（ⅱ）.
若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根。方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系则的属于特征值的全部特征 向量是 。
定义2 　设是数域上线性空间的一个线性变换。如果对应中的一个数，存在中的非零向量，使得　 (1.4)
那么就叫做的一个特征值，而叫做的属于特征根的一个特征向量。
显然，如果是的属于特征值的一个特征向量，那么对于任意,都有 (1.5)
这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果的一个一维子空间在之下不变，那么中每一个非零向量都是的属于同一特征值的特征向量。
其中（1）式的几何意义是：特征向量与它在下的象保持在同一直线L（ξ）上，时方向相同，时方向相反，时，．
例1 在V3中，是关于过原点的平面H的反
射，它是一个线性变换。那么H中的每个非零
向量都是的属于特征值1的特征向量，Vλ
就是平面H。与H垂直的非零向量都是的
属于特征值 -1的特征向量，即V-1就是直
线L（见图1）。 图1
定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关。
证明 设是矩阵的不同特征值，而分别是属于 的特征向量，要证是线性无关的。我们对特征值的个数m 作数学归纳法证明。
当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立。
当时,假设时结论成立。
由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此

如果存在一组实数，使
(1.6)
则上式两边乘以得
(1.7)
另一方面, ,即
(1.8)
(4)－(5)有
。
由归纳假设,线性无关,因此
(1.9)
而互不相同，所以。于是（1.9）变为
因,于是。可见线性无关。
1.2 求解矩阵的特征值与特征向量的方法
在求矩阵的特征值与特征向量之前，我们来讨论一下特征值与特征向量的关系，它们的关系如下：
（1）如果关于某个基的矩阵是,那么的特征值一定是的特征根，但的特征根却不一定是特征值，的个特征根中属于数域F的数才是的征特值；
（2）的特征向量是V中满足（1）式的非零向量ξ，而A的特征向量是中的满足的非零列向量；
（3）若λ∈F是A的特征根，则A的中属于λ的就是的λ属于的特征向量关于给定基的坐标。
下面我们来介绍两种求矩阵的特征值与特征向量的方法：
1.2.1 同步求解法
定义l 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：
1．互换i，j两行，同时互换i，j列；
2．第i行乘非零数k，同时第i列乘1／k；
3．第i行k倍加入第j行，同时第j列一k倍加入第i列。
定理1 设是秩为的阶矩阵，且

其中B是秩为的列满秩矩阵，则矩阵P所含的个列向量就是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系（证明略）。
定理 2 矩阵的特征矩阵经列的初等变换可化为下三角的矩阵，且的主对角线上元素乘积的多项式的根恰为的所有特征值（证明略）。
例l 求的特征值与特征向量．
解：

所以，特征值,特征向量分别为。
例2 求矩阵的特征值与特征向量．
解：

由定理1，令 ，得矩阵A的特征值为。
当时，(A－λE)已是标准上三角形矩阵，由定理2得

得特征向量,
当时，，同理，特征向量为
1.2.2 初等变换法
定理3 齐次线性方程组的系数矩阵的秩数，非奇异矩阵的后n-r列便构成线性方程组的一个基础解系。
证明：

又
。
从而即的后列，即的诸列为方程组的列向量。
因为为非奇异矩阵，所以的列线性无关，故它们构成方程组的一个基础解系。
如何求矩阵，从而得到，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算：
因矩阵的秩为，有列线性无关向量组，于是矩阵经一系列的初等变换成为，其中秩,由此便得到。
例3 已知,求矩阵A的特征根与特征向量。
解：=

由知，的特征根。
当时， ， 特征向量。
当时， ， 特征向量 。

2 对称矩阵的特征值与特征向量
2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化
定义1 如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且（转置为其本身），则称A为实对称矩阵。
定理 1 实对称矩阵的特征值恒为实数，从而它的特征向量都可取为实向量。
定理 2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。
证明 设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即是分别属于的特征向量，则 ，
根据内积的性质有

又 　
所以
因 ，故 ，即与正交。
定理 3 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的 秩从,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量。
定理 4 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是 以的个特征值为对角元素的对角矩阵。
例 1 设 ，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.
解：
所以的特征值
对于，解齐次线性方程组，得基础解系
,因此属于的标准特征向量为
对于，解齐次线性方程组，得基础解系

这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量,
于是得正交矩阵
易验证 。
2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵是矩阵的一种特殊形式，我们在学矩阵的时候已经学会怎样求解矩阵的特征值与特征向量。下面，分别用初等行变换和初等列变换来解实对称矩阵的特征值与特征向量，以便大家更好地了解实对称矩阵。
定理1 n阶矩阵A的特征矩阵经列的初等变换可成为下三角矩阵：
(2.1)
其中的根就是的特征多项式的根。
例1 求的特征值与特征向量。
解:

