数字语音通信系统的设计与实现.doc

摘要
本文是关于一个数字语音通信系统的设计与实现，首先介绍数字通信系统的基本原理，然后分别从信源编码、信道编码和数字调制与解调三个方面介绍本系统的设计与实现，最后通过Matlab程序分模块仿真，完成通信系统的实现。本系统信源编码中脉冲编码调制采用非均匀量化，A律压缩13折线法编码，非均匀量可以得到较高的信噪比并且非均匀量化时，量化噪声功率的均方根值基本上与信号抽样值成比例。信道编码采用循环码，循环码的编码和解码设备都不太复杂，而且纠错的能力较强。在数字调制中采取了二进制频移键控调制方式，此方法利用数字基带信号控制在波的频率来传送信息，解调时用了相干解调，方法简便，容易实现。
关键字：信源编码与译码 信道编码与译码 数字调制与解调

1.背景介绍
随着数字通信系统的发展，语言通信已成为人们日常生活的一部分，手机，电话和网络语音通信等已经逐渐深入人们的日常生活，通信技术是信息技术中极重要的组成部分。从广义说，各种信息的传递均可称之为通信。但由于现代信息的内容极为广泛，因而人们并不把所有信息传递纳入通信的范围。通常只把语音、文字、数据、图像等信息的传递和传播称为通信。面向公众的单向通信，如报纸、广播、电视便不包括在内。但这种单向传播方式，由于通信技术的发展，也在发生变化。现代通信技术的主要内容及发展方向，是以光纤通信为主体调卫星通信、无线电通信为辅助的宽带化、综合化（有的称数字化）、个人化、智能化的通信网络技术。本设计基于数字通信系统设计的基本原理，通过信源编码与译码，信道编码与译码以及数字调制与解调等模块的设计以实现语音通信。

2.数字通信系统基本原理
2.1数字通信系统的模型

图1 数字通信系统的模型

2.2信息源
它的作用是把各种消息转换为原始电信号，信源分为模拟信源和数字信源。本文的输入信号采用模拟信源，通过A/D转换把输入的模拟信号转换为数字信号，模拟信号转化为数字信号包括三个步骤：抽样、量化和编码。模拟信号首先被抽样。通常抽样是按照等时间间隔进行的，虽然在理论上并不是必须如此的。模拟信号被抽样后，成为抽样信号，它在时间上是离散的，但是其取值仍然是连续的，所以是离散模拟信号。第二步是量化。量化的结果使抽样信号变成量化信号，其取值是离散的。故量化信号已是数字信号了，它可以看成是多进制的数字脉冲信号。第三步是编码。
第一步：抽样的定理。设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率<且带宽受到限制时，则以间隔时间为的周期性冲击脉冲对它抽样时，信号不发生混叠，即奈奎斯特的定理。
第二步：量化。模拟信号的抽样值为m(KT)，其中T是抽样周期，k是整数。量化原理公式：,在非均匀量化时，量化间隔是随信号抽样值的不同而变化的。信号抽样值小时，量化间隔也小；信号抽样值大时，量化间隔也大。非均匀量化的实现方法通常是在进行量化之前，先将信号抽样值压缩，再进行均匀量化。其压缩是用一个非线性电路将输入电压x变换成输出电压：

第三步：脉冲编码调制。通常把从模拟信号抽样、量化，直到变换成为二进制符号的过程，称为脉冲编码调制。
2.3信源编码与译码
它的基本功能一是提高信息传输的有效性，即通过某种数据压缩技术设法减少码元数目和降低码元速率。码元速率决定传输所占的带宽，而传输带宽反映了通信的有效性。二是完成模/数（A/D）转换，即当信息源给出的是模拟信号时，信源编码器将其转换成数字信号，以实现模拟信号的数字化传输。信源译码是信源编码的逆过程。
2.4信道编码与译码
信道编码的目的是增强数字信号的抗干扰能力。数字信号是信道传输时受到噪声等影响后将会引起差错。为了减小差错，信道编码器对传输的信息码元按一定的规则加入保护成分（监督元），组成所谓的“抗干扰编码”。接收端的信道译码器按相应的逆规则进行解码，从中发现错误或纠正错误，提高通信系统的可靠性。
2.6数字调制与解调
二进制频移键控，是用载波的频率来携带二进制信息的调制方式。也就是说，0值对应一个频率f1，1对应另一个频率f2。二进制频移键控可以采用模拟信号调频电路来实现；但更容易实现的方法是键控法。
由于二进制频移键控已调信号可以看作两个不同载波的幅度键控已调信号之和，它的频带宽度是两倍的基带信号宽度（B）和| f2- f1|之和，2FSK键控法理论框图如图所示。

