哈密顿算符运算原理.ppt

电动力学 Electrodynamics 主讲教师石东平（教授、硕士）1.引引 言言 Introduction 电电动动力力学学的的研研究究对对象象是是电电磁磁场场的的基基本本性性质质、运运动动规规律以及它和律以及它和带电带电物物质质之之间间的相互作用。的相互作用。电电动动力力学学的的研研究究内内容容是是阐阐述述宏宏观观电电磁磁场场理理论论，主主要要从从实实验验定定律律中中总总结结电电磁磁场场的的普普遍遍规规律律，建建立立Maxwells Maxwells equationsequations。讨讨论论稳稳恒恒电电磁磁场场、电电磁磁波波传传播播、电电磁磁波波辐辐射射及及电动电动力学的参考系力学的参考系问题问题。2.学学习电动习电动力学力学课课程的主要目的是：程的主要目的是：1 1）掌掌握握电电磁磁场场的的基基本本规规律律，加加深深对对电电磁磁场场性性质质和和时时空概念的理解；空概念的理解；2 2）获获得得本本课课程程领领域域内内分分析析和和处处理理一一些些基基本本问问题题的的初步能力，初步能力，为为以后解决以后解决实际问题实际问题打下基打下基础础；3 3）通通过过电电磁磁场场运运动动规规律律和和狭狭义义相相对对论论的的学学习习，更更深深刻刻领领会会电电磁磁场场的的物物质质性性，帮帮助助我我们们加加深深辩辩证证唯唯物物主主义义的世界的世界观观。3.学学习电动习电动力学力学课课程的主要意程的主要意义义是：是：在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。例如例如电电力系力系统统、凝聚、凝聚态态物理、天体物理、粒子加速器等，都物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏涉及到不少宏观电观电磁磁场场的理的理论问题论问题。在迅。在迅变变情况下，情况下，电电磁磁场场以以电电磁波的形式存在，其磁波的形式存在，其应应用更用更为为广泛。无广泛。无线电线电波、波、热辐热辐射、光波、射、光波、X射射线线和和射射线线等都是在不同波等都是在不同波长长范范围围内的内的电电磁波，它磁波，它们们都有共都有共同的同的规规律。因此，掌握律。因此，掌握电电磁磁场场的基本理的基本理论对论对于生于生产实产实践和科学践和科学实实验验都有重大的意都有重大的意义义。4.要要想想学学好好电电动动力力学学，必必须须树树立立严严谨谨的的学学习习态态度度和和刻苦的学刻苦的学习习作作风风。电电动动力力学学比比电电磁磁学学难难学学，主主要要体体现现在在思思维维抽抽象象、习习题题难难解解上上。为为此此，在在学学习习时时要要注注意意掌掌握握好好概概念念、原原理理、结结构构和和方方法法，这这些些在在听听课课、阅阅读读、复复习习、小小结结和和总总复复习习时时都都要要注注意意做做到到，既既见见树树木木，更更见见森森林林。要要在在数数学学与与物物理理结结合合上上下下硬硬功功夫夫，培培养养物物理理与与数数学学间间相相互互“翻翻译译”的的能能力力，能能熟熟练练地地运运用用数数学学独独立立地地对对教教材材内内容容进进行行推推导导，并明确它，并明确它们们的物理意的物理意义义和和图图象。象。5.学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”，站得高，看得远。6.第第0 0章章 绪论绪论及数学准及数学准备备 第第2 2章章 静静电场电场 第第3 3章章 静磁静磁场场 第第4 4章章 电电磁波的磁波的传传播播第第5 5章章 电电磁波的磁波的辐辐射射电 动 力 学目录第第1 1章章 电电磁磁现现象的普遍象的普遍规规律律第第6 6章章 狭狭义义相相对论对论7.课程简介课课程程类类型：物理学、型：物理学、应应用物理学本科生限用物理学本科生限选课选课成成绩评绩评定：定：考考试试（70%70%），作），作业业（10%10%）,学学业业小小论论文（半期文（半期测验测验）（）（20%20%）。）。学学时时学分：学分：7272学学时时，4 4学分学分先修要求：普通物理先修要求：普通物理电电磁学，数学物理方程磁学，数学物理方程基本目的：基本目的：1.1.学学习处习处理理电电磁磁问题问题的一般理的一般理论论和方法和方法2.2.学学习习狭狭义义相相对论对论的理的理论论和方法和方法内容提要：内容提要：1 1电电磁磁场场的基本的基本规规律律2 2静静电问题电问题和静磁和静磁问题问题3 3电电磁波的磁波的辐辐射和射和传传播播4 4狭狭义义相相对论对论的概念和理的概念和理论论的数学形式的数学形式8.教材教材 郭郭硕鸿硕鸿 电动电动力学力学 高等教育出版社高等教育出版社 第二版第二版学学习习参考参考书书 1 1、经经典典电动电动力学，蔡圣善、朱耘力学，蔡圣善、朱耘 编编著著 复旦大学出版社复旦大学出版社 2 2、电动电动力学，吴寿煌，丁士章力学，吴寿煌，丁士章 编编 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 3 3、Classical ElectrodynamicsClassical Electrodynamics，J.D.JacksonJ.D.Jackson (经经典典电动电动力学力学 J.D.J.D.杰克杰克逊逊 著）著）人民教育出版社人民教育出版社9.第 0 章 预备知识矢量场论复习 Preliminary Knowledge Revise in the Vector Field Theory10.本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。11.本本 章章 主主 要要 内内 容容标标量量场场的梯度的梯度 算符算符矢量矢量场场的散度的散度 高斯定理高斯定理矢量矢量场场的旋度的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理在正交曲在正交曲线线坐坐标标系中系中 运算的表达式运算的表达式二二阶阶微分算符微分算符 格林定理格林定理12.0-1 标标量量场场的梯度，的梯度，算符算符Gradient of Scalar Field,Operator13.1、场场的概念的概念 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。14.2、方向、方向导导数数 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。P1P215.为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为若下列极限存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数。3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过16.