所以，特征值分别为；
特征向量分别为
例2 求矩阵的特征值与特征向量。
解: 特征值为（三重根），。

当时，
特征向量。

3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用
上面几章已经对矩阵的特征值与特征向量的理论知识进行了学习，现在我们要解决的是怎样将理论知识应用到实际中去，以达到学以致用的效果。下面就让我们一起来学习矩阵的特征值与特征向量在实际生活中的具体应用。
3.1 用矩阵特征值理论求解Fibonacci数列通项
斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：，在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从年起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
在1202年，裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开
始繁殖，每个月生出一对后代，现有一对新生兔子，假定兔子只繁殖，没有死亡，问
第K 个月月初会有多少对兔子？以“对”为单位，每月兔子组对数构成一个数列，这便是著名的Fibonacci数列{}:0,1,1,2,3,5,…，…，满足条件
(3.1)
试着求出通项。
现在我们运用矩阵的工具来求数列的通项。
解：由关系式
令
则上述关系式可以写成矩阵形式 (3.2)
由（3.2）式递推可得 (3.3)
于是求的问题归结为求，即求的问题。
由
得A的特征值
，
对应于的特征向量分别为
(3.4)
令

于是
(3.5)
将 ， 代入（3.5）
得 (3.6)
对应于任何整数k,由（6）式求得的都是正整数，当K=20时，=6765，即20个月后有6765对兔子，此例中利用矩阵的特征值理论，方便地求出Fibonacci数列的通项公式。
3.2 在研究经济发展与环境污染之间关系中的应用
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题。为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：
设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：

令 ,
则上述关系的矩阵形式为 。
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系。
如
则由上式得
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平。
一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为
令
则上述关系的矩阵形式为
由此，有

由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平。面作进一步地讨论：
由矩阵 的特征多项式

得A 的特征值为
对，解方程得特征向量
对，解方程得特征向量
显然, 线性无关。
下面分三种情况分析：
情况一
一个性质:若是矩阵A的属于特征值的特征向量,则也是的属于特征值的特征向量。
由(*)及特征值与特征向量的性质知，
即 或
此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下，t年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势。
情况二 ，所以不讨论此种情况。
情况三 ，不是特征值,所以不能类似分析。但是可以由唯一线性表示出来 。
由(*)及特征值与特征向量的性质得

即

由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平。
因无实际意义而在情况二中未作讨论，但在情况三的讨论中仍起到了重要作用。
由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用。
4 结论
通过本章的学习，我们对矩阵的特征值与特征向量的定义、性质有了更深的了解，并且学会用不同的方法计算特征值与特征向量。将矩阵应用到实际生活中去，解决实际问题，这才是我们学习各种理论知识的最终目的。学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究数学，从而促进所有科学的发展。
在这篇文章中，由于知识的有限，还存在很多的不足，对矩阵的特征值与特征
向量的研究还不够深入，需要所有从事数学研究的老师和学者的共同努力，加强理论知识在实际中的应用。

参考文献：
[1] 曹志浩编著.矩阵特征值问题[M]. 上海科学技术出版社.1980
[2] 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报(自然科学版).
2006，3:2-3.
[3] 何翼. 求矩阵的特征值与特征向量的新方法[J]. 铜仁学院学报. 2009,3:4-5.
[4] 邵丽丽. 矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J]. 菏泽学院学报. 2006,5:1-3.
[5] 张红玉.矩阵特征值的理论及应用[J]. 山西大同大学学报(自然科学版). 2009,1:7-8.
[6] 张霓. 矩阵特征值和特征向量的一些应用[J]. 中国科技信息. 2007,11:13-6.
[7] 王英瑛. 矩阵特征值和特征向量求法的探讨[J]. 山东理工大学学报(自然科学版).
2008,3:5-6.
[8] 刘国琪. 矩阵特征值与特征向量的同步求解[J]. 重庆师范学院学报(自然科学
版).1996,S1:5-7.
[9] 刘亚亚,程国. 一种改进的求方阵特征值的方法[J]. 商洛学院学报. 2008,2:1-2.
[10] 陈景良,陈向晖著.特殊矩阵[M]. 清华大学出版社, 2001
[11] 李高明.张明礼求矩阵特征向量的一个新方法[J]-高等数学研究2006,9,4:3-3.
[12] 王秀芬 线性递推关系中特征值与特征向量的应用[J]-潍坊学院学报2004,4,4:2-4.
[13] 杨子胥. 高等代数习题解[M] . 济南:山东科学技术出版社,1982.

致 谢

弹指一挥间，大学四年已经接近了尾声。当自己怀着忐忑不安的心情完成这篇毕业论文的时候， 自己也从当年一个从山里走出的懵懂孩子变成了一个成熟青年，回想自己的十几年的求学生涯，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易。首先，从小学到大学的学费和生活费就不是一个小数目，这当然要感谢我的父母，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，我是无论如何也完成不了我的大学生活。当然，一个农民家庭要同时供两个大学生上学，没有别人的帮助和接济是相当困难的。 因此我要感谢那些在我求学时对我经济和精神上帮助的亲戚、朋友、老师和同学们，我的生活因你们而精彩和充实。这里严谨的学风、优美的校园环境使我大学四年过的很充实和愉快。我们数学专业的老师更是让我难忘，他们严谨的学术态度，幽默风趣的授课方式给我留下了深刻的影响。在这篇论文构思和写作过程，我的论文指导老师彭跃辉教授，对我论文的完成更是功不可没，彭老师每次给我的疑问给予细心的解答并给出写作建议，对我的论文进行细心的修改，使得我的论文结构一步一步的完善，内容日趋丰满。没有彭老师的细心指导，这篇论文是不可能完成的。书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺。生命不息，学习不止， 人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！

2013年5月25日

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