讲义矩形和菱形.doc

(完整版)讲义矩形和菱形龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 年级：八年级 教师： 制作人：孙发青课 题矩形和菱形教学目标1、探索并掌握矩形、菱形的定义、性质和判定方法2、灵活运用矩形、菱形的性质和判定解决有关问题3、知道矩形、菱形是特殊的平行四边形4、体验矩形、菱形的特征和它的判别在实际生产和生活中的应用5、在学习中感受转化的思想,体验发现规律的乐趣重点、难点重点：矩形、菱形的定义、性质和判定方法难点:运用相关知识解决相关问题考点及考试要求矩形、菱形的定义、性质和判定方法教学内容考点一：矩形【知识点总结】1矩形的定义:有一个角是直角的 是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。DCBA2、矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 (1）边：对边 且 . （2）角：四个角都是 。 （3）对角线：互相 且 .3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的 。 （2）对角线相等的 。 （3）有三个角是 的四边形。 注意：矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是 三角形且面积相等. 矩形是轴对称图形，两组对边的 线是它的对称轴。【基础知识训练】1矩形是面积的60,一边长为5，则它的一条对角线长等于 。2矩形的两条对角线的交角之一是60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm,则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。3。平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角相等4矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ) A、矩形 B、平行四边形 C、正方形 D、菱形【典型例题】(2011浙江绍兴，15，5分） 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开，那剪下的这部分展开,平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形,则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】例1。 如图,菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OEAB于E，OFBC于F，OGCD于G，OHAD于H，试说明四边形EFGH为矩形。分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据菱形的对角线平分每一组对角,知AC是DAB和DCB的角平分线，DE是ADC和ABC的角平分线，因为OEAB,OFBC，OGCD，OHAD，根据角平分线的性质很容易得出OEOFOGOH 解：四边形ABCD是菱形 AC、BD平分对角 O点在DAB、BCD、CDA、ABC的角平分线上 又OEAB，OFBC,OGCD，OHAD OEOFOGOH 又AB/CD OECD 又OGOD 直线OE与OG重合 即E、O、G三点共线 同理可证H、O、F共线 EFGH是平行四边形 又HF=EG 四边形EFGH是矩形 点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。 （2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件:一是对角线相等,二是平行四边形。DACBHGFE例2如图,ABCD中,AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点,求证：四边形EFGH的矩形.例3如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，,AB=4cm,求此矩形的面积.ABOCD例4如图,矩形ABCD中，,E为垂足，则等于多少？DAOBCE【巩固练习】1、在矩形中，对角线具有的性质是（ ）A相等且互相垂直B相等且互相平分 C互相垂直且互相平分D互相垂直且平分内角2、下列说法错误的是（ ）（A）矩形的对角线互相平分 （B)矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形 (D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A）2对 (B）4对 （C)6对 (D）8对4、矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的度数分为 、 、 、 已知矩形的一条对角线长为10cm， 两条对角线的一 个交角 为120,则矩形的边长分别为 cm， cm, cm， cm5。 （2011甘肃兰州，20,4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】6。 （2011四川绵阳17,4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_cm。【答案】2AEBFODC7.如图，矩形ABCD中，CE平分，求的度数。8、如图，矩形纸片中，现将重合使纸片折叠压平,设折痕为，则重叠部分的面积为多少？FDCBE考点二：菱形知识点一：菱形的定义:有一组邻边相等的 叫做菱形知识点二：菱形的性质菱形是特殊的 ,它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补,对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半知识点三：菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定:四边相等的四边形是菱形知识点四：菱形的对称性菱形是一个轴对称图形,有 条对称轴。【基础知识训练】1、菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 .2、在下列命题中，真命题是（）两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线互相垂直的四边形是菱形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm， 那么这个菱形的周长为_， 面积为_。4、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起， 使之成60度角， 那么重叠部分的面积的最大值为_。【典型例题】【例1】、（2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为( )（A）48cm（B）36cm (C）24cm (D）18cm（第10题）【例2】、（2011广东广州市,18，9分) 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF 求证：ACEACF图4ABCDEF【例3】菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】 如图2,在菱形中，,则菱形的边长为( ）A B C D【例4】菱形中，、分别是、的中点，且，那么等于 【巩固】 如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ )A B CD【例4】已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 【巩固】如图，菱形花坛的周长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积菱形的判定【例1】 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件,那么你添加的条件是 【例2】 如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【巩固】 已知:如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、。求证：四边形是菱形.【例3】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分【巩固】 如图，是矩形内的任意一点,将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置画出平移后的三角形;连结,试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长;当在矩形内的什么位置时,在上述变换下，四边形是菱形?为什么？【巩固】（湖南湘西24,10分)如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,ACB=30,AB=2。（1)求AC的长.（2）求AOB的度数。(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.【综合题】已知等腰中，平分交于点，在线段上任取一点(点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.求证四边形为菱形当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？ 