数学归纳法的原理推广及应用--学士学位论文.doc

学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 编号 学士学位论文数学归纳法的原理推广及应用学生姓名： 冯丹丹 学 号： 20120102023 学院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2012 指导教师： 陈聪 完成日期： 2016 年 4 月 20 日18中文摘要数学归纳法是数学上用于证明与自然数N有关的数学命题方法.本篇文章通过一些典型例题来反映数学归纳法的原理及其推广，并且通过这些例题讨论了数学归纳法的在其他学科实际应用.关键词：数学归纳法；推广；应用Generalization and Application of the Principle of Mathematical InductionAbstractThe mathematical induction method is used to prove the mathematical proposition related to the natural number N. This article reflect the principle of mathematical induction promotion of mathematics by some typical examples and discuss the practical application of mathematical induction in all other respects by these mathematical examples.Key words：Mathematical induction; extension; application.目录中文摘要1Abstract2引言41.数学归纳法的概念42.数学归纳法的原理52.1数学归纳法的原理步骤52.2数学归纳法的基本形式52.2.1第一数学归纳法52.2.2第二数学归纳法53.数学归纳法的常见应用53.1证明数列63.2证明恒等式和整除性73.3证明不等式94.数学归纳法的推广及其应用114.1数学归纳法在几何中的应用114.2数学归纳法在行列式中的应用124.3数学归纳法在高考理综（物理）中的应用135.总结16参考文献18致谢19引言数学知识的学习，时常让人困惑，尤其是定理的发现与证明是很揪心的，这些对学术水平不高的我们来说很痛苦，而且要想证明某些数学猜想是否正确，就需要通过一些实例来进行研究，从而得出规律性的东西.这种逻辑思维方式恰恰是数学归纳法的一般运用.在解题过程中，数学归纳法往往和各方面的知识有着密切联系，因此需要对数学归纳法进行变形推广，变成适用于解决该问题的形式，本文即是从数学归纳法的基本原理出发，来研究数学归纳法的应用.1.数学归纳法的概念 数学归纳法的理论基础来源于皮亚诺公理. （1） 皮亚诺公理 1) 是自然数. 2) 对每一个确定的自然数，都有一个确定的后继数（数的 后继数是紧接在这个数后面的整数）. 3) 不是任何自然数的后继数. 4) 若，的后继数都是自然数，那么. 5) 设,且满足两个条件： . 若，那么，则是全体自然数的集合，即.1 （2） 数学归纳法的核心思想 先证明当（例如，但取第一值不一定从开始) 时命题成立，然后假设当（，）时命题成立，并 证明当时命题也成立，那么就证明这个命题成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.22.数学归纳法的原理2.1数学归纳法的原理步骤 1） 验证当取第一个值（）时结论正确. 2） 假设当（，）时结论正确. 3） 利用时成立，推导时的命题形式，验证其成立.2.2数学归纳法的基本形式 2.2.1第一数学归纳法 设是一个关于正整数的命题，如果 1） 成立. 2） 假设成立，则也成立，那么，对任意正整 数都成立. 3） 利用2）来证明时，命题成立. 2.2.2第二数学归纳法 1） 成立. 2） 假设对所有适合的正整数成立，则成立，那 么，对于意正整数都成立.33.数学归纳法的常见应用3.1证明数列例1 某鞋厂仓库原有鞋子的数量为，且每月生产鞋子的增长率为，因 工厂店面装修升级的需要，每月月底要减少鞋子的数量，设为月后 该鞋厂的鞋子数量.那么求的表达式.4解 由题意，可知， ， ， ， ， 由此猜想 ， . 下面用数学归纳法证明， 当时， 猜想成立. 假设时，猜想成立，即 成立. 那么当时， 即当时，猜想仍成立. 注意 证明时一定要看清到之间的变化.3.2证明恒等式和整除性例2 是否存在常数使得等式 对于一切正整数都成立?4证明 假设存在常数符合题意，那么等式， I）当， 有 . II）当， 有 . III）当， 有 . 由解得，. 于是，对于都有 . （*） 下面用数学归纳法证明猜想：（*）式对于一切正整数都成立. 1) 当时，有上述知，（*）式成立. 2) 假设时，（*）式成立. 即 , 那么当时， ，当时，（*）. 综合上面所讲述的情况，当， 时题目中的等式对于一切正整数都成立.注意 明确左式变形的目标，变形时要验证假设是否符合题意.例3 证明 能够被整除.5证明 1) 当时， 显然能够被整除，命题成立. 2) 假设当时，即， 当时， 由假设知能够被整除，而是偶数，故能够 被整除，从而 能够被整除，因此，当时命题成立，由1),2)知,命题对于 一切正整数成立，即能够被整除. 注意 1) 需要明确首项的取值，并且验明真假. 2) 分析“”时命题是什么，并且找出与“”时的差别具体 是什么，找出左端应该添加的项是什么.3.3证明不等式例4 ：1的自然数，不等式 .5分析 证明从到时，关键在于构造， 并转化成结论的形式.