图2 2FSK调制器

2FSK的解调有很多方法，本系统采用相干解调，原理图3如图所示
带通滤波器
带通滤波器
相乘器
相乘器
低通滤波器
低通滤波器
抽样判决器
Cosω1t
Cosω2t
ω1
ω2
抽样脉冲
输出
输入

图3 2FSK非相干解调
3.脉冲编码调制
3.1脉冲编码调制
脉冲编码调制(pulse code modulation，PCM)是概念上最简单、理论上最完善的编码系统，是最早研制成功、使用最为广泛的编码系统，但也是数据量最大的编码系统。PCM的编码原理比较直观和简单，下图为PCM系统的原理框图：

PCM通信系统方框图
图中，输入的模拟信号m(t)经抽样、量化、编码后变成了数字信号(PCM信号)，经信道传输到达接收端，由译码器恢复出抽样值序列，再由低通滤波器滤出模拟基带信号m(t)。通常，将量化与编码的组合称为模/数变换器（A/D变换器)；而译码与低通滤波的组合称为数/模变换器(D/A变换器)。前者完成由模拟信号到数字信号的变换，后者则相反，即完成数字信号到模拟信号的变换。
PCM在通信系统中完成将语音信号数字化功能，它的实现主要包括三个步骤完成：抽样、量化、编码。分别完成时间上离散、幅度上离散、及量化信号的二进制表示根据CCITT的建议，为改善小信号量化性能，采用压扩非均匀量化，有两种建议方式，分别为A律和μ律方式，我国采用了A律方式，由于A律压缩实现复杂，常使用 13 折线法编码,采用非均匀量化PCM编码。
3.2 PCM编码原理
3.2.1 抽样
所谓抽样，就是对模拟信号进行周期性扫描，把时间上连续的信号变成时间上离散的信号。该模拟信号经过抽样后还应当包含原信号中所有信息，也就是说能无失真的恢复原模拟信号。它的抽样速率的下限是由抽样定理确定的。
3.2.2 量化
量化，就是把经过抽样得到的瞬时值将其幅度离散，即用一组规定的电平，把瞬时抽样值用最接近的电平值来表示。
从数学上来看，量化就是把一个连续幅度值的无限数集合映射成一个离散幅度值的有限数集合。一个模拟信号经过抽样量化后，得到已量化的脉冲幅度调制信号，它仅为有限个数值。
如下图所示，量化器输出L个量化值，k=1，2，3，…，L。常称为重建电平或量化电平。当量化器输入信号幅度x落在与之间时，量化器输出电平为。这个量化过程可以表达为：

模拟入

量化器
量化值
这里称为分层电平或判决阈值。通常称为量化间隔。
模拟信号的量化分为均匀量化和非均匀量化。
(a).均匀量化：
用这种方法量化输入信号时，无论对大的输入信号还是小的输入信号一律都采用相同的量化间隔。为了适应幅度大的输入信号，同时又要满足精度要求就需要增加样本的位数。但是，对话音信号来说，大信号出现的机会并不多，增加的样本位数就没有充分利用。为了克服这个不足，就出现了非均匀量化的方法。
(b).非均匀量化：
非均匀量化是根据信号的不同区间来确定量化间隔的。对于信号取值小的区间，其量化间隔也小；反之，量化间隔就大。它与均匀量化相比，有两个突出的优点。首先，当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度（实际中常常是这样）时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信号量化噪声功率比；其次，非均匀量化时，量化噪声功率的均方根值基本上与信号抽样值成比例。因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。
实际中，非均匀量化的实际方法通常是将抽样值通过压缩再进行均匀量化。通常使用的压缩器中，大多采用对数式压缩。广泛采用的两种对数压缩律是压缩律和A压缩律。美国采用压缩律，我国和欧洲各国均采用A压缩律，所谓A压缩律也就是压缩器具有如下特性的压缩律：
， 。
由于A律压缩实现复杂，常使用 13 折线法编码, 压扩特性图如下图所示：