考点三:矩形和菱形的综合应用例(2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（)，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）;再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形,则操作终止当n=3时,a的值为_第一次操作第二次操作练习1：(2011江苏南京，21,7分)如图，将ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F求证：ABFECF若AFC=2D，连接AC、BE求证：四边形ABEC是矩形ABCDEF(第21题)练习2（2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中,AD=4,AB=m（m4），点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合），连结PD，过点P作PQPD，交直线BC于点Q（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2）连结AC，若PQAC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）（3)若PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围练习3已知：如图，C是线段BD上一点，ABC和ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点,求证：四边形RFGH是菱形。【课后作业】一、填空题:1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm,则较短的对角线长是 cm。3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AEBD于E，且OEOD12，AEcm,则DE cm。4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5,则PB 。5、如图，在菱形ABCD中，BEAF600，BAE200，则CEF 。 二、选择题：6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,使EFGH为矩形,则这样的矩形（ ） A、仅能作一个 B、可以作四个C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm,P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动,点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发,在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内,线段PQ有（ ）次平行于AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD9cm,AB3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ） A、4cm、cm B、5cm、cm C、4cm、cm D、5cm、cm9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形;有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ） A、 B、 C、 D、10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形三、解答题：11、如图,在矩形ABCD中,F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。 12、如图，在ABC中，ACB900，CD是AB边上的高，BAC的平分线AE交CD于F，EGAB于G,求证:四边形GECF是菱形.13、如图，以ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即ABD、BCE、ACF.请回答下列问题(不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在? 思考题（有能力的学生完成）（2011江苏盐城,27，12分）情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A）、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知:与BC相等的线段是 ，CAC= 图1 图2问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G,以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。图3图4拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H。 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。部分参考答案(2011江苏泰州,28,12分）【答案】解:（1）当BAO=45时，PAO=90，在RtAOB中，OAAB，在RtAPB中,PAAB。点P的坐标为(，）(2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，点P都在AOB的平分线上；（3）h。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为,然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时,点P到AB的距离逐渐增大，当BAO=45时,PAx轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到,x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，点P到x轴的距离的取值范围是h。（2011江苏南京,21，7分)【答案】证明:四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC,ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形AF=EF， BF=CF四边形ABCD是平行四边形，ABC=D,又AFC=2D,AFC=2ABCAFC=ABF+BAF,ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC,四边形ABEC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形,ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE,AFC=FCE+FEC，FCE=FECD=FECAE=AD又CE=DC,ACDE即ACE=90口ABEC是矩形2011江苏南通，26，10分【答案】(1）AEBF证明：如图2,在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD,OE2OD,OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中线AM，如图3.则OE2OM2OD2OAOAOM30AOM60AOM为等边三角形MAMOME,又AMO即26030AOE306090AOE为直角三角形.2011湖南衡阳,26，10分【解】（1） 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），PQPDDPC=90，APDBPC=90，又ADPAPD=90,BPC=ADP，又B=A=90，PBCDAP，或8，存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8(2） 如下图,PQAC，BPQ=BAC，BPQ=ADP，BAC=ADP，又B=DAP=90，ABCDAP，即，PQAC，BPQ=BAC，B=B，PBQABC，即，（3）由已知 PQPD，所以只有当DP=PQ时,PQD为等腰三角形（如图)，BPQ=ADP，又B=A=90，PBQDAP，PB=DA=4,AP=BQ=，以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCDSDAPSQBP=16（48）2011江苏盐城，27，12分【答案】情境观察AD（或AD）,90 问题探究结论：EP=FQ。 证明：ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=90.BAG+EAP=90。AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.EPAG,AGB=EPA=90，RtABGRtEAP. AG=EP.同理AG=FQ. EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF。 理由:过点E作EPGA，FQGA,垂足分别为P、Q.四边形ABME是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90。AGBC,BAG+ABG=90，ABG=EAP。AGB=EPA=90，ABGEAP， = . 同理ACGFAQ， = 。 AB= k AE，AC= k AF， = = k， = 。 EP=FQ。 EHP=FHQ，RtEPHRtFQH。 HE=HF.湖南湘西24，10分）解（1）在矩形ABCD中， ABC=90,RtABC中, ACB=30，AC=2AB=4。(2） 在矩形ABCD中,AO=OA=2,又AB=2，AOB是等边三角形,AOB=60。（3）由勾股定理，得BC=,.,所以菱形OBEC的面积是2.跟踪训练参考答案一、填空题:1、180；2、20cm;3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证ABEACF得AEAF，从而AEF是等边三角形。二、DDBBA三、解答题：11、可证DEAABF12、略证:AE平分BAC，且EGAB，ECAC，故EGEC，易得AECCEF，CFEC，EGCF，又因EGAB，CDAB，故EGCF.四边形GECF是平行四边形,又因EGFG，故GECF是菱形。13、（1）平行四边形；（2)BAC1500；（3）当BAC600时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。.