线段最值问题.doc

完整版)线段最值问题

【通过做对称求出最小值】
1、在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,
点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的
最小值为          cm．

2、如图所示,正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________

3、已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，E为AD中点,AB＝6㎝，
D
C
E
B
P
A
P为AC上任一点.求PE+PD的最小值是 .

A
C
P
E
F
B
D
【变式】在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边
AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF
的最小值,则这个最小值是 。

【模拟练习】
1、如图,在锐角△ABC中,AB=4，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
A
B
C
D
N
M

2、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°,∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N,使△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长为__________
B
A
D
E
M
C
N

4、如图,点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　 　)

　 A．25° B．30° C．35° D．40°
6、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点,E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为___________

7、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时,四边形PMON的面积为　 　．

8、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________

9、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点,P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．

【通过三角形三边关系或圆求最值】
1、 如图,∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2，BC=1，运动过程中,点D到点O的最大距离为_________

2、如图，∠MON=90°,边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中,点C到点O的最大距离为_______

3、如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ．A
D
C
B
E
F
P

M

4、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4,CD=,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C,则A′C长度的最小值是__________．

5、如图，在矩形中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB’F,连接B'D,则B’D的最小值是____________

6、如图，在△ABC中,∠ACB=90°，AB=5，BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是　 　．

【通过点到直线距离，垂线段最短求最小值】
1、 已知点D与点A(8,0）,B(0,6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为___________
2、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0,1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

A．8 B．12 C． D．
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4,0)、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点),点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点,则切线长PQ的最小值为（ )

A。 B。 3 C。 D.
C
A
B
E
F
4、如图，在△ABC中,AB = 10，AC = 8，BC = 6,经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是 （ )
A． B．4.75 C．4.8 D．5

【将图形展开后求线段最短】

1、如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___________cm

【高中基本不等式】
1、张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论,推导出“式子（x＞0)的最小值是2”．其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是,矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时,就有x=（x＞0），解得x=1,这时矩形的周长2()=4最小，因此（x＞0)的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子(x＞0）的最小值是___________

【其它】
1、如图,已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径的最小值是（ ）

A。 B. 2 C. D.
2、如图,正方形ABCD的边长为1，中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转,在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为____________

3、如图，AB=10，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连结PQ，则PQ的最小值是（）

A． 5 B． 6 C． 3 D． 4
4、如图,点A，B的坐标分别为（1，4）和（4,4），抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．

5、如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6、在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13，0），若直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为_______．

7、在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是( ）

A．1 B． 3 C． D． 2

8、如图,已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2）,⊙C的圆心坐标为（﹣1,0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(）
A．2 B． 1 C． D．
9、如图，AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．

第7题 第8题 第9题

【构造三角形】
1、如图,一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米。一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）

2、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6,∠ABC＝150°,则线段AP＋BP＋PD的最小值为
A
B
C
D
P
（第2题）

3、问题情境：
如图1,P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
探究:
请您结合图2给予证明;
归纳:
圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．
图中有圆，直接运用:
如图3,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
图中无圆，构造运用：
如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点,N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点,可得MA=MA’=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图8，以点M为圆心,MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）
迁移拓展,深化运用：
如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 ．

2、如图,在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15．
（1)探究：如图1，作AH⊥BC于点H，则AH＝ ，△ABC的面积＝ ．
(2）拓展：如图2，点D在边AC上（可与点A，C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E,F，设BD＝x，AE＋CF＝y．
①求y与x的函数关系式,并求y的最大值和最小值；
②对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，请求出这样的x的取值范围．
A
B
C
H
A
B
C
D
F

E
图1
图2

3、如图，等腰梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=45°,P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y
（1)求y与x的函数关系式;
（2)若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3)若∠APD=90°，求y的最小值．

4、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.
（1)蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
(2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm,蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上,线段PQ为蜘蛛爬行路线.若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.

5、在Rt△ABC中,∠A=90°，AC=AB=4, D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°）,记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时,线段BD1的长等于 ,线段CE1的长等于 ;(直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
(3）①设BC的中点为M,则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）

6、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG;
（2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

7、 在△中，,将△绕点顺时针旋转，得到△.
（1）如图①，当点在线段延长线上时. ①。求证：；②。求△的面积；
（2）如图②，点是上的中点，点为线段上的动点，在△绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差。

8、如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4,∠BAD=60°,且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
(2）若AP=6,求AE+AF的值;
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

9、抛物线y=ax2+bx+4（a≠0)过点A（1，﹣1)，B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1,连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
(3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合)，∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

10、问题提出：如图1，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点,连结AP,BP，求AP＋BP的最小值．
（图3）
P
B
D
O
C
A
（图2）
（图1）

P
P

B
C
D
B
C

尝试解决:为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP,
∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案:AP＋BP的最小值为 ．
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下, AP＋BP的最小值为 ．
拓展延伸：已知扇形COD中,∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5,点P是上一点，求2PA＋PB的最小值.

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