A律函数13折线压扩特性图

这样，它基本上保持了连续压扩特性曲线的优点，又便于用数字电路实现，本设计中所用到的PCM编码正是采用这种压扩特性来进行编码的。

0

1

0

1
按折线
分段时的
0

1
段落
1
2
3
4
5
6
7
8

斜率
16
16
8
4
2
1

表1 13折线时的值与计算值的比较

表1中第二行的值是根据 时计算得到的，第三行的值是13折线分段时的值。可见，13折线各段落的分界点与曲线十分逼近，同时按2的幂次分割有利于数字化。
3.2.3.编码
所谓编码就是把量化后的信号变换成代码，其相反的过程称为译码。当然，这里的编码和译码与差错控制编码和译码是完全不同的，前者是属于信源编码的范畴。
在现有的编码方法中，若按编码的速度来分，大致可分为两大类：低速编码和高速编码。通信中一般都采用第二类。编码器的种类大体上可以归结为三类：逐次比较型、折叠级联型、混合型。在逐次比较型编码方式中，无论采用几位码，一般均按极性码、段落码、段内码的顺序排列。下面结合13折线的量化来加以说明。

段落序号
段落码

量化级
段内码
8
111
15
1111
14
1110
7
110
13
1101
12
1100
6
101
11
1011
10
1010
5
100
9
1001
8
1000
4
011
7
0111
6
0110
3
010
5
0101
4
0100
2
001
3
0011
2
0010
1
000
1
0001
0
0000
表2 段落码 表3 段内码
在13折线法中，无论输入信号是正是负，均按8段折线（8个段落）进行编码。若用8位折叠二进制码来表示输入信号的抽样量化值，其中用第一位表示量化值的极性，其余七位（第二位至第八位）则表示抽样量化值的绝对大小。
具体的做法是：用第二至第四位表示段落码，它的8种可能状态来分别代表8个段落的起点电平。其它四位表示段内码，它的16种可能状态来分别代表每一段落的16个均匀划分的量化级。这样处理的结果，8个段落被划分成27＝128个量化级。段落码和8个段落之间的关系如表2所示；段内码与16个量化级之间的关系见表3。

3.3PCM脉冲编码调制的仿真
3.3.1 PCM抽样的仿真
PCM抽样的MATLAB程序设计按如下步骤进行：
（1）确定输入的模拟信号为sa(200t)；
（2）根据输入的模拟信号，确定抽样频率，对输入信号进行抽样，并将正常抽样和会产生失真的抽样进行对比，对抽样定理加以验证；
（3）编写程序，画出满足采样定理和不满足的时、频域图形。
MATLAB源程序：
function sample()
t0=10; %定义时间长度
ts=0.001; fs=1/ts;
t=[-t0/2:ts:t0/2]; %定义时间序列
df=0.5; %定义频率分辨率
x=sin(200*t); m=x./(200*t+eps);
w=t0/(2*ts)+1; %确定t=0的点
m(w)=1; %修正t=0点的信号值
m=m.*m;
[M,mn,dfy]=fft_seq(m,ts,df); %傅立叶变换
M=M/fs;
f=[0:dfy:dfy*length(mn)-dfy]-fs/2; %定义频率序列
figure(1)
subplot(2,1,1); plot(t,m);
xlabel('时间');ylabel('幅值');title('原始信号(fh=200/2piHz)的波形');
axis([-0.15,0.15,0,1.5]);
subplot(2,1,2);
plot(f,abs(fftshift(M)));
xlabel('频率');ylabel('幅值');
axis([-500,500,0,0.03]);title('原始信号的频谱');
t0=10; %信号持续的时间
ts1=0.005; %满足抽样条件的抽样间隔
fs1=1/ts1;
t1=[-t0/2:ts1:t0/2]; %定义满足抽样条件的时间序列
x1=sin(200*t1); m1=x1./(200*t1+eps); w1=t0/(2*ts1)+1;
m1(w1)=1; %修正t=0时的信号值
m1=m1.*m1; %定义信号
[M1,mn1,df1]=fft_seq(m1,ts1,df); %对满抽样条件的信号进行傅立叶变换
M1=M1/fs1;N1=[M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1,M1];
f1=[-7*df1*length(mn1):df1:6*df1*length(mn1)-df1]-fs1/2;
figure(2)
subplot(2,1,1); stem(t1,m1);
xlabel('时间');ylabel('幅值');
title('抽样正常(fs=200Hz)时的信号波形');axis([-0.15,0.15,0,1]);
subplot(2,1,2)
plot(f1,abs(fftshift(N1)));
xlabel('频率');ylabel('幅值');axis([-500,500,0,0.05]);
title('抽样正常时的信号频谱');axis([-500,500,-0.01,0.03]);
t0=10; %信号持续的时间
ts2=0.01; %不满足抽样条件的抽样间隔
fs2=1/ts2;
t2=[-t0/2:ts2:t0/2]; %定义不满足抽样条件的时间序列
x2=sin(200*t2); m2=x2./(200*t2+eps); w2=t0/(2*ts2)+1;
m2(w2)=1; %修正t=0时的信号值
m2=m2.*m2; %定义信号
[M2,mn2,df2]=fft_seq(m2,ts2,df);%对不满足抽样条件的信号进行傅立叶变换
M2=M2/fs2;N2=[M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2,M2];
f2=[-7*df2*length(mn2):df2:6*df2*length(mn2)-df2]-fs2/2;
figure(3)
subplot(2,1,1); stem(t2,m2);
xlabel('时间');ylabel('幅值');title('抽样失真(fs=100Hz)时的信号波形');
axis([-0.15,0.15,0,1]);subplot(2,1,2)
plot(f2,abs(fftshift(N2)));
xlabel('频率');ylabel('幅值');axis([-500,500,0,0.02]);
title('抽样失真时的信号频谱');axis([-500,500,0.005,0.02]);
function [M,m,df]=fft_seq(m,ts,df)
fs=1/ts;
if nargin==2 n1=0
else n1=fs/df
end
n2=length(m);n=2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2)));
M=fft(m,n);m=[m,zeros(1,n-n2)];df=fs/n
PCM抽样仿真结果：

