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设计（论文）题目 凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用
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凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用

摘要：凯莱哈密尔顿定理是线性代数中的一个重要定理.本文主要是通过矩阵的有理标准形，归纳总结，上三角矩阵等不同的方法来证明凯莱哈密尔顿定理，并举例说明凯莱哈密尔顿定理在高等代数解题中的应用，特别是利用凯莱哈密尔顿定理在求解计算题时，比常规解法更方便、简捷，为同学们在高等代数学习中得到较好的帮助.
关键词：凯莱哈密尔顿；归纳总结；上三角矩阵

A Variety Proof and Application of Cayley Hamilton Theore

Mathematics and applied mathematics class 1001 wu su ling
Instructor: yang hao bo

Abstract：Cayley Hamilton theorem is an important theorem of linear algebra. In this article, various of methods can attest the Cayley Hamilton theorem ,such as through the rational canonical form of matrix, sum up, the upper triangular matrix to attest the Cayley Hamilton theorem andgive an example to instructions cayley Hamilton theorem in the application of the advanced algebra problem solving , Especially using cayley Hamilton theorem in solving computational problems is more convenient and simpl than the conventional method, this article offer good help in learning advanced algebra to students.
Key words：Cayley Hamilton;generalizations;upper triangular matrix

目录

1引言 1
2凯莱哈密尔顿定理的证法 1
2.1 利用数学归纳法证明凯莱哈密尔顿定理 1
2.2 利用上三角矩阵证明凯莱哈密尔顿定理 2
2.3 利用伴随矩阵证明凯莱哈密尔顿定理 3
3凯莱哈密尔顿定理的应用 4
3.1 凯莱哈密尔顿定理在高等代数证明题上的应用 4
3.2 凯莱哈密尔顿定理在高等代数计算题上的应用 5
3.2.1 利用凯莱哈密尔顿定理求解逆矩阵 5
3.2.2 利用凯莱哈密尔顿定理求解方阵高次幂问题 5
3.2.3 利用凯莱哈密尔顿定理求解二阶方阵的平方根 7
3.2.4 利用凯莱哈密尔顿定理来解决有限维线性空间直和分解的问题 8
4总结 10
参考文献 10
致谢 12

凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用

1 引言

凯莱哈密尔顿定理是矩阵的特征多项式里的一个很重要的性质，而特征多项式也是《高等代数》教学中的重要内容之一.其中该定理表示：
设是数域上的阶方阵，则矩阵的特征多项式为零矩阵，即.
这个定理告诉我们，任意给定数域上一个矩阵，总是可以找到一个在数域的一个多项式，使得，我们就称是的根.
不论是在国内还是在国外都有很多有关凯莱哈密尔顿定理的科研成果，在不同的领域中凯莱哈密尔顿定理也被广泛的应用.在此，我通过阅读大量有关凯莱哈密尔顿定理的期刊和图书，对期刊中所给的证明进行了归纳总结，也对其应用进行了归纳和研究，并给出相关例子来加以理解.

2 凯莱哈密尔顿定理的证法

2.1 利用数学归纳法证明凯莱哈密尔顿定理
为任意一个数域，为数域上的矩阵所构成的集合，是阶的一个单位矩阵，其中的是正整数.根据矩阵的特征根和它对应的特征向量的性质，我们可以直接得到
对于任意，存在着可逆矩阵，可使得如下形状的分块矩阵所示

其中.
引理1 可以分成为

其中，分别是，阶矩阵，并且．又假设是在数域上的多项式．那么就存在，故可以推得 如下面的分块矩阵所示

根据引理1可以把凯莱哈密尔顿定理表示为：任意矩阵，， 其中为的特征多项式.
①时，直接可以看出结论成立.
②假设该结论对阶的矩阵仍然成立
已知，根据引理1可知存在，使得

由归纳假设可以得知，则，因而可以推出

证明完毕.
2.2 利用上三角矩阵证明凯莱哈密尔顿定理
引理2 设矩阵是属于复数域上的一个阶方阵,则与上三角矩阵相似.
证明引理2
当时，结论显然成立.
假设复数域上任意一个阶方阵都相似于上三角矩阵.设的一个特征值为，特征向量为，将扩充为维向量空间上的一个基.
令，那么为可逆矩阵，可以设，其中是阶行矩阵，为方阵.从归纳假设中可以得知存在阶可逆矩阵，使得为上三角方阵，令，为可逆矩阵，推得