证明 1) 当时， 左端=， 右端， 又知，因为左端右端，即当. 2) 时， 即 成立,那么当时，有 又因为， 所以， 即， 也就是 对时成立. ，1的自然数.4.数学归纳法的推广及其应用 数学归纳法在现实应用中，不光可以变化推广应用到立体几何方面,还 有对于行列式等式的证明，除此之外高考理综中的一些物理题型不仅可以用 物理方法做，也可以结合数学归纳法来解题.4.1数学归纳法在几何中的应用例5 一张无穷大的白纸上画有，这些直线任意三条线不共点，且两 两互不平行，求证：这条直线把白纸分成个部分.证明 猜想当时结论成立，下面用数学归纳法进行证明， 1）当时，白纸被分成个部分，又因为, 故猜想成立. 2）假设当时，且命题成立，则白纸被分成 个部分，那么当时，白纸被分成了 个部分，故猜想成立，那么由1）、2）可知，对一切，命题都 成立.小结 本题关键在于分析到之间的关系，也就是白纸被分成了 几块，可以结合图形来证明.4.2数学归纳法在行列式中的应用例6 试用数学归纳法证明： 6证明 猜想当时，结论成立，下面用数学归纳法证明， 1) 当时， 左式 右式， 于是猜想成立. 2) 假设时结论成立，当时，记为 中元素的，将左式按第行展开,得 左式 =右式，即猜想成立. 所以原式对任意正整数成立.7小结 行列式变形时可以利用一些常见技巧（加边法，行列和相等）以及行列 式本身的性质使计算更简便，易于得出结果.4.3数学归纳法在高考理综（物理）中的应用例7 有一个底角为的等腰梯形固定在地面上，梯形的高为，等腰 梯形的一腰的底端有一垂直于斜面的塑料挡板.在梯形上点处自由释 放一个质量的小球（可以视为质点）,如下图使其从点运 动到点，运动过程中动摩擦因数为.当小球与塑料挡板发生碰 撞后，将会以原速度返回.计算在小球和塑料挡板的前四次碰撞过程中， 塑料挡板所给小球的总冲量是多少？（重力加速度）.8解 （对小球进行受力分析如下图，可以先根据动量定理来求速度，然后再用数 学归纳法） 设小球从点由静止开始沿斜面向下运动，在第一次到达梯形底部点时小球的速度为，由功能关系得 ，其中，则， ， 以小球从底部向上运动为动量的正方向.由动量定理公式（其中为初始速度，为末速度）可知，在碰撞的过程中，小球受到塑料挡板给的冲量为 设碰撞后小球所能到达的最大高度，小球所受合力沿斜面向上那么，则 同理，由功能守恒有 式中，是小球再一次到达点时的速度，是再次碰撞的过程中小球受到塑料挡板所给的冲量，这时可由式推得 式中带入数据可得 , 由式可以猜想是以公比为 的等比数列，下面用数学归纳法进行验证， 1) 当时，2) 当时，3) 当时， 4) 当时， 于是可以得到， 成等比关系，故猜想成立. 其等比首项为, 则总冲量为, 观察上式可知 为首项是，公比是的等比数列，于是由等比数列前项和公 式为 ， 可得，当时， ， 故， 代入数据得 .小结 俗话说数理化不分家，解决物理问题时可以将物理问题适当的转化为数 学问题，对于类似于上题这种类型的题目，解题时可以先用物理知识一 步一步往下写，多写几步然后对已经写出的结果进行分析，归纳总结出 规律性的结果，从而得出结论. 5.总结通过本次论题的深入研究，我了解到数学归纳法的应用范围非常广泛，对各方面的题型的解决提供了很大的帮助，还让我明白要想解决一个问题，必须有清晰的逻辑关系，另外还需要正确的归纳推导，并且在处理问题时灵活运用数学归纳法.如果能够在各方面熟练的运用数学归纳法，可以使我们的思维更加灵活. 然而在运用数学归纳法时常常需要变形，因此需要注意以下几点：1、 计算第二步时注意验算第一步的地推是否成立，两步环环相扣，为后面的 证明做基础.2、 归纳假设要根据题意灵活应用.3、 有些命题证明时，必须要引进一个辅助命题来帮助证明，从而才能证明.4、 在第一步计算中，初值并不唯一.5、 第二步计算中关键是“先凑假设，后凑结论”.最后，数学归纳法精神深邃，在解决一些与自然数集有关的命题证明时十分有效，有兴趣的读者可以对其在其他数学领域的应用及推广做进一步的研究和探讨.参考文献1 唐子周.关于数学归纳法的一点探索J.中国科技信息，2008，(3)：235-2392 王国栋.如何理解数学归纳法证明步骤J.数学学习与研究：教研版，2011， (5)：663 杜志国.数学归纳法教案设计J.数理化解题研究：高中版，2015，(15)：34-354 曲一线.五年高考三年模拟M.首都师范大学出版社，2015.62-705 杜志建.高考复习讲义M.新疆青少年出版社,2015.195-1986 王萼芳,石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社,2003.93-967 孟祥德.数学归纳法在行列式证题中的关键J.高校理科研究,2010，(10)： 1018 邓远洪，张国琼.例谈数学知识在物理高考中的应用J.高中数理化：高三 版，2008，(12)：27-28致谢四年的学习生活即将结束，而于我的人生来说，却只是一个小篇章，因为我又将开始续写新的篇章.回想这些逝去的日子，我感到非常充实，当我的毕业论文写完的那一刻，我有一种如释重负的感觉，心中感慨颇多.首先感谢我的指导老师，这篇论文就是在陈聪老师的无限耐心和悉心指导下完成的.老师开阔的视野，以及严谨的治学态度，深深的影响着我，并在写论文时给予我启迪和意见，使我受益匪浅.在此我谨向陈聪老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.另外我还要感谢陪我一起在图书馆查阅资料的同学们，正是由于同学们热情的帮助，我才能够将论文的相关资料收集的如此全面，从而使我的论文顺利完成.