原始信号的波形和频谱

PCM正常抽样时信号的波形及频谱

PCM抽样失真时信号的波形及频谱
3.3.2 PCM均匀量化的仿真
PCM均匀量化的MATLAB程序设计按如下步骤进行：
（1）确定输入模拟信号为sin(t)；
（2）根据均匀量化的原理均匀量化的算法程序；
（3）绘制并比较模拟输入信号与量化输出的波形。
PCM均匀量化源程序如下：
function average()
t=[0:0.01:4*pi];
y=sin(t);
w=jylh(y,1,64);
subplot(2,1,1);
plot(t,y);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
axis([0,4*pi,-1.1,1.1]);
title('原始信号');
subplot(2,1,2);
plot(t,w);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
axis([0,4*pi,-1.1,1.1]);
title('均匀量化后的信号');
function h=jylh(f,V,L)
n=length(f);t=2*V/L;
p=zeros(1,L+1);
for i=1:L+1,p(i)=-V+(i-1)*t;end
for i=1:n
if f(i)>V,h(i)=V;end
if f(i)<=-V,h(i)=-V;end
flag=0;
for j=2:L/2+1
if(flag==0)
if(f(i) for j=L/2+2:L+1
if(flag==0)
if(f(i)根据非均匀量化的原理确定A律非均匀量化的算法程序；
（3）绘制并比较模拟输入信号与量化输出的波形。
源程序如下：
function a_quantize()
t=0:0.00000125:0.0005;
y=sin(8000*pi*t);
figure
subplot(2,1,1)
plot(t,y)
axis([0 0.0005 -1.2 1.2])
xlabel('时间') ylabel('幅度')
title('原始信号')
z=a_pcm(y,87.6);
subplot(2,1,2) plot(t,z)
axis([0 0.0005 -12 1.2])
xlabel('时间')
ylabel('幅度')
title('A律量化后的信号')
function y=a_pcm(x,a)
t=1/a;
for i=1:length(x)
if x(i)>=0
if(x(i)<=t)
y(i)=(a*x(i))/(1+log(a));
else
y(i)=(1+log(a*x(i)))/(1+log(a));
end
else
if(x(i)>=-t)
y(i)=-(a*-x(i))/(1+log(a));
else
y(i)=-(1+log(a*-x(i)))/(1+log(a));
end
end
end
仿真结果：

