5.4-非简谐效应.ppt

5.4非简谐效应l到目前到目前为止，我止，我们一直在一直在简谐近似下近似下讨论晶体的运晶体的运动，其，其优点是可以将晶格的运点是可以将晶格的运动分解成一些独立的分解成一些独立的简正坐正坐标的的简谐振振动，并在此基，并在此基础上引上引进声子的概念声子的概念l简谐近似的缺点是固体的一些重要物理性近似的缺点是固体的一些重要物理性质在在这一近似下一近似下无法得到无法得到说明例如明例如热膨膨胀，对一一严格的格的简谐晶体，原子晶体，原子的平衡位置并不依的平衡位置并不依赖于温度，晶体体于温度，晶体体积与温度无关在与温度无关在简谐晶体中，声子晶体中，声子态是定是定态l本本节将以将以简谐晶体的声子解作晶体的声子解作为出出发点，在此基点，在此基础上做些上做些修改，修改，这种种处理方法称理方法称为准准简谐近似假近似假设晶格振晶格振动是是严格格简谐的，就没有的，就没有热膨膨胀、热传导。实际的的热膨膨胀、热传导是原子之是原子之间的非的非谐作用所引起的。作用所引起的。1.5.4.1热膨膨胀长度度为的的 l 的的样品的品的线热膨膨胀系数定系数定义为：对于各向同性的立方晶体，于各向同性的立方晶体，为晶体膨晶体膨胀系数的系数的1/3，即：，即：K K为体体积弹性模量性模量Bulk modulusBulk modulus2.F按定按定义与体系的配分函数与体系的配分函数Z相相联系：系：对于于简谐晶体，晶体，总能量能量为3.为 能能级的平均占据数。的平均占据数。压力力对温度的依温度的依赖仅决定于决定于简正模正模频率率 是否随晶体平衡体是否随晶体平衡体积变化。在化。在简谐近似下，近似下，与体与体积无关，因无关，因为简谐运运动的的频率除率除去和原子去和原子质量有关外，量有关外，还决定于相互作用的力常数。从决定于相互作用的力常数。从(5.4.1-8)式式看，力常数随原子平距离的看，力常数随原子平距离的变化化 联系于相互作用系于相互作用势的的3次次或更高次微商，在或更高次微商，在简谐近似中，恰好略去不近似中，恰好略去不计，因而无，因而无热膨膨胀。准准简谐近似的近似的处理，假定体系的能量依然由理，假定体系的能量依然由5.4.1-8)给出，非出，非简谐效效应体体现在在 可以随晶体的平衡体可以随晶体的平衡体积变化，从而有：化，从而有：为晶格定晶格定容比容比热4.由于体由于体积弹性模量性模量K 对温度的依温度的依赖很弱，很弱，热膨膨胀系数随温度的系数随温度的变化，化，大体与大体与 相似。相似。时，为常数，在很低温度下，常数，在很低温度下，比例于比例于 变化。化。则(5.4.1-11)可写成可写成格林艾森假定格林艾森假定 是一与是一与 无关的常数，称无关的常数，称为格林艾森常数。格林艾森常数。5.晶体体晶体体积V V改改变时，格波的，格波的频率也要率也要变化化因此因此格格临爱森近似森近似计算算对所有的振所有的振动相同相同 格格临爱森常数森常数6.晶格的平均振晶格的平均振动能能晶体的状晶体的状态方程方程晶体的晶体的热膨膨胀晶体在晶体在p=0p=0下，体下，体积随温度的随温度的变化化 原子在平衡位置作微小振原子在平衡位置作微小振动，热膨膨胀较小，按泰勒小，按泰勒级数展开数展开压强7.第一第一项 静止晶格的体静止晶格的体变模量模量 热膨膨胀系数系数 格格临爱森定律森定律 保留至第二保留至第二项8.每每对于金属，在于金属，在计算算p时，还须考考虑自由自由电子气体的子气体的贡献，献，(5.4.1-14)必必须加上加上电子比子比热项，而，而电子比子比热仅在在10K左右或更低温度下重左右或更低温度下重要，此要，此时应有有 变化。化。9.5.4.2 5.4.2 晶格晶格热导率率 如果在晶体中存在温度梯度如果在晶体中存在温度梯度能流密度能流密度 单位位时间内通内通过单位面位面积的的热能能 不不考考虑电子子对热传导的的贡献献，晶晶体体中中的的热传导主主要要依依靠靠声声子来完成子来完成 为晶体的晶体的热导系数系数10.