第十三届五一数学建模联赛-对二孩政策问题的研究.pdf

第十三届五一数学建模联赛题目对二孩政策问题的研究摘要本文针对二孩政策问题，建立数学模型，分析二孩政策下我国人口结构变化趋势，探究二孩政策对我国产生的影响。问题一要求建立人口结构可持续发展指标体系。运用指标归类方法，得出三个一级 指标，九个二级指标，采用主成分分析法，根据相关数据筛选出对人口结构影响较大的 指标：人口死亡率、人口出生率、老年抚养比等等，具体指标见图2。问题二要求建立人口结构可持续发展的评价模型。运用综合权重评价法确定各三级 指标对核心指标的权重，建立人口结构可持续发展评价模型：4）xiooi=选取10个具有代表性的省市，利用左-旃3聚类法对34个省市聚类分析，选取 上海，天津，陕西，辽宁，河南，西藏，贵州，海南，浙江，江苏作为全国最具代表的 十个省市。根据建立的评价模型求解人口结构综合得分，据划分标准可得：人口结构得 分优秀的有辽宁、江苏，良好的为浙江、河南，中等的有陕西、贵州。较差的有上海，天津，西藏，海南。同理，对A地区人口结构评价为良好。问题三要求预测A地区不实行二孩政策未来20年的人口结构变化趋势，采用 Log加比模型就原生育政策下性别结构、年龄结构、人口数量进行定量分析并预测，运 用Matlab求解得到人口结构变化趋势（见正文图8）。要求给出A地区实施二胎政策后未来20年人口结构更合理的最优出生率，建立基 于出生率单因素变化的多项式拟合，得出最优出生率为16%。问题四要求预测二孩政策下A地区未来10-20年按年龄划分的人口结构。运用 模型预测二胎政策下对A地区人口结构预测的结果（见正文图9）o问题五要求在全面放开生育政策和国民经济运行稳定的基础上预测A地区未来20 年人口结构的变化趋势。通过育龄妇女生育意愿及生育率调整公式得到育龄女性的生育 率为2.3,多元回归分析定量分析影响经济的主要人口结构因素有年龄结构等，基于Les/ie 对未来20年人口结构进行预测的结果（见正文图ll）o关键词 主成分分析 攵-用发聚类分析Logistic 模型Leslie模型一、问题背景与重述1.1 问题背景 问题背景新中国成立之后，我国的人口政策发生了巨大变化，计划生育政策依旧占主导地位。然而，随着我国老龄化现象的不断加剧、“用工荒”、性别比例失衡等问题不断凸显，人 口与经济社会发展不匹配的问题开始得到人们的高度重视。十八届五中全会公报提出，促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人 口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动。这是继2013年，十八届三中全会决定实施单独二孩政策之后的又一次人口政策调整。这一政策的出台对我国发展有着划时代的重要意义。此次全面放开两孩生育会使得中国人口形势发生历史性转变。其原因包括生育率进 入超低水平，性别比例失衡、老龄化等。其中，生育率过低成为谈论最多的问题之一。我国为控制过度膨胀的人口规模，实施计划生育政策。在这一政策下，我国人口出 生率不断下降，2004年至今我国人口出生率一直在1.2%左右徘徊，远低于同属发展中 国家的印度等国，甚至低于英美等发达国家。低出生率一方面使得我国总人口在未来出 现下滑，另一方面会导致我国社会劳动人口大幅下降。计划生育政策虽然控制了总人口 数量，但由此产生的问题也层出不穷。随着社会的不断发展，我国老龄化速度加快，并 呈现出“未富先老”的特点，劳动力缺乏，尤其是青壮年劳动力不足，从而影响我国社 会生产的发展。1.2 问题重述为了更好地研究全面放开二孩问题，本文通过建立数学模型，依次解决以下问题：1、建立人口结构可持续发展指标体系，相关指标具有科学性、代表性、全面性；2、建立人口结构可持续发展的评价模型。选取10个国内具有代表性的省市，对其人口 结构进行评价分级，并结合建立的模型给出当前A地区评价等级；3、预测A地区不实行二孩政策未来20年的人口结构变化趋势；在实施二胎政策的情况 下给出使得A地区未来20年的人口结构更合理的最优出生率；4、预测A地区在实施二孩政策下未来10-20年按年龄划分的人口结构；5、在全面放开生育政策（不限制生育数量）和国民经济运行稳定的基础上预测A地区 未来20年人口结构的变化趋势。