3.3.4 PCM A律13折线编码的MATLAB实现
PCM均匀量化的MATLAB程序设计按如下步骤进行：
（1）确定输入模拟信号；
（2）根据给均匀量化的原理确定非均匀量化的算法程序；
（3）将上述编码的十进制数转化成8位二进制数。
源程序如下：
function a_13code()
t=0:0.000025:0.00025;
y=sin(8000*pi*t)
z=line13(y)
c=pcmcode(z)
function y=line13(x)
x=x/max(x);
z=sign(x);
x=abs(x);
for i=1:length(x)
if((x(i)>=0)&(x(i)<1/64))
y(i)=16*x(i);
else
if((x(i)>=1/64)&(x(i)<1/32))
y(i)=8*x(i)+1/8;
else
if((x(i)>=1/32)&(x(i)<1/16))
y(i)=4*x(i)+2/8;
else
if((x(i)>=1/16)&(x(i)<1/8))
y(i)=2*x(i)+3/8;
else
if((x(i)>=1/8)&(x(i)<1/4))
y(i)=x(i)+4/8;
else
if((x(i)>=1/4)&(x(i)<1/2))
y(i)=1/2*x(i)+5/8;
else
if((x(i)>=1/2)&(x(i)<=1))
y(i)=1/4*x(i)+6/8;
end
end
end
end
end
end
end
end
y=z.*y;
function f=pcmcode(y)
f=zeros(length(y),8);
z=sign(y);
y=y.*128;
y=fix(y);
y=abs(y);
for i=1:length(y)
if(y(i)==128)
y(i)=127.999;
end
end
for i=1:length(y)
for j=6:-1:0
f(i8-j)=fix(y(i)/2^j);
y(i)=mod(y(i),(2^j));
end
end
for i=1:length(y);
if(z(i)==1)
f(i,1)=0;
else
f(i,1)=1;
end
end
程序运行结果：
y =
0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000 -0.5878 -0.9511 -0.9511 -0.5878 -0.0000
z =
0 0.9045 1.0000 1.0000 0.9045 0.0000 -0.9045 -1.0000 -1.0000 -0.9045 -0.0000
c =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
4.信道编码和译码
在数字电视和通信系统中，为提高信息传输可靠性，广泛使用了具有一定纠错能力的信道编码技术，如奇偶校验码、行列监督码、恒比码、汉明码、循环码（CRC）等编码技术。信道编码的本质是增加通信的可靠性，或者说增加整个系统的抗干扰性。对信道编码有以下要求：1.透明性：要求对所传消息的内容不加任何限制；2.有纠错能力；3.效率高：为了与信道频谱匹配和具有纠错能力，通常要向原信号添加一些码，要求加入最少的比特数而得到最大的利益；4.包含适当的定时信息。在这些要求中，除编码的必须信息外，所作的处理主要有两条：一是要求码列的频谱特性适应通道的频谱特性从而使传输过程中能量损失最小，提高信噪比。减少发生差错的可能性；二是增加纠错能力，使得即便出现差错，也能得到纠正。
4.1差错控制的基本概念
4.1.1差错的特点
由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲激噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。冲激噪声是由短暂原因造成的，例如点击的启动、停止，电器设备的放弧等。冲击噪声引起的差错是成群的，其差错持续时间称为突发错的长度。
衡量信道传输性能的指标之一是误码率PO，PO=错误接收的码元数/接收的总码元数。目前普通电话线路中，当传输速率在600~2400bit/s时，PO在之间，对于大多数通信系统，PO在之间，而计算机之间的数据传输则要求误码率低于。
4.1.2 差错控制的基本方式
差错控制方式基本上分为两类，一类称为“反馈纠错”，另一类称为“前向纠错”。在这两类基础上又派生出一种称为“混合纠错”。
(1)反馈纠错
这种方式在是发信端采用某种能发现一定程度传输差错的简单编码方法对所传信息进行编码，加入少量监督码元，在接收端则根据编码规则收到的编码信号进行检查，一量检测出(发现)有错码时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到询问信号时，立即重发已发生传输差错的那部分发信息，直到正确收到为止。所谓发现差错是指在若干接收码元中知道有一个或一些是错的，但不一定知道错误的准确位置。
(2)前向纠错
这种方式是发信端采用某种在解码时能纠正一定程度传输差错的较复杂的编码方法，使接收端在收到信码中不仅能发现错码，还能够纠正错码。采用前向纠错方式时，不需要反馈信道，也无需反复重发而延误传输时间，对实时传输有利，但是纠错设备比较复杂。
(3)混合纠错
混合纠错的方式是：少量纠错在接收端自动纠正，差错较严重，超出自行纠正能力时，就向发信端发出询问信号，要求重发。因此，“混合纠错”是“前向纠错”及“反馈纠错”两种方式的混合。
对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制技术，否则就将事倍功半。
