福建省三明市届高中毕业班月质量检查数学文试题含答案.doc

2016年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学试题
（满分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合,集合,则
A． B. C. D.
2．采用系统抽样方法从960人中，抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的32人中，做问卷C的人数为
A.7 B．9 C．10 D．15
3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体
的三视图，则该几何体的体积为
A．2 B．3
C．4 D．6
4．已知向量，，函数
，则的最小正周期是
A．1 B．2
C． D．
5．已知，是虚数单位，命题：在复平面内，复数对应的点位于第二象限；命题：复数的模等于2.若是真命题，则实数的值等于
A．或1 B．或 C． D．
6．已知，且，则
A． B. C. D.7
7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是
A. B. C. D.
8．已知直线与圆相交于，两点，点和点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值可以是
A． B．
C． D．
10．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，则实数的
最大值是
A．-1 B．0
C．1 D．2
11．已知球是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为的正
四棱锥与一个高为的正四棱柱拼接而成，
则球的表面积为
A. B.
C. D.
12．已知函数若的两个零点分别为，，则
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数满足则目标函数的取值范围是 .
14．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一
点满足，且，则双曲线的离心率为 .
16．在钝角△中，已知,则取得最小值时，角等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列的各项都为正数，其前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．
18．（本小题满分12分）
某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，下表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A户型
0.7
1.3
1.1
1.4
1.1
0.9
0.8
0.8
1.3
0.9
B户型
1.2
1.6
2.3
1.8
1.4
2.1
1.4
1.2
1.7
1.3
（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
A户型

B户型

0.
1.
2.

（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）.

19. 本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，是线段的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

20. （本小题满分12分）
已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，设点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设动直线与曲线交于两点，且(其中为坐标原点)，试问：是否存在定圆，使得该圆恒与直线相切？说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数（其中为常数），且是的极值点．
（Ⅰ）设曲线在处的切线为，求与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求证：．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙与⊙相交于两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙，⊙于点，与相交于点．
（Ⅰ）求证: ∥；
（Ⅱ）若是⊙的切线，且，，
，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线：与曲线，的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（I）当时，求的解集；
（II）若的解集包含集合，求实数的取值范围．

2016年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1.C 2.A 3. A 4.C 5.D 6. B 7. C 8.A 9.B 10.D 11. C 12.D
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. 解：（Ⅰ）设数列的公比为，由，得，
所以， 因为数列各项都为正数，所以， ………………2分
所以，又,所以， ………………4分
所以数列的通项公式是， ………………6分
（II）由（I）得， ………8分
所以， ……………10分
因为， 所以， ………………11分
又，
所以关于单调递增 所以，
综上所述：． ………………12分
18．解：（Ⅰ）
A户型

B户型
9 8 8 9 7
3 1 4 1 3
0.
1.
2.

2 6 8 4 4 2 7 3
3 1

………………3分
A户型住宅每平方米销售价格的中位数为； ………………4分
B户型住宅每平方米销售价格的中位数为． ………………5分
(II)若选择A户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，
因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是； ………………7分
若选择B户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元，
因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率是， ………………9分
因为，所以选择A种户型抽签，能使购房成功的概率更大． ………………10分
此次购房每平方米的平均单价为万元． ………12分

19. 解：（Ⅰ）在侧面中，，，
是中点，∴，

过作于， ………………2分
连结，∵底面是正方形，，
即，∴是矩形，
∴， ………………3分
又，,∴面， ………………5分
又∵面，∴． ………………6分
（II）由（I）知，∥平面,
∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ………………7分
∵底面是正方形，侧面底面，∴侧面，
即侧面，∴，，
在三棱锥中，设点到平面的距离为，则，………9分
由于，∴，
∴，∴， ………………11分
∴，即点到平面的距离为． ………………12分
20. 解：（Ⅰ）因为点在线段的垂直平分线上，所以， ………………1分
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆． ………………3分
设此椭圆方程为，则解得
所以曲线的方程为． ………………4分
（II）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，
因为，所以，即， ………………5分
由 得， ………………6分
所以△，……（*）
，． ………………7分
则
，
解得，代入可知不等式（*）成立， ………………9分
所以原点到直线的距离为，
所以直线与圆相切． ………………11分
当直线垂直于轴时，不妨设点在轴上方，
根据椭圆的对称性，易得直线的方程为，
由 得,
所以原点到直线距离为，因此直线与圆相切．
综上所述：存在定圆，使得该圆恒与直线相切. ………………12分
21．解法一：（Ⅰ）由已知可得，则或，
而当与条件不符（舍去），∴． ………………2分
所以，，
从而，，
故切线的方程为：， ………………4分
与坐标轴的交点分别为，，
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． ………………6分
（Ⅱ）对于，
当时，；当时，，当时，．
∴在上递减，在递增，故． ………………8分
又，令，则，
从而，即． ………………10分
故，但与不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即成立． ………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）对于，当时，；
当时，，当时，．
∴在上递减，在递增，故． ………………8分
令，则，
当时，；当时，；当时，．
∴在上递增，在递减，
故，即，
即． ………………10分
故，但与不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即成立． ………………12分
22．解：（Ⅰ）证明：连接∵是⊙的切线，∴， ………………3分
又∵，∴，∴∥． ………………5分
（Ⅱ）设，，∵，，∴，① ………………6分
∵∥，∴，
∴,② ………………7分
由①②可得，或（舍去）………8分
∴，
∵是⊙的切线，
∴， ………………9分
∴. ………………10分
23．解：（Ⅰ）由得，即，
所以的极坐标方程为． ………………3分
由得，所以曲线的直角坐标方程为．………5分
（Ⅱ）设射线：的倾斜角为，则射线的极坐标方程为， …………6分
且，
联立得， ………………7分
联立得， ………………9分
所以，
即的取值范围是． ………………10分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设射线：的倾斜角为，则射线的参数方程其中为参数，
将代入得，
设点对应的参数为，则， ………………7分
同理，将代入，得，
设点对应的参数为，则， ………………9分
所以，
∵，∴的取值范围是． ………………10分
24. 解：（I）当时，，
，
上述不等式可化为或或
解得或或 ………………3分
∴或或，
∴原不等式的解集为. ………………5分
（II）∵的解集包含，
∴当时，不等式恒成立， ………………6分
即在上恒成立，
∴，
即，∴，
∴在上恒成立， ………………8分
∴， ∴，
所以实数的取值范围是． ………………10分