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绪论 1 了解矢量了解矢量已知条件：三条已知条件：三条线线段段长长度相等并相互平行度相等并相互平行绪论 2 矢量分析矢量分析矢量矢量 矢量可用有向矢量可用有向线线段来表示。段来表示。若在直角坐若在直角坐标标系下，系下，可表示可表示为为 为单为单位矢量。位矢量。与与x,y,z轴轴的的夹夹角角为为 ，则则绪论 3 矢量分析矢量分析矢量的代数运算矢量的代数运算矢量的加减法矢量的加减法几何作几何作图图法（平行四法（平行四边边形法形法则则，三角形法，三角形法则则）标标量乘矢量量乘矢量绪论 4 矢量分析矢量分析3.矢量的矢量的标积标积（点（点积积，点乘），点乘）任何两个矢量的任何两个矢量的标标量量积积是个是个标标量量满满足交足交换换律律 分配律分配律若若 则则 与与 正交正交绪论 5 矢量分析矢量分析矢量的矢矢量的矢积积（叉（叉积积，叉乘），叉乘）任何两个矢量的矢量任何两个矢量的矢量积积是个矢量是个矢量 表示由表示由 ，确定平面的法向。确定平面的法向。绪论 6 矢量分析矢量分析在直角坐在直角坐标标系下系下 不服从交不服从交换换率率 服从分配率服从分配率 可作可作为为判断平行的条件判断平行的条件 =0 或或绪论 7 矢量分析矢量分析5.矢量的混合运算矢量的混合运算6.单单位矢量位矢量绪论 8 矢量分析矢量分析 1.三种常用坐三种常用坐标标系下的矢量系下的矢量场场 1.直角坐直角坐标标系系(rectangular coordinate system)用用x,y,z表示表示,变变化范化范围围：单单位矢量位矢量 :相互正交相互正交 长长度度单单元元:矢量矢量 表示表示为为：Cartesian coordinate system绪论 9 2 2.柱坐柱坐标标 cylindrical coordinate system 用用 表示表示,变变化范化范围围：单单位矢量位矢量:相互正交相互正交 矢量矢量 表示表示为为：矢量分析矢量分析绪论 10 矢量分析矢量分析长长度度单单元元:绪论 11 矢量分析矢量分析3.球坐球坐标标系系 spherical coordinate system用用 表示，表示，变变化范化范围围：单单位矢量：位矢量：相互正交相互正交矢量矢量 表示表示为为：绪论 12 矢量分析矢量分析长长度度单单元：元：为过该为过该点球面法向；点球面法向；为过该为过该点向点向 增大的方向；增大的方向；为过为过该该点平行点平行xy平面指向平面指向 增大的方向。增大的方向。绪论 13 矢量分析矢量分析绪论 14 矢量分析矢量分析1.给给定三个矢量定三个矢量 如下：如下：求（求（1）（2）（3）（4）（5）和和 2.证证明两个矢量明两个矢量 和和 是相互平行的。是相互平行的。绪论 15 标标量、矢量与量、矢量与场场标标量量：只有大小，没有方向，：只有大小，没有方向，这这种物理量叫做种物理量叫做标标量，如量，如温度温度T、电电荷密度荷密度。矢量矢量:要用大小及方向同要用大小及方向同时时表示的物理量叫矢量。如速度表示的物理量叫矢量。如速度 ，电场电场强强度度场场：如果在空：如果在空间间域域上，每一点都存在一确定的物理量上，每一点都存在一确定的物理量A，我，我们就就说：场域域上存在由上存在由场量量A构成的构成的场。如果如果A是是标标量，我量，我们们称称场场域域上存在一上存在一标标量量场场；同理如果；同理如果 是矢量，是矢量，则说则说明明场场域域 上存在一矢量上存在一矢量场场。场场是物是物质质存在的一种形存在的一种形态态，但有，但有别别于于实实物粒子。在空物粒子。在空间间统统一点上同一点上同时时允允许许存在多种存在多种场场，或者一种，或者一种场场的多种模的多种模式。式。这这与与实实物粒子的不可入性和排他性有天壤之物粒子的不可入性和排他性有天壤之别别。绪论 16 方向方向导导数数1.标标量量场场的方向的方向导导数数 设设M0是是标标量量场场=(M)中的一个已知点，从中的一个已知点，从M0出出发发沿某一方向引一条射沿某一方向引一条射线线l,在在l上上M0的的邻邻近取一近取一点点M，MM0=，如，如图图1-2所示。若当所示。若当M趋趋于于M0时时(即即趋趋于零于零时时)，图 1-2 方向导数的定义 绪论 17 方向方向导导数数 的极限存在，的极限存在，则则称此极限称此极限为为函数函数(M)在点在点M0处处沿沿l方向的方向方向的方向导导数，数，记为记为 若若函函数数=(x,y,z)在在点点M0(x0,y0,z0)处处可可微微，cos、cos、cos为为l方方向向的的方方向向余余弦弦，则则函函数数在点在点M0处处沿沿l方向的方向方向的方向导导数必定存在，且数必定存在，且为为 绪论 18 标量场的梯度2.标标量量场场的梯度的梯度在直角坐在直角坐标标系中，令系中，令 式中式中 分分别别是是l与与 轴轴的的夹夹角，角，记为标记为标量函量函数的梯度数的梯度绪论 19 标标量量场场的梯度的梯度（gradient）标标量函数的梯度量函数的梯度 -哈密哈密顿顿算符，矢性的微分算符。算符，矢性的微分算符。在直角坐在直角坐标标系下：系下：梯度的物理意梯度的物理意义义：在：在给给定点定点处处，梯度的方向表示最大，梯度的方向表示最大方向方向导导数的方向，其模数的方向，其模值为值为最大方向最大方向导导数的数数的数值值，它，它在任一方向的投影就是在任一方向的投影就是该该方向的方向方向的方向导导数。