反馈纠错可用于双向数据通信，前向纠错则用于单向数字信号的传输，例如广播数字电视系统，因为这种系统没有反馈通道。
4.1.3 误码控制编码的分类
随着数字通信技术的发展，研究开发了各种误码控制编码方案，各自建立在不同的数学模型基础上，并具有不同的检错与纠错特性，可以从不同的角度对误码控制编码进行分类。
按照误码控制的不同功能，可分为检错码、纠错码和纠删码等。检错码仅具备识别错码功能而无纠正错码功能；纠错码不仅具备识别错码功能，同时具备纠正错码功能；纠删码则不仅具备识别错码和纠正错码的功能，而且当错码超过纠正范围时可把无法纠错的信息删除。
按照误码产生的原因不同，可分为纠正随机错误的码与纠正突发性错误的码。前者主要用于产生独立的局部误码的信道，而后者主要用于产生大面积的连续误码的情况，例如磁带数码记录中磁粉脱落而发生的信息丢失。按照信息码元与附加的监督码元之间的检验关系可分为线性码与非线性码。如果两者呈线性关系，即满足一组线性方程式，就称为线性码；否则，两者关系不能用线性方程式来描述，就称为非线性码。
按照信息码元与监督附加码元之间的约束方式之不同，可以分为分组码与卷积码。在分组码中，编码后的码元序列每n位分为一组，其中包括k位信息码元和r位附加监督码元，即n=k+r，每组的监督码元仅与本组的信息码元有关，而与其他组的信息码元无关。卷积码则不同，虽然编码后码元序列也划分为码组，但每组的监督码元不但与本组的信息码元有关，而且与前面码组的信息码元也有约束关系。
按照信息码元在编码之后是否保持原来的形式不变，又可分为系统码与非系统码。在系统码中，编码后的信息码元序列保持原样不变，而在非系统码中，信息码元会改变其原有的信号序列。由于原有码位发生了变化，使译码电路更为复杂，故较少选用。
根据编码过程中所选用的数字函数式或信息码元特性的不同，又包括多种编码方式。对于某种具体的数字设备，为了提高检错、纠错能力，通常同时选用几种误码控制编码方式。以下，以线性分组码为例，对几种简单的编码方式进行介绍。
4.2循环码（CRC）
循环码是线性码的一个重要的子类，它有以下两大特点：第一，码的结构可以用代数方法来构造和分析，并且可以找到各种实用的译码方法；第二，由于其循环特性，编码运算和伴随式计算，可用反馈移位寄存器来实现，硬件实现简单。
循环码是在严密的代数学理论基础上建立起来的，这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且纠错的能力较强。顾名思义，循环码除具有线性码的一般性质之外，还具有循环性，即任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。
4.2.1循环码定义
设C使某线性分组码的码字集合，如果对任，它的循环移位也属于C，则称该码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n元组是子空间S的一个码字，则经过循环移位得到的
也同样是S中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的也是S中的一个码字。
4.2.2循环码的多项式描述
码字的多项式描述，一个n元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示
, （1-1）
其中，我们不关心x的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。称这样的为c的码字多项式。
4.2.3生成多项式及生成矩阵G
如果一种码的所有码多项式都是多项式的倍式，则称为该码的生成多项式。在循环码中，次数最低的多项式（0除外）就是生成多项式，其他码多项式都是其倍数。且该的阶数为，常数项为1，是的一个因式。为了寻求生成多项式，必须对进行因式分解。
循环码的生成矩阵多项式为：
（1-2）
然后将系数提出就得到生成矩阵G。
4.2.4 系统循环码
循环码也可以构成为系统循环码。为方便系统码的构造，将消息多项式和码式都记为高位在前，即的消息多项式为，
（1-3）
又设码式的高次幂部分等于m(x)，即 （1-4）
其中p(x)称为校验位多项式，由于码式是生成式的倍式，所以
（1-5）
（1-6）
因此循环码的系统码码式为
（1-7）
将循环码的系统码构造步骤总结为：
多项式乘
多项式求模（余式） （1-8）
多项式减
如果令为单项式，
（1-9）
（1-10）
那么容易看到，对应的向量，是线性无关的，从而得到循环码系统码的生成矩阵为
（1-11）
4.2.5循环码的编码
利用生成多项式实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式确定时，码就完全确定了。现在讨论生成多项式给定以后，如何实现循环码的编码问题。

若已知
（2-1）
并设信息元多项式
（2-2）
要编码成系统循环码形式，即码字的最左边k位是信息元，其余位是校验元，则要用 乘以，再加上校验元多项式,这样得到的码字多项式为
（2-3）
其中
一定是的倍式，即有
（2-4） . （2-5）
注意到为次多项式，而最多为次多项式，必有
, （2-6）
即必是除以的余式。
式(2-6)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式乘以成为，然后将除以生成多项式得到余式，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式。 （2-7）
综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将除以生成多项式得到余式的运算，因此研究多项式除法的电路实现是必要的。2