二、问题分析2.1问题一的分析问题一要求在了解我国人口结构的评价指标和评价模型的基础上，列举现有的人口 结构建设评价指标。由于前人建立的指标对人口结构评价的影响大小不一，这都不利于 对特定问题的求解。要列举出现有的人口结构评价指标就需要将相关参考文献中构建的 指标体系进行横向、纵向对比，从而列举出较为集中且可行性较高的评价指标。考虑到 主成分分析就是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差-协方差结构的分析 方法，即求出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息。因此，本题可 以通过主成分分析筛选重要指标。从而根据相关系数来确定各个指标的，进一步筛选出 1对人口结构影响较大的指标。2.2问题二的分析问题二要求建立人口结构可持续发展的评价模型。选取10个国内具有代表性的省 市，对其人口结构进行评价分级，并结合建立的模型给出当前A地区评价等级。从第一问建立的人口结构可持续发展指标体系中选取对人口结构影响较大的指标，参考相关文献建立人口结构可持续发展的数学模型。本题是一个多指标的综合评价问 题，首先要确定各个指标的综合评价权重系数，需要在专家经验基础上选取指标，用一 种较为客观的方法对指标进一步筛选。运用层次分析法研究各层次的关系，构造成对比 较矩阵，运用必7必检验判断矩阵的一致性，确立每个指标对人口结构影响的权重大小。根据各个指标的权重，利用k-means聚类算法来对全国34个省份进行聚类选取。由于各省市的经济发展水平差异较大，根据其GDP,运用聚类分析将这34个省市划分 为5类。然后根据每个省市的地理位置选取10个最具有代表性省份。2.3问题三的分析问题三要求预测A地区不实行二孩政策未来20年的人口结构变化趋势；给出使得 A地区未来20年的人口结构更合理的最优出生率。对于不实行二胎政策的人口结构预 测，考虑到灰色预测模型只对近期预测有效，对于长期的评价误差较大，因此本题根据 附件数据，建立人口阻滞增长模型。首先对A地区1949-2009年总人口数进行拟合，然 后利用该模型对该地区的性别结构，年龄结构，人口数量进行定量分析。接下来是对未来20年人口最优出生率的求解。考虑到实际情况，出生率变化主要 影响男女比例，因此可以建立基于出生率单因素变化的多项式拟合模型，把出生率作为 自变量，把男性人口和女性人口作为因变量，进行多项式拟合处理，得出男女人数关于 出生率的函数。通过合理人口结构中男女比例求解出最佳生育率。2.4问题四的分析问题四要求预测A地区在实施二孩政策未来10-20年按年龄划分的人口结构。参 考相关文献可知，人口结构预测主要有人口矩阵模型和人口发展方程模型。根 据A地区人口相关统计数据，运用Les位模型，模拟A地区人口结构变动趋势。分析 附件中的数据可知，在较长时间内A地区的男性多于女性，因此人口结构变动趋势由 女性人数和生育率决定。由于附件中并没有给出A地区的女性生育率，而本文假设只 考虑政策实施对人口生育率的影响，因此女性生育率的确定是本问的一个重点。考虑 到人口出生率与女性生育率的关系，根据附件的数据可以得出第年各年龄段女性人 口数量及其占总人口的比重，从而得出各年龄段妇女的分布向量。列出第5+1）年各 年龄段女性生育胎儿的数量，计算第，年龄段每个女性生育女儿的个数，从而得出每 个年龄段女性的近似生育率。根据上述条件，从而有效的预测A地区二胎政策下未来 10-20年按年龄划分的人口结构。2.5问题五的分析问题五要求在全面放开生育政策和国民经济运行稳定的基础上预测A地区未来20 年人口结构的变化趋势。本题要求解决两个问题，一是全面放开二胎之后育龄女性的生 育率问题，二是解决人口结构与经济发展的关系问题。针对以上问题，本文着中解决了 以下问题：第一，就育龄妇女生育意愿及生育率调整公式得到育龄女性的生育率；第二，利用多元回归分析定量分析影响经济的主要因素，阐明人口结构对经济的影响，得到对 2经济影响最大的指标。接着研究其指标对人口结构变动所带来的影响，结合Les/M模型 对未来20年人口数量进行预测。