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概率论知识点总结

第一章 随机事件及其概率
第一节 基本概念
随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.
样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）
包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。
相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 A∪B。
事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。
事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。
用交并补可以表示为。
互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。
对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。
事件运算律：设A，B，C为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
（4）对偶律（摩根律）：

第二节 事件的概率
概率的公理化体系：
（1）非负性：P(A)≥0；
（2）规范性P(Ω)＝1
（3）可数可加性：两两不相容时

概率的性质：
（1）P(Φ)＝0
（2）有限可加性：两两不相容时

当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
（3）
（4）P(A－B)＝P(A)－P(AB)
（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)

第三节 古典概率模型
1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为
2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为
假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节 条件概率
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)
全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)
贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则

第五节 事件的独立性
两个事件的相互独立：若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A、B独立，或称A、B相互独立.
三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立
三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A、B、C两两独立
独立的性质：若A与B相互独立，则与B，A与，与均相互独立

总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布
第二节 分布函数
分布函数：设X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数为X的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间 内的概率
分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）

第三节 离散型随机变量
离散型随机变量的分布律：设(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.
当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。
分布律的性质：（1）；（2）
离散型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X的分布律，求X的分布函数；

（2）已知随机变量X的分布律, 求任意随机事件的概率；
（3）已知随机变量X的分布函数，求X的分布律

三种常用离散型随机变量的分布：
1.（0－1）分布：参数为p的分布律为
2.二项分布：参数为n，p的分布律为，。例如n重独立重复实验中，事件A发生的概率为p，记X为这n次实验中事件A发生的次数，则X～B（n，p）
3.泊松分布：参数为λ的分布率为，。例如记X为某段事件内电话交换机接到的呼叫次数，则X～P（λ）

第四节 连续型随机变量
连续型随机变量概率密度f(x)的性质
（1）f(x)≥0
（2），
（3）
（4）
连续型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X的密度函数，求X的分布函数；
（2）已知随机变量X的分布函数，求X的密度函数；
（3）已知随机变量X的密度函数, 求随机事件的概率；
（4）已知随机变量X的分布函数，求随机事件的概率；

三种重要的连续型分布：
1．均匀分布：密度函数，记为 X～U[a，b].
2. 指数分布：密度函数，记为X～E（λ）
3. 正态分布：密度函数 ，记为
N（0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.

第五节 随机变量函数的分布
离散型：在分布律的表格中直接求出；
连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量的联合分布函数
联合分布函数，表示随机点落在以（x ，y）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。
联合分布函数的性质：
（1）分别关于x和y单调不减；
（2）分别关于x和y右连续；
（3）F (-∞ , y ) = 0,F ( x ,-∞ ) =0,F(-∞,-∞) = 0
F ( +∞ ,+∞ ) = 1

第二节 二维离散型随机变量
联合分布律：
联合分布律的性质：；

第三节 二维连续性随机变量
联合密度：
联合密度的性质：；；

第四节 边缘分布
二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；
二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度

第六节 随机变量的独立性
独立性判断：
（1）若取值互不影响，可认为相互独立；
（2）根据独立性定义判断
离散型可用
连续型可用
独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布

第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量数学期望的计算，
连续型随机变量数学期望的计算，
方差的计算：，

数学期望的性质
（1）E (C ) = C
（2）E (CX ) = CE (X )
（3）E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
（4）当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )
方差的性质
（1）D (C) = 0
（2）D (CX ) = D(X)
（3）若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )

常见分布的数学期望和方差
两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布