二项式定理中的赋值技巧.pdf

河南省许昌市建安区第一高级中学 丁书珍河南省鄢陵县第二高级中学 刘俊霞 在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解。即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧。已知(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+Cnnxn,令x=1,得 2n=C0n+C1n+C2n+Cnn。这就是说,(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于 2n。例1 求证:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。解析:奇数项的二项式系数的和为C0n+C2n+C4n+;偶数项的二项式系数的和为C1n+C3n+C5n+。由 于(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+Cnnbn中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。在展开 式(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+Cnnbn中,令a=1,b=-1,得(1-1)n=C0n-C1n+C2n+(-1)kCkn+(-1)nCnn。即(C0n+C2n+C4n+)-(C1n+C3n+C5n+)=0。因此,C0n+C2n+C4n+=C1n+C3n+C5n+。故在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。点评:实际上,a,b既可以取实数,也可以取多项式。我们可以根据具体问题的需要灵活选取a,b 的值。例2 已 知(3x-1)8=a8x8+a7x7+a1x+a0,求下列各式的值:(1)a8+a7+a1+a0;(2)|a8|+|a7|+|a6|+|a0|;(3)a1+a3+a5+a7。解析:(1)令x=1,得a8+a7+a1+a0=(3-1)8=28=2 5 6。(2)因为|a8|+|a7|+|a6|+|a0|=a8-a7+-a1+a0,所以令x=-1,得:|a8|+|a7|+|a6|+|a0|=a8-a7+-a1+a0=(-3-1)8=48=6 5 5 3 6。(3)由(1)和(2)知:a8+a7+a1+a0=(3-1)8=28,a8-a7+-a1+a0=(-3-1)8=21 6。则a1+a3+a5+a7=28-21 62=27-21 5=-3 2 6 4 0。点评:赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项。同时,要注意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值求解。同时注意这类问题的变形写法,如:|a8|+|a7|+|a6|+|a0|=a8-a7+-a1+a0=(a8+a6+a4+)-(a7+a5+a3+)等。对于比较繁杂式子的求值问题,22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分解等,对式子进行因式分解,再赋值求解。例3 已知(2-3x)1 0 0=a0+a1x+a2x2+a1 0 0 x1 0 0,求下列各式的值:(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+a1 0 0;(3)a2+a4+a1 0 0;(4)(a0+a2+a1 0 0)2-(a1+a3+a9 9)2。解析:(1)令x=0,可得a0=21 0 0。(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0。所以a1+a2+a3+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0-21 0 0。(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4+a1 0 0=(2+3)1 0 0。结合(2)可得:a0+a1+a2+a3+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0,a0-a1+a2-a3+a4+a1 0 0=(2+3)1 0 0。则a0+a2+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0+(2+3)1 0 02。由(1)知a0=21 0 0。所 以a2+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0+(2+3)1 0 02-21 0 0。(4)由(2)知a0+a1+a2+a3+a4+a1 0 0=(2-3)1 0 0。由(3)知a0-a1+a2-a3+a4+a1 0 0=(2+3)1 0 0。则(a0+a2+a1 0 0)2-(a1+a3+a9 9)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a1 0 0)(a0-a1+a2-a3+a4+a1 0 0)=(2-3)1 0 0(2+3)1 0 0=1。点评:一般地,对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,各项系数和为f(1),奇次项系数和为f(1)-f(-1)2,偶次项系数和为f(1)+f(-1)2,a0=f(0)。例4 已 知(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+anxn的展开式中的各项系数和为2 4 3,求a1+2a2+3a3+n an值。解析:令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+an=3n=2 4 3。解得n=5。对(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+anxn求导,可得:2n(2x+1)n-1=a1+2a2x+3a3x2+n anxn-1。令x=1,可得:a1+2a2+3a3+n an=2n3n-1=2 5 34=8 1 0。点评:观察问题中的式子,我们发现,an前面的系数是原式xn的幂指数,先借助于求导可以实现数由指数位置向系数位置的转化,再对求导所得结果赋值即可得到该类型题的答案。例5(1)若(1+m x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,且a0+a1+a2+a6=6 4,则求实数m的值。(2)已 知C4n=C6n,设(3x-4)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n,求a1+a2+an。解析:(1)令x=1,可得(1+m)6=a0+a1+a2+a6=6 4。则1+m=2或1+m=-2。解得m=1或m=-3。(2)因为C4n=C6n,所以n=1 0。则(3x-4)1 0=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a1 0(x-1)1 0。令x-1=0,即x=1,可得a0=(3-4)1 0=1。令x-1=1,即x=2,可 得a0+a1+a2+a1 0=(6-4)1 0=21 0。故a1+a2+a1 0=21 0-1。点评:在与二项式定理有关的赋值求值问题中,首先要观察需要求值问题与原题中条件之间的关系,从展开式入手,通过比较,正确找出需要赋的值,才能求出正确的答案。(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月