因为是上三角阵，那么为上三角阵，推得相似于上三角阵.
证明完毕.
由引理2可以知道存在着可逆矩阵使是上三角矩阵

把上述矩阵记为，，当时.
假设对于阶矩阵来说

因而，可以推得

把代入上式可以得到.因而.
证明完毕.
2.3 利用伴随矩阵证明凯莱哈密尔顿定理
记矩阵为阶矩阵，那么

设是特征矩阵的伴随矩阵，中每个元素的代数余子式都为的次多项式.那么可以假设可以表示为

那么
（1）
因而
从上面可以得知和可以互换，也就说明（1）式是有意义的.
将，，代人上面的式子，整理得到因而可以推出.
证明完毕.
除了上面所知道的证明，我们在有关高等代数的书籍中常常可以看的用Jordan块，Frobenius块来证明凯莱哈密尔顿定理.
3 凯莱哈密尔顿定理的应用

3.1 凯莱哈密尔顿定理在高等代数证明题上的应用
例1 矩阵是阶方阵，
（1） 证明可逆的充要条件为的特征多项式中常数项非零；
（2） 当是可逆的，证明的多项式可以由的逆矩阵和伴随矩阵来表示.
解：对于问题（1）的证明：设矩阵的特征多项式表示为

根据凯莱哈密尔顿定理已知.当时，可以得到.从而推得可逆的条件为的常数项不为0
对于问题（2）的证明：由上述证明可得当可逆时，的常数项，
由式子

可以得出

所以

例2 已知，分别为阶和阶方阵，并且和没有公共的特征根，证明有且只有一个解.
证明 设为方阵的特征多项式，为方阵的特征多项式；为的特征根，那么的特征根则表示为，并且.
当时，可以得出是的特征根与已知条件，没有公共的特征根相违背，因而对于任意的都存在.所以是可逆矩阵.对式子进行变换得

从而

又因为可逆，所以推得.
3.2 凯莱哈密尔顿定理在高等代数计算题上的应用
3.2.1 利用凯莱哈密尔顿定理求解逆矩阵
在高等代数中我们学过逆矩阵的解法，常用的一种解法为根据公式求解逆矩阵.用这种方法求解首先判断是否为零，若不为零再求得，最后求得逆矩阵.用凯莱哈密尔顿定理可以更方便的求解逆矩阵.
设矩阵为数域上的一个阶方阵，根据凯莱哈密尔顿定理可以得知
.
那么矩阵的特征多项式为

假设矩阵是可逆的，那么矩阵的特征多项式的常数项.
于是

所以可以求得可逆矩阵

例3 矩阵是数域上的阶矩阵，

求矩阵的逆矩阵.
解 的特征多项式表示为

解得，那么矩阵是可逆的.于是有

3.2.2 利用凯莱哈密尔顿定理求解方阵高次幂问题
在高等代数中我们曾学过如何求解方阵高次幂的问题，矩阵是数域上的阶方阵，令，那么，现在我们也可以用凯莱哈密尔顿定理来求解方阵高次幂.巧用凯莱哈密尔顿定理我们可以更方便快捷地求得方阵的高次幂的.
例4 设

求.
假设所要求的是矩阵的次幂矩阵，则.

当时，得到，当时，得到.对进行求导得到

当时，可得到，进行依次求导，可以得知，其他常数项都为零.那么可以表示为

于是

根据凯莱哈密尔顿定理得知必有，所以
那么

例5 设

求.

的特征多项式为，由凯莱哈密尔顿定理得

设，由特征根以及得到

故

3.2.3 利用凯莱哈密尔顿定理求解二阶方阵的平方根
在矩阵的相关应用中，快捷地，正确的判断出一个矩阵有没有平方根矩阵甚至知道怎么求解矩阵的解，是十分有意义的.
数量方程的与矩阵方程有相似的形式，但它们的根的唯一性、存在性、解的结构及性质等各方面的差异却是很大.所以简单地将数量方程得到的结果直接套用到矩阵的方程上是不行的，如在复数域上，数量方程是一定存在着解的，矩阵方程却不一定存在着解，或者是有可能有无限个的解，并且解如果不为零，那么也可能是幂零的.对于矩阵方程解的求法，我们可以通过凯莱哈密尔顿定理来实现.
设矩阵是数域上的阶方阵，根据凯莱哈密尔顿定理可以得到