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些未知因素 的干扰，提出以下几点假设：1、本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；2、在预测期内，不发生战争及自然灾害等引起大规模的人口伤亡或人口迁移，即人口 变化保持平稳，不出现骤减的现象：3、假设忽略专家点评的主观性；4、15周岁到49周岁的所有女性为育龄妇女，不考虑其是否已婚、丧偶，是否具有生育 能力。四、符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：符号说明4调整指数经二胎化调整后的生育率未经二胎化调整后的生育率玉Q)第1年第，年龄组的女性人口数4第，年第，年龄组的女性死亡率心第，年第，年龄组的女性存活率%第，年第，年龄组的女性生育率wQ)第，年出生人口中女性新生儿比例纥“二胎化调整前年龄为的妇女生育率Bbtl二胎化前年龄为且只生一个孩子的妇女的生育率五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建 立过程。5.1问题一模型的建立与求解由于人口结构可持续性发展具有特殊的特点并且根据指标体系设计的目的，一般情 况下，构建人口结构建设评价指标体系必须遵从以下几条原则：科学性、完整性、目的 性、动态性、可操作性、导向性、可比性。选择有可持续观测支持的指标是建立具有可 持续性指标体系的关键。本文采用理论分析法和频度统计法来实现对一般体系指标的建 立。理论分析法主要对人口结构建设的内涵、目标、等问题进行比较、分析，选择具有 针对性的指标；频度分析法主要是对目前有关人口结构可持续发展评价的研究报告、论 文进行频度统计，从中选择使用频度较高的指标。在建立一般体系指标之后，还需要对 3指标进行筛选，从而确定具体指标体系。综合以上分析，对人口结构建设的评价指标可 分为三个级别。如下所示（具体表格见附录I）通过查阅资料和初步筛选可以得到人口结构可持续发展指标如下表所示：表1人口结构可持续发展初选指标一级指标二级指标三级指标人口结构可持续发展人口结构和自身发展指标人口死亡率人口出生率老年抚养比人口结构和社会发展指标人口密度非农人口数量居民平均寿命人口结构和经济发展指标GDP增长速度GDP总量第三产业占GDP比重问题一依据以往的研究成果给出了一系列影响人口结构发展的指标，但是这些指标 对目标的影响有大有小，因此，下面采用主成分分析对这些指标做进一步的筛选，结合 中国统计局中近U年的数据（见附录/），通过SPSS对数据分析，得到这些指标的各自 贡献率如下表所示：提取方法：主成分分析表2各项指标贡南犬率成分起始特征值提取平方和统计方差累计总和方差累计18.03280.32480.3248.03280.32480.32421.67716.77397.0971.67716.77397.09730.2402.39699.49340.0410.41599.90850.0070.07399.98160.0020.01699.99770.0000.003100.00083.253 xW50.000100.00091.559xl0161.559x1015100.00010-2.781 xlO-16-2.781 xlO15100.000通过上表可以看出，前两个指标的累积贡献率达到了 97.097%,可见在对人口结构 产生显著影响的指标中，可以提取出两个主成分，通过元件矩阵进行分析，可以提取出 对人口结构与自身的指标影响显著的三个指标：人口出生率，人口死亡率，老年抚养比。4除了可以通过指标各自的贡献率选取指标，也可以通过观察碎石图来确定指标:图1 10个成分碎石图从图中可以看出，第三个点为拐点，这也进一步说明前两个指标为主成分，因此最 后选取出生率，人口死亡率，老年抚养比这三个指标为重要的成分。同样根据以上方法可以得到人口结构与社会发展，人口结构与经济发展中的几个重 要的指标。主成分分析在筛选指标的过程中可以剔除对人口结构影响较为微弱的指标，尽可能 用最少的指标反映指标集90%以上的信息，以此来简化指标体系。最终可以用以下九个 指标来评价人口结构可持续发展状况：人口 出生 率老年 抚养 比人口结构可持续发展指标体系人口 密度第三 产业 占G DP 比重民均命 居平寿图2人口结构可持续发展指标体系图由图2可知，评价人口结构可持续发展状况的指标有人口死亡率，人口出生率，老 年抚养比，人口密度，非农人口数量，居民平均寿命，GDP增长速度，GDP总量,第 三产业占GDP比重。