级数的收敛性.ppt

寄寄 语语 孝、悌、忠、信 衡量人生的尺度礼、义、廉、耻1.第一第一节节、级级数的收数的收敛敛性性 本章内容：本章内容：第二第二节节、正、正项级项级数数第十二章 数项级数第三第三节节、一般、一般项级项级数数2.数项级数 无无穷级穷级数数无无穷级穷级数是研究函数的工具数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性研究性质质数数值计值计算算数数项级项级数数幂级幂级数数付氏付氏级级数数第十二章3.级数的收敛性 一、一、级级数的概念数的概念 二、无二、无穷级穷级数的基本性数的基本性质质 三、三、级级数收数收敛敛的必要条件的必要条件 四、柯西四、柯西审敛审敛原理原理 第一节 第十二章 4.一、一、级级数的概念数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,an 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正5.引例引例2：一尺之棒，第一次去其一半，第二次再去所余之半，如此分割下去问：1、分割 n 次共去棒长多少？2、无限分割下去，共去棒长多少？解：解：把所去之半排列起来：此是公比为q=的等比数列6.定定义义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收收敛敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作则称级数发发散散.(通项）.7.当级数收敛时,称差值为级数的余余项项.显然部分和 数列级数是否收敛即8.例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为9.2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.10.例例2：判断下列级数的敛散性此为等比级数，公比该级数收敛。解：解：原式此为等比级数，公比该级数发散。解：解：原式11.例例3.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆拆项项相消相消”求和12.解解 所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧利用“拆拆项项相消相消”求和13.例例4.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为14.二、无二、无穷级穷级数的基本性数的基本性质质 性性质质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,证证:令则这说明收敛,其和为 c S.说说明明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.15.性性质质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证证:令则这说明级数也收敛,其和为16.说说明明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)收敛。17.性性质质3.在级数前面加上或去掉有限有限项项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数18.性性质质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推推论论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反用反证证法可法可证证例如19.例例5.判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数发发散散?,从而原级数发散.20.例例621.例例722.三、三级级数收数收敛敛的必要条件的必要条件 设收敛级数则必有证证:可见:若若级级数的一般数的一般项项不不趋趋于于0,则级则级数必数必发发散散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.23.注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.事事实实上上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.24.例例8.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.25.因进进行拆行拆项项相消相消这说明原级数收敛,其和为(2)26.这说明原级数收敛,其和为 3.(3)27.的充要条件是:四、柯西四、柯西审敛审敛原理原理 定理定理.有证证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列 的柯西审敛原理 即得本定理的结论.28.例例9.解解:有利用柯西审敛原理判别级数 29.当 nN 时,都有由柯西审敛原理可知,级数 30.作作业业P5 1(1),(3),(5);2;4;5;7(1),(3).31.