设矩阵是数域上的二阶方阵，为矩阵的迹.矩阵是矩阵的平方根，则

将式子代入到上式，可以消去，得到式子

根据可以得到

然后，我们可以将矩阵分为是不是数量矩阵来进行研究.
（I）矩阵为数量矩阵
如果矩阵为数量矩阵，那么，则

（i）当时
一般解的形式为

（ii）当时
得出矩阵为数量矩阵，那么只会存在一对解.
（II）矩阵不是数量矩阵
如果矩阵不为数量矩阵，那么一定不为零，所以可以假设每个平方根的表达式为：

那么可以得到式子

我们知道矩阵不为数量矩阵，那么不可能为零矩阵，于是

（i） 当，时

（ii）当，时

（iii）当时

（iv）当时
如果，那么必有，与已知假设相违背，因而可以得出矩阵没有平方根.
例6 求解矩阵的平方根，表示为

矩阵不是一个数量矩阵，且，那么矩阵的平方根为

例7 求矩阵的平方根，其中

矩阵不是一个数量矩阵，且，那么矩阵的平方根为

3.2.4 利用凯莱哈密尔顿定理来解决有限维线性空间直和分解的问题
在这里，主要运用凯莱哈密尔顿定理得到一些重要结论，因而可以使得向量空间中的直和分解使用范围扩大.
凯莱哈密尔顿定理：数域上的矩阵为阶矩阵，它的特征多项式表示为，那么.
直和定理：设是一个关于数域上的维数为的线性空间，为上的线性变换，假设的特征多项式在数域上具有分解式

那么的直和分解表示为

其中是数域上互为不相同的数，为上的恒等变换.
但是，这结论只存在于是复数域的时候.现在我们将讨论当不是复数域的时侯有限维线性空间的直和分解.
定理2 假设是一个在上的维线性空间，为上的线性变换，若的特征多项式的分解式如下所示

在数域上两两互素，那么的直和分解表示为

定理3 假设是一个在上的维线性空间，为上的线性变换，若的特征多项式的分解式如下所示

那么在上多项式没有根，所具有的直和分解如下所示

在数域中互为不相同的数，是的恒等变换，而且
，
例8 求解在四维空间中有关矩阵的直和问题，其中矩阵所决定的线性变换表示为.已知的形式如下

的特征多项式表示为，在数域上求得的特征值为，是不可约的，联系定理2可以求得

可以得知为的一个基.那么显然可以知道是和的直和.
除了以上的应用，凯莱哈密尔顿定理还可以应用在其他许多地方，该理论在力学中也经常被应用，具体可以去看文献《弹性地基上任意厚度叠层板的弯曲问题》和《三维横观各向同性成层地基的传递矩阵解》.

4 总结
本文主要是把凯莱哈密尔顿定理的证法进行归纳，并且对该定理的应用进行了归纳研究，从中我们可以看出证明凯莱哈密尔顿定理的方法有很多，且各种方法都不尽相同.本文中所提到的证明方法都有其各自的特点，凯莱哈密尔顿定理的应用也是很广泛的，通过分析各自应用的特点，快速抓住掌握问题的实质，理解该定理如何应用，然后举相关的例子，更好的进行理解.

参考文献：
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[10] Anandam B~nerjee .Polynomials Satisfied by Square Matrices: A Converse to the Cayley-Hamilton Theorem[J]. RESONANCE.2002, 7(11):47-58.

致谢
时光匆匆，转眼即逝，四年的大学生活也到了头，回想这短暂的四年，我们有过快乐，也有过忧愁，在大学里我们有过真诚的青春，纯真的岁月，校园里留着我们的美好记忆，在毕业论文完成之际，也就意味着我们即将踏入社会。在这里，我非常感谢我的指导老师----杨浩波老师。选好题后，在杨老师的悉心指导下我开始进行了选取资料，选好资料后，杨老师又指导了我如何完成外文翻译，文献综述，开题报告，也教会了我如何完成毕业论文，在老师的耐心教导下，我顺利的完成报告了。同时，我也要感谢我的同学和其他老师，在你们的帮助下使我完成了大学四年的学业，也使我懂得了很多做人处事的道理，有你们的相伴，让我不在孤独和彷徨。在这里我再次衷心的向你们表示感谢。
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