数。标标量量场场的梯度是一个的梯度是一个矢量矢量，是空，是空间间坐坐标标的函数。的函数。梯度的旋度恒等于零。梯度的旋度恒等于零。绪论 20 常用梯度公式常用梯度公式绪论 21 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度3.矢量矢量场场的通量的通量 将将曲曲面面的的一一个个面面元元用用矢矢量量dS来来表表示示，其其方方向取向取为为面元的法面元的法线线方向，方向，其大小其大小为为dS，即是面元法即是面元法线线方向的方向的单单位矢量。位矢量。将曲面将曲面S各面元上的各面元上的 相加，它表示相加，它表示矢量矢量场场 穿穿过过整个曲面整个曲面S的通量，也称的通量，也称为为矢量矢量 在曲面在曲面S上的面上的面积积分：分：如果曲面是一个封如果曲面是一个封闭闭曲面，曲面，则则绪论 22 绪论 23 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度4.矢量矢量场场的散度的散度称此极限称此极限为为矢量矢量场场 在某点的散度，在某点的散度，记为记为 ，即散度的定即散度的定义义式式为为绪论 24 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度4.散度（散度（divergence）矢矢量量场场A的的散散度度可可表表示示为为哈哈密密顿顿微微分分算算子子与与矢矢量量A的的标标量量积积，即即 散度在直角坐散度在直角坐标标中的中的计计算公式算公式绪论 25 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度散度的意散度的意义义与性与性质质 矢量矢量场场中某点的散度表示矢量中某点的散度表示矢量场场在在该该点通点通量源（散度源）的量源（散度源）的强强度，度，给给出了散度源于矢量出了散度源于矢量场场各分量的空各分量的空间变间变化率的关系。化率的关系。高斯定理高斯定理矢量函数的面矢量函数的面积积分与体分与体积积分的互分的互换换。该该公式表明了区域公式表明了区域V V 中中场场 与与边边界界S S上的上的场场 之之间间的关系。的关系。绪论 26 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度 在力在力场场中，某一中，某一质质点沿着指定的曲点沿着指定的曲线线c运运动动时时，力，力场场所做的功可表示所做的功可表示为为力力场场F沿曲沿曲线线c的的线线积积分，即分，即绪论 27 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度5.矢量矢量场场的旋度的旋度绪论 28 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度旋度旋度（rotation）1.矢量矢量场场的旋度的旋度在直角坐在直角坐标标系下系下绪论 29 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度2.旋度的意旋度的意义义和性和性质质 对对于矢量于矢量场场 ，在，在给给定点定点 的方向的方向为为该该点最大点最大环环量的方向，量的方向，的模的模为为最大最大环环量的量的数数值值。矢量矢量场场表示矢量表示矢量场场的空的空间变间变化率，化率，该变该变化化率就等于引起矢量率就等于引起矢量场场的旋度源。的旋度源。绪论 30 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度为为拉普拉斯算符拉普拉斯算符绪论 31 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度3.斯托克斯公式：斯托克斯公式：因因为为旋旋度度代代表表单单位位面面积积的的环环量量，因因此此矢矢量量场场在在闭闭合合曲曲线线l上上的的环环量量等等于于闭闭合合曲曲线线l所所包包围围曲面曲面S上旋度的上旋度的总总和，和，即即 绪论 32 矢量分析矢量分析4、散度与旋度、散度与旋度对对比比（1）都是描述矢量）都是描述矢量场场在空在空间间的的变变化化（2）旋度是矢量，散度是）旋度是矢量，散度是标标量。量。（3）旋度表示）旋度表示场场点和旋点和旋涡涡源的关系；源的关系；散度表示散度表示场场点和通量源的关系。点和通量源的关系。（4）旋度）旋度场场描述矢量与它相垂直方向的描述矢量与它相垂直方向的变变化化规规律；律；散度散度场场描述矢量沿它自身方向的描述矢量沿它自身方向的变变化化规规律。律。绪论 33 矢量分析矢量分析5.5.无源无源场场与无散与无散场场矢量矢量场场的源：散度源，旋度源的源：散度源，旋度源仅仅由散度源由散度源产产生的生的场场仅仅由旋度源由旋度源产产生的生的场场绪论 34 6.6.亥姆霍茨定理：亥姆霍茨定理：空空间间有限区域有限区域 内任一矢量内任一矢量场场可由它的可由它的散度、旋度和散度、旋度和边边界条件唯一确定，并且它可以界条件唯一确定，并且它可以表示表示为为一个梯度一个梯度场场和一个旋度和一个旋度场场的叠加。的叠加。=0=0边边界条件界条件（B.C.）指指场场域域边边界面（或界面（或线线）上每一）上每一点的点的场值场值