对高中数学新课标教材新增知识点的价值分析.pdf

对高中数学新课标教材新增知识点的价值分析安徽省五河县高级中学（）钱伟风 刘瑞美 一、问题的提出随着 年版 年修订的普通高中数学课程标准的全面实施，普通高中数学新课标教材应运而生 新课标教材依据新课程标准，根据新时代高中生的认知特点并结合数学教育承载着落实立德树人、发展素质教育的功能，删减了部分老旧边缘的知识点，修订了部分知识点，增加了与航海、航空、统计、人工智能等有关的知识点 本文对新增知识点进行梳理，以期对一线教师能有所帮助二、新增的知识点 百分位数：在统计中增加了百分位数的概念和应用 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分位数 （，），总体的 分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是 总体的 分位数通常是未知的，生活中人们用样本的 分位数来估计它，样本容量越大，其估计就越准确计算一组 个数据的 分位数的一般步骤为：第一步，将 个数据按照从小到大排列原始数据；第二步，计算 ；第三步，若 不是整数，大于 的最小正整数为，则 分位数为 项数据；若 是整数，则 分位数为第 项与第（）项数据的平均数 分层抽样的方差：设样本中不同层的平均数分别为珋，珋，珋，方差分别为，相应的权重分别为，则这个样本方差为 （珋珋），其中珋 为这个样本数据的平均数 投影向量：已知两个非零向量珗，珒，作 珗，珒，过点 向直线 作垂线，垂足为 ，得到珗 在珒 上的投影向量珗 ，珗 称为珗 在珒 上的投影向量 如图 ，珗 珗，珒称为投影向量珗的数量，也称为向量珗 在向量珒 方向上的投影数量，可以表示为珗 珒珒 因此向量珗在珒 方向的投影向量可以简单的表示为珗 在珒 方向上的投影数量与珒 在其方向上单位向量的乘积 即珗在珒方向上的投影向量为珗 珒珒 珗珗 珒珗珒珒珒珗 珒珒珒 投影图 数量是向量数量积的特殊情况，由向量投影的定义，可以得到向量数量积珒 珒 的几何意义：珒 的长度珒与珒 在珒 方向上的投影数量 珒 的乘积（如图 ）或珒的长度珒与珒 在珒 方向上的投图影数量 珒 的乘积 空间点到直线的距离：新课标教材中，在学习完空间向量后，增加了用空间向量方法求空间点到直线的距离公式，只要对向量的有关概念和运算掌握地比较好，这个公式实际上可以理解为勾股定理的一个应用图 设珗 是直线 的一个 单 位 方向 向 量，是直线 上任意一点，点 是直线 外任意一点，设 珗，则点 到直线 的距离 珗（珗 珗）槡 如图 所示图 全概率公式：设，是一组两两互斥的事件，且 ，（），如图，对于任意事件 ，有（）（）（），这就是全概率公式 它为我们计算复杂事件的概率提供了方便 贝叶斯公式：设，是一组两两互斥的事件，且 ，（），对于任意事件 ，有 （）年第 期中学数学研究（）（）（）（）（）（）（）贝叶斯公式在统计学中被广泛应用，并且具有重要的意义三、价值分析依据普通高中数学新课程标准，从大力培养学生六大数学核心素养出发，新课标教材增加的六个知识点，与当代的工程建设、航空、航天、航海和人工智能等联系紧密，而高中数学应实现大众化教育，让人人都学到有用的数学知识，为他们将来进入高校进一步学习和走上工作岗位打好基础 如在统计中增加的 分位数，就让学生了解到百分数在现代统计学的应用 向量是当代数学研究中的有力工具，在研究两向量数量积中，学习了一个向量在另一个向量上投影的概念，在此基础上，新教材中增加了投影向量的概念，为用向量法解决问题提供了方便例 在 中，点 是 的外心，则 解：过点 作 的垂线，垂足为 ，则 在向量 上的投影向量为 ，因为点 是 的外心，所以 为 的中点，于是 同理 ，故 （）在上面的解题过程中就利用到投影向量的概念，充分体现了向量的工具性，使得问题解决过程简洁 又如，在空间向量中，新教材中增加了用向量的方法解决空间点到直线距离问题，在高中阶段没有学习空间解析几何的条件下，研究点到直线的距离公式，教材上利用投影和投影向量的概念，结合勾股定理，进而求出空间点到直线的距离 实际上还可以先求出直线 外一点 在直线 上射影点的坐标，再利用向量的模来求解图 例 的两条直角边 ，平面 ，则点 到 直 线 的 距 离是解：以 为坐标原点，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 （，），（，），（，），则 （，），（，），（，），取珗 （，），珗 （，），则点 到直线 的距离 珗（珗 珗）槡 槡 槡 另解：设点在直线 上的射影点（，），由 ，得 ，再设 ，于是有（，）（，），所以 ，（，），故 （）（）槡槡 从上面的两种求解方法中可以看出，一个体现投影数量和投影向量概念的应用，另一个体现了垂直向量和共线向量的应用，过程简单，既培养了学生的空间想象能力，又提升了他们的数学运算素养新课标选择性必修教材中，在学习条件概率和概率乘法公式的基础上，又增加了全概率公式和贝叶斯公式的应用，它是解决复杂事件概率的前提和基础 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可 贝叶斯公式的思想也被称为贝叶斯方法，它在人工智能等方面有着广泛的应用，随着信息技术的不断发展，人类社会已经进入人工智能的新信息技术时代，其特征就是大数据、大计算、大决策，三位一体，增加贝叶斯公式及其应用，对促进我国高科技领域的快速发展极具重要中学数学研究 年第 期