线性代数与概率统计及答案.doc

完整word版)线性代数与概率统计及答案
线性代数部分
第一章 行列式
一、单项选择题
1．( ).
(A) 0 (B) (C) (D) 2
2. ( ).
(A) 0 (B) (C) (D) 2
3．若，则 ( ).
(A) (B) (C) (D)
4． 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为, 则( ).
(A) 0 (B) C) (D) 2
5. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解. ( )
(A) (B) (C) (D)
6．设行列式，，则行列式等于（）
A. B.
C. D.

二、填空题
1. 行列式.
2．行列式.
3．如果，则.
4．行列式.
5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.
6．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.
7．若齐次线性方程组有非零解，则=.

三、计算题
2．；

3．解方程；

6.

7. ； 8．;

四、证明题
1．设，证明：.

2．.

3．.

第二章 矩阵

一、单项选择题
1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(a)(b) (c) (d)
2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。
(a) AB =BA (b) (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆
3.若为n阶方阵，为非零常数，则( )。
(a) (b) (c) (d) 4.设为n阶方阵，且，则( )。
(a) 中两行(列)对应元素成比例 (b) 中任意一行为其它行的线性组合
(c) 中至少有一行元素全为零 (d) 中必有一行为其它行的线性组合
5.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则( )。
(a) (a) b) (c) (d)
6. 设，为n阶方矩阵,,则下列各式成立的是( )。
(a) (b) (c) (d)
7.设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。
（a） (b)
(c) (d)
8.已知，则（ ）。
（a） (b)
（c） （d）
9.设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（ ）。
（a） （b） （c） （d）
10.n阶矩阵可逆的充要条件是( )。
(a) 的每个行向量都是非零向量
(b) 中任意两个行向量都不成比例
(c) 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d)对任何n维非零向量，均有
11. 设矩阵A=（1，2），B=，C则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A．ACB B．ABC
C．BAC D．CBA
12.设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D）
A．可逆，且其逆为 B．不可逆
C．可逆，且其逆为 D．可逆，且其逆为
13.已知向量，则=（A）
A． B.
C． D．
14.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（C）
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 若，则6、设两事件A
二、填空题
1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式_______
2.行列式_______
3.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则_______
4.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为_______
三、计算题
1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).
1) ； 2) ；
3) ,其中；

2.设为阶对称阵,且,求.
3.设,,,,求.
4.设,求非奇异矩阵,使.
四、证明题
1. 设、均为阶非奇异阵,求证可逆.
2. 设(为整数), 求证可逆.
4. 设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于.
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

第三章 向量
一、单项选择题
1. ， 都是四维列向量，且四阶行列式,,则行列式

2. 设为阶方阵，且,则（ ）。

3. 设为阶方阵，，则在的个行向量中（ ）。

4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ ）

5. 维向量组线性无关的充分条件是( )
都不是零向量
中任一向量均不能由其它向量线性表示
中任意两个向量都不成比例
中有一个部分组线性无关
二、填空题
1. 若，，线性相关，则t=▁▁▁▁。
2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。
3. 向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。
4. 若线性相关，则线性▁▁▁▁关。
5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。
三、计算题

1. 设，，，，问
（1）为何值时，能由唯一地线性表示？
（2）为何值时，能由线性表示，但表达式不唯一？
（3）为何值时，不能由线性表示？
2. 设，，，，问：
（1）为何值时，不能表示为的线性组合？
（2）为何值时，能唯一地表示为的线性组合？
3. 求向量组，，，，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
四、证明题
1. 设，试证线性相关。
2. 设线性无关，证明在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。

第四章 线性方程组
一、单项选择题
1．设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
3．设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ ）
(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解
(C) 必有非零解 (D) 必有唯一解
4．方程组无解的充分条件是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．方程组有唯一解的充分条件是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题

1. 设为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量，均有，则的秩为 .
2. 线性方程组仅有零解的充分必要条件是 .
3. 设和均为非齐次线性方程组的解（为常数），则 .
4. 若线性方程组的导出组与有相同的基础解系，则 .
5. 若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为 .
三、计算题
1. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系，问是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
2. 设，，已知的行向量都是线性方程组的解，试问的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？
3. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：
1）求（Ι）的一个基础解系
2）如果是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题
1. 设,则的特征值是( )。
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
2. 设,则的特征值是( )。
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1
3. 设为阶方阵, ,则( )。
(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是对称阵
4. 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量的充分条件是( )。
(a) (b) (c) (d)
5. 若阶方阵的特征值相同,则( )。
(a) (b) (c) 与相似 (d) 与合同

二、填空题
1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。
2. 设为n阶方阵，且，则的全部特征值为_______。
3. 设为n阶方阵，且(m是自然数)，则的特征值为_______。
4. 若，则的全部特征值为_______。
5. 若方阵与相似，则_______。