固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布布是是不不均匀的均匀的 这些些声声子子通通过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发生生碰碰撞撞，总使使得得温温度度较低的区域具有同低的区域具有同样的的“声子声子”密度密度 因因而而“声声子子”在在无无规则运运动的的基基础上上产生生定定向向运运动 声声子子的的扩散散运运动，相相应的的热量量从从晶晶体体较高高温温度度区区域域传到到温温度度较低低区域区域 温温度度较高高的的区区域域将将有有产生生较多多的的振振动模模式式和和具具有有较大大的的振振动幅度，即有幅度，即有较多的声子被激多的声子被激发，“声子声子”密度高密度高11.分分别为碰碰撞前后的声子占据数撞前后的声子占据数声子之声子之间的碰撞要遵从能量守恒律的碰撞要遵从能量守恒律由于晶体的平移由于晶体的平移对称性，称性，还应遵从晶体遵从晶体动量守恒定律量守恒定律12.热导率：率：(Heat Conductivity and(Heat Conductivity andWiedemann-Franz Law)Wiedemann-Franz Law)当温度在某一方向上有梯度当温度在某一方向上有梯度时，就会有，就会有热流从高温流向低温。此流从高温流向低温。此能流密度正比于温度梯度：能流密度正比于温度梯度：比例系数比例系数 称称为热导率。假率。假设在在 处有高温有高温热源，在源，在 处有低温有低温热源，源，电子速度子速度为 ，则能流密度能流密度为：由此得到由此得到热导率：率：13.从从这一表达式出一表达式出发，可以得出一个重要的比，可以得出一个重要的比(Wiedemann(Wiedemann-Franz law)-Franz law)：其中我其中我们利用的关系利用的关系 是由是由统计物理的能均分定理得出物理的能均分定理得出 Lorentznumber14.声子声子总数越多，声子受到的碰撞亦越数越多，声子受到的碰撞亦越频繁，弛豫繁，弛豫时间 大体比例于大体比例于1/T变化。由于此化。由于此时声子比声子比热 遵从杜隆遵从杜隆珀蒂定律与温度无关，珀蒂定律与温度无关，则热导率率 晶体中的晶体中的总声子数比例于温度声子数比例于温度T。Lorentz常数的常数的实验值在在 附近，因此当附近，因此当初初Drude计算的算的结果因果因为一个两倍的一个两倍的错误与与实验值符合得好极了。符合得好极了。Drude估算的估算的Lorentz常数的量常数的量级是是对的，后来的固体物理的，后来的固体物理发展展证明，明，他的正确他的正确结果建立在两个大果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温下的的互相抵消上，即室温下的电子比子比热高估了高估了100倍而倍而电子平均速度的均方子平均速度的均方值低估了低估了100倍。倍。温度高温度高()时，热平衡的声子占据数平衡的声子占据数15.1、在低温下，、在低温下，晶体中的声子，晶体中的声子 相相应的波的波矢亦矢亦较小，小，如初，如初终态的波矢均的波矢均远小于小于 ，则晶体晶体动量量守恒式中守恒式中 。这种在声子碰撞中初种在声子碰撞中初终态总格波格波动量量严格相等格相等的的过程称程称为正常正常过程，或程，或N过程程。这是低温下，声子碰撞的主要是低温下，声子碰撞的主要过程程。3、晶体、晶体动量守恒式中量守恒式中 的的过程称程称为U过程程(Umklapp process)，这过程要求程要求 在第一布里渊区外，在第一布里渊区外，与之相与之相差一倒格矢。差一倒格矢。这样 的方向几乎与的方向几乎与 相反相反 能有效的降能有效的降低低热导率。率。2、在、在热平衡状平衡状态，由于，由于 ，声子，声子总波矢波矢为零，没零，没有有热流。当体系由于温度梯度的存在而流。当体系由于温度梯度的存在而处在非平衡状在非平衡状态时，声子的，声子的分布有非零的分布有非零的总格波格波动量量 ，相，相应的有的有热流存在，流存在，仅有有正正常常过程，由于无法改程，由于无法改变格波格波总动量，晶体将有无量，晶体将有无穷大的大的热导率。率。16.