正定矩阵的性质及应用.doc

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正定矩阵的性质及应用
崔华梅
(河南大学数学与信息科学学院 开封475004)
摘 要 本文给出了实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件和一个充分条件，从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。
关键字 正定矩阵;行列式;不等式;极值;最值

1引言
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在计算数学，数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的。本文分别在第二部分总结了正定矩阵的性质，第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用，最后在第四部分指出正定矩阵概念的推广。
2正定矩阵的性质
2.1 概念
定义1实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，都有.
定义2实对称矩阵A称为正定的，如果二次型正定.
注：(1)正定二次型和正定矩阵是一一对应的关系.
(2)经非退化的线性替换，新二次型的矩阵和原二次型的矩阵合同.
2.2 正定矩阵的充分必要条件
(1)n元实二次型正定它的正惯性指数为n;
(2)一个实对称矩阵A正定A与E合同，即可逆矩阵C，使得 A=;
(3)实二次型=是正定的A的顺序主子式全大于零;
(4)一个实对称矩阵A正定A的特征值全大于零;
(5)一个实对称矩阵A正定A的主子式全大于零;
(6)A，B是实对称矩阵，则 正定A，B均正定;
(7)A实对称矩阵，A正定正定矩阵B，使得A=，（k为任意正整数）.
证明：(6)）必要性：
正定
C的各阶顺序主子式全大于零
A，B均为对称矩阵，且A的各阶顺序主子式全大于零
A是正定矩阵，且B的各阶顺序主子式全大于零
B是正定矩阵
)充分性：
设A，B的全部特征值分别为：；
A，B均正定，
正交可逆矩阵P，Q 使得
；
，其中（）
=
=
=
令T=，则，
T是可逆阵
C=，其中C的特征值全大于零
C是正定矩阵
(7) )充分性：
证明：B正定
正交可逆矩阵P， 使得
；其中，

是正定的
）必要性：
A正定
正交可逆矩阵Q， 使得
，其中，
令=B，
则B是正定的，且A=.
2.3 判定实对称矩阵为正定矩阵的一个充分条件
引理设是阶复数矩阵的秩
则
引理2 是复数矩阵，若
则为可逆矩阵.
证明：由引理1，知
且
故 可逆
引理3若在上连续，异号，则至少存在一点，使得
定理1：设是主对角元全大于零的实对称矩阵

则 必为正定矩阵
证明：由引理2及条件，则知
是可逆矩阵，
构造函数则

若则 由引理3， 使得 即

又

由引理2知
是可逆矩阵
矛盾

即
即的所有顺序主子式全大于零
故正定
3正定矩阵的应用
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
3.1用正定矩阵的定义证明一些结论
例1.设为实矩阵，且的秩，证明：正定
证明：，
只有零解

正定
例2.为阶正定矩阵，为阶实矩阵，且，则是正定矩阵.
证明:
为实对称矩阵
，
只有零解

A正定
是正定矩阵
总结：以上两例，利用实矩阵构造正定矩阵的方法：
若A 不是方阵，也不对称，则是正定矩阵，而且上述两例显示了齐次线性方程组理论在正定二次型理论中的应用。
3.2用充分必要条件：A正定可逆矩阵C，使得 A=证明一些结论
例3.若A是正定矩阵，则A的伴随矩阵和也是正定矩阵
证明： A正定可逆矩阵C，使得 A=

即与A合同
是正定矩阵

也是正定矩阵
例4.A ,B均为n阶实对称矩阵，A为正定矩阵
证明：实可逆矩阵 C，使得 .
证明：是正定矩阵
实可逆矩阵，使得
且为实对称矩阵
正交矩阵，使得

令，则
，
注：看到实对称矩阵，应联系到正交合同于对角阵。
例5.为阶正定矩阵，B为阶半正定矩阵，则
证明: 是正定矩阵
实可逆矩阵，使得,
且，
,

例6.均为阶正定矩阵。且则是正定矩阵.
证明：

是对称矩阵
是正定矩阵
实可逆矩阵，使得

是正定矩阵
的特征值全为正数
的特征值全为正数
是正定矩阵
是正定矩阵
例7.是实对称矩阵，且正定，则的特征值全为实数.
证明：是正定矩阵
实可逆矩阵使得

实对称矩阵
的特征值全为实数
的特征值全为实数
的特征值全为实数
例8.（1）若，是正定二次型，则
为负定二次型；
（2）是正定矩阵，则；
（3）是阶实可逆矩阵，则.
证明：见文献[2].
3.3 正定矩阵在行列式中的应用
3.3.1判断某一方阵的行列式是否为零（即是否可逆），或是否大于零（或小于零），转化为正定矩阵
例9.是实可逆对称阵，实反对称矩阵，且则可逆.
证明：

实可逆对称矩阵
正定矩阵
为实反对称矩阵，
实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数
为半正定阵。

3.3.2利用正定矩阵的行列式小于或等于主对角线上元素之积
例10.是任意阶实方阵，则
证明：同例8.（3）
3.4 用正定矩阵证明不等式
例11.（其中不全为零的实数）
证明：
.
的各阶顺序主子式

是正定矩阵
有
故 原不等式成立
3.5 正定矩阵在数学分析中的应用
3.5.1判断多元函数的极值问题
定理2.元实函数的一阶偏导数等于零的点为且在点处具有二阶连续偏导数，则

海塞矩阵
当为正定矩阵时，为的极小值；
当为负定矩阵时，为的极大值；
当为不定矩阵时，不是的极值。
特别地，当为二元函数时，若在处一阶偏导数为零，且在处对有二阶连续偏导数，则
当正定时，在有极小值；
当负定时，在有极大值；
当不定时，在无极值。
例12.讨论函数的极值.
解：

有二阶连续偏导数
令则 ，即

的各阶顺序主子式

为正定，
故 在处有极小值为
注：当为半定时，不能判断。
3.5.2正定矩阵在积分中的应用
例13.证明：椭球体的体积等于其中是正定矩阵.
证明：是正定矩阵，
正交矩阵，使得 为的特征值
令作变换，则
此变换的行列式为

3.5.3 用正定矩阵在单位球面上求最值
例14.是阶实对称矩阵，求证：二次型在单位球面上的最大最小值分别为矩阵的最大最小特征值.
证明：设的特征值为
令
则的特征值均非负；
的特征值均非负。
又，均为实对称矩阵

即

下证：可以达到最大最小特征值
假定经过正交变换 ，化为

不妨设分别为中的最小最大值
取，并令，则

则
取，并令，则

则
即 当上时，的最大最小值恰为矩阵的最大最小特征值。
4结束语
本文还可以类似的总结出半正定矩阵的定义、充分必要条件及其应用。随着应用的需要和研究的深入还有许多推广，把实对称正定矩阵推广到实正定矩阵，广义正定矩阵，广义次正定矩阵等等，但由于本人目前能力有限，待做深入研究。

参考文献
[1]王萼芳,石生明,高等代数（第三版）,高等教育出版社.
[2]徐仲，陆全,高等代数导教导学导考,西北工业大学出版社.
[3]陈纪修,於崇华,金路,数学分析,高等教育出版社.
[4]屠伯埙,徐诚浩,王芬,高等代数,上海科技出版社.