三、计算题
1. 若阶方阵的每一行元素之和都等于,试求的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.
2. 求非奇异矩阵,使为对角阵.
1) 2)
四、证明题
1. 设是非奇异阵, 是的任一特征根,求证是的一个特征根,并且关于的特征向量也是关于的特征向量.
2. 设,求证的特征根只能是.
3. 设阶方阵与中有一个是非奇异的,求证矩阵相似于.
4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.
5. 设n阶矩阵，如果，证明：-1是的特征值。
6. 设，证明。
7. 设是n阶矩阵分别属于的特征向量，且，证明不是的特征向量。

概率论部分
一、填空：（每题3分，共15分）
1． 假设是两独立的事件，，则_________。
2． 设A，B是两事件，，则__________。
3． 若二维随机变量满足，则________。
4． 随机变量_________。
5． 设总体,是来自总体的样本，则服从_________分布。
二、选择：（每题3分，共15分）
1． 如果（）成立，则事件互为对立事件

2． 若的概率密度为，则（）

3． 设随机变量，则方差（）

4． 下列结论正确的是（）
.与相互独立，则与不相关
.与不独立，则与相关
.与不相关，则与相互独立
.与相关，则与相互独立

5． 设为来自正态总体的一个样本，其中已知，未知，则下面不是统计量的是（）

三、计算：（共70分）
1．（15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，

（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；
（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。
2．（10分）设随机变量的密度函数为，
试求：常数；。
3.（10分）设随机变量的密度函数为，求 的概率密度；
4．（10分）一袋中装有5只球，编码为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最小号码，求随机变量X的分布律与数学期望.

5.（15分）设随机变量(X,Y)的概率密度为
（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.

6．（10分）总体的概率密度函数为是未知参数，
求未知参数的矩估计量，并验证未知参数的矩估计量是的有偏还是无偏估计量。

线性代数部分参考答案
第一章 行列式
一、单项选择题
1． ( C ).2. ( C ).3．(B).4 ( C ).5. ( A )6.（C）

二．填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.
三．计算题
1. ；
2. ;
3 ;
4 ;
5 ;

第二章参考答案

一：1. a；2. b；3.c；4.d； 5.d； 6.d； 7.d； 8.c；9.b； 10.d.11.B12.（D）13.A）14.（C）

二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；
三、1.1）、；2）、； 3）、. 2. 0； 3.； 4.；

第三章向量参考答案
一、 单项选择
1.b 2.d 3.a 4.b 5.b
二、填空题
1. 5 2.相关 3. 4.相关
三、解答题
1. 解：设
则对应方程组为
其系数行列式
（1）当时，，方程组有唯一解，所以可由唯一地线性表示;
（2）当时，方程组的增广阵 ， ，方程组有无穷多解，所以可由线性表示，但表示式不唯一;
（3）当时，方程组的增广阵，，方程组无解，所以不能由线性表示。
2.解:以为列构造矩阵

（1）不能表示为的线性组合
（2）能唯一地表示为的线性组合。
3.解：
为一个极大无关组，且,
四、证明题
1.证：∵
∴
∴线性相关
2.证：设
则
∵线性无关
∴
其系数行列式=
∴当n为奇数时，只能为零，线性无关；
当n为偶数时，可以不全为零，线性相关。

参考答案
一、单项选择题
1.B 2.D 3.C 4.B 5.A
二、填空题
1.100 2. 3.1 4. 5.
三、计算题
1. 是 2. 不能
3. 1） 2）

第五章 参考答案
一、单项选择题
1.a 2.c 3.c 4d 5.b
二、填空题
1.0 2.1,-1 3.0 4.0,1 5.4I
三、计算题
1.
2.(1) (2)
四. 证明题 (略)

概率论部分

一、填空（每题3分共15分）
1. 4/7；2. 1/12 ；3. 不相关；4. ；5.
二、选择（每题3分共15分）
1．C； 2. C ； 3. D； 4. A； 5. B
三、计算
1． （15分）
解：设

（1） 由全概率公式
5分
所以P(B)=1/12+4/12=5/12·····················································3分
(2)要求，由贝叶斯公式
2. 解：由，得，所以， ……4分
，……6分
3．（10分）解：（1） 分别在单调，所以
……4分，
……6分，
或利用分布函数法：
……4分
，……4分

……2分
4. （10分）解：X＝1，2，3 ………2分
，
X
3 4 5
p
6/10 3/10 1/10
………6分
=1.5… 12分

5．（15分）解：
（1） ………6分
………6分
（2）X与Y不相互独立，因为 ………3分
6．（10分）解：（1）
，···3分，···2分，···2分
由于, 所以的矩估计量为无偏估计。···············3分