5.2问题二模型的建立与求解5.2.1模型的建立第一问建立的人口结构可持续发展指标体系中选取对人口结构影响较大的指标，参 考相关文献建立人口结构可持续发展的数学模型，本题是一个多指标的综合评价问题，首先要确定各个指标的综合评价权重系数，需要在专家经验基础上构造层对比较矩阵。尸法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对 比较矩阵的特征值获得权重向量。5假设比较某一层上个因素6,G，G对上一层因素。的影响，每次两个因素G和 G，用表示G和J对。的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵。，也叫正互 反矩阵：c=(cp%*k，Cgo,Gj=，cn=1.Ji若正互反矩阵。元素成立等式：c*C,=Q,则称。为一致性矩阵。表3标度G的含义标度Cg含义1G与q的影响相同3G比j的影响稍强5c,比j的影响强7G比j的影响明显地强9G比G的影响绝对地强1/2,1/9G与J影响之比为上面%的互反数2,4,6,8C,与c.的影响之比在上述两个相邻等级之间通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量 以=纵，%d，其中的心就是G对。的相对权重。由特征方程A 4/=。，利 用Matlab软件可以求出最大的特征值1ax和相应的特征向量。通过计算一致性指标判断该指标是否达标，以便做出评价：(1)为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标。：C/=/Umaxk-1其中丸皿表示矩阵。的最大特征值，式中上正互反矩阵的阶数，。越小，说明权重 的可靠性越高。(2)平均随机一致性指标a,下表给出了 1 14阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随 机一致性指标：标，可查表找到)，可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵。本题通过指标的综合权重来筛选重要指标，首先对运用基于主观赋权法的层次分析 法进行求解各个指标权重的大小，本题的各个层次判断矩阵的建立，参考了“ECCT体 系中各个专家的评价，数据较为准确。表4 1-14阶正反矩阵平均随力帆一次性指标阶 数1234567891011121314RI000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58CJ当CH=号 0.1时(CR称为一致性比率,RI是通过大量数据测出来的随机一致性指6通过参考前人的文献，得到准则层的判断矩阵如下:1 1 115 3B=5 1 33 3 1运用Ma标必编程求解准则层的特征向量,并进行层次分析法的一致性检验得到的结 果如下：-0.1047-co-0.63700.2583=3.0385 CI=3 一=0.01，C7?=0.0370皿 3-1 RI通过一致性检验，即准则层判断矩阵的是相当合理的。该准则层特征向量就是准则 层对于目标层的权重。运用同样的方法，参考相关文献可以得到方案层各指标对准则层各因素权重的成对 判断矩阵（具体判断矩阵见附录/）。运用跖加的编程求解得到具体的指标层。准则层权重大小如下表所示：表5指标层对准则层权重大小 1电0.08190.59540.58760.23630.27640.32340.68170.12830.0890同样的可以用Matlab编程求解得到指标层判断矩阵的一致性检验表6指标层判断矩阵一致性大小检验CI0.0287.7081 xlO-40.0046CR0.00530.00150.0088由该表可知通过一致性检验，即准则层判断矩阵的是相当合理的。该决 策层特征向量就是决策层对于目标层的权重。成对比较矩阵显然非常好体现了研究对象一一各个因素之间权重的比较状态，能够 有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息，显然也是矩阵数学模型的重要应用价值。