该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写），它是一个矢量，其大小 ，其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即表示。方向导数与梯度的关系：17.是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。表示过p2 点的任一方向。显见，p1p0p2等值面 等值面18.所以即19.该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、算符（哈密算符（哈密顿顿算符）算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl，的增量 称为方向微20.分，即显然，任意两点 值差为21.0-2 矢量矢量场场的散度的散度 高斯定理高斯定理Divergence of Vector Field,Gausss Theorem22.1、通量、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元 ，于是通过 ds23.曲面s的通量N即为每一面元通量之积对于闭合曲面s，通量N为2、散度、散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则24.就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量25.的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。3、高斯定理、高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。26.0-3 矢量矢量场场的旋度的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理Rotation of Vector Field,Stokes Theorem27.1、矢量、矢量场场 的的环环流流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为 沿该曲线L的循环量或流量2 2、旋度旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么28.以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义29.称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（、斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。30.0-4 0-4 正交曲正交曲线线坐坐标标系中系中 运算的运算的表达式表达式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System31.1、度量系数、度量系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中32.称度量系数度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密、哈密顿算符算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符符 在正交曲在正交曲线坐坐标系下的一般表达式系下的一般表达式33.34.其中 为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，在其它正交坐标系中35.3、不同坐、不同坐标标系中的微分表达式系中的微分表达式 a)笛卡儿坐标 x1=x，x2=y，x3=z h1=1，h2=1，h3=1xyzZ为常数平面y为常数平面x为常数平面(x,y,z)p36.37.b)圆柱坐标系坐标变量:x1=r x2=x3=z与笛卡儿坐标的关系：x=rcos y=rsin z=z拉梅系数:h1=1 h2=r h3=1zxyz为常数平面r为常数平面为常数平面r38.39.将 应用于圆柱坐标可得：40.c)球坐标系zry(r,)x为常数平面r为常数平面为常数平面41.坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：42.43.其中44.45.0-5 0-5 二二阶阶微分算符微分算符 格林定理格林定理Second-order Differentiation Operator,Greens Theorem46.1、一、一阶阶微分运算微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。举例：a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。47.第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有而场点（观察点）场源点坐标原点o48.同理可得：故得到：49.第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。而同理可得：50.所以得到：b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明51.证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有52.c)设求解：而同理可得53.那么这里同理可得故有54.由此可见：d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：55.e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：56.2、二、二阶阶微分运算微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场，为矢量场。57.并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度58.（5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为3、运算于乘运算于乘积积 （1）59.60.（2）61.（3）62.（4）（5）63.(6)根据常矢运算法则则有：64.故有：(7)根据常矢运算法则：则有65.（8）因为故有从而得到：66.4、Greens theorem 由Gausss theorem得到:将上式 交换位置，得到以上两式相减，得到67.5、常用几个公式、常用几个公式 设试求：a)而 68.同理：b)69.从而可见：c)70.d)71.e)72.f)73.g)74.h)75.