因素往往是有层次的，在进行决策分析时，要进行多方面、多角度、多层次的分析与研 究，把决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的。一个总的指标下面可以有第 一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等，而每个这种因素又 有新的成份在里面。这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在。定理1：对于三决策问题，假设第一层只有一个因素，即这是总的目标，次策总是 最后要集中在一个总目标基础之上的东西，然后才能进行最后的比较。又假设第二层和 第三层因素各有、机个，并且记第二层对第一层的权向量（即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小 等等多方面的事情的量化的结果）为：7而第3层对第2层的全向量分别是:这表示第3层的权重大小，具体表示的是第2层中第k个因素所拥有的面对下一层 次的m个同类因素进行分析对比所产生的数量指标.那么显然，第三层的因素相对于第 一层的因素而言，其权重应当是：先构造矩阵，用吗为列向量构造一个方阵：或（3）=（吗（3）,收3）,斗（3）这个矩阵的第一行是第3层次的加个因素中的第1个因素，通过第2层次的个因 素传递给第1层次因素的权重，故第3层次的帆个因素中的第，个因素对第1层次的权 重为 之吗如，从而可以统一表示为：k=卬=W（3）w（2）它的每一行表示的就是三层（一般是方案层）中每一个因素相对总目标的量化指标。定理2：一般公式如果共有s层，则第七层对第一层（设只有一个因素）的组合权向量为：左=3,4,s其中矩阵w的第，行表示第2层中的第，个因素，相对于第-1层中每个因素的权 向量；而列向量MF则表示的是第k-1层中每个因素关于第一层总目标的权重向量。于是，最下层对最上层的的组合权向量为：=s）VV（T.卬实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算。逐个得出每一层的各个因素关于 第一层总目标因素的权重向量。表7各指标对目标层的权重指标权值指标权值指标权值人口死亡率0.0086人口密度0.0623GDP增长速度0.0615人口出生率0.1505非农人口比重0.1761GDP总量0.2060老年抚养比0.1761居民平均寿命0.0331第三产业占GDP比重0.0230由上表可知人口死亡率，人口密度，居民平均寿命，GDP增长速度和第三产业占 GDP比重对目标层的影响权重较低，而人口出生率，老年抚养比，非农人口比重，GDP 总量对目标层的影响程度较大，这样可以进一步筛选出对人口结构影响较大的指标为人 口出生率，老年抚养比，非农人口比重，GDP总量，分别记为毛,毛，X4,画图表示为：图3人口结构可持续发展指标体系 由表9和图3建立评价体系，评价结果函数Y可表示为：y=（6y,x,）x100i=l式中，=1,2,3,4,华为决策层对目标层的综合权重，%为标准化后的评价指标度量 8值。将表中的数据带入上式可得：Y=（0.1505X,+0.176lx2+0.1761+0.2060 x4）xlOO o5.2.2模型的求解考虑到地理位置和经济条件两个因素并结合最新的数据，选取我国最具有代表性的 10个省市。以我国34个省市的8尸作为聚类分析的指标，将34个省市分成五大类，再根据每个省市的地理位置筛选出10个最具有代表性的省市。根据第一问中筛选出来 的4个重要指标，查找这10个省市各项指标的数据，代入第二问的模型，求得这10个 省市人口结构可持续发展程度。在明确了将这34个省市聚类成五类后，通过欧式距离 的计算公式：计算所有样本数据点到五个类中心点的欧氏距离，运用SPSS软件，根据最短原则,把所有的样本指标分派到各个中心点所在的类中，形成一个新的五类，完成一次迭代的 过程。参考近年我国34个省市的GD尸总量（具体见附录），利用SPSS软件做Z-机发聚 类分析，得到的聚类分析聚类谱系图如下所示：使用不均速砧的树状解 瞅皴的距I*曦桀笫台 0 5 10 15 20 25图4聚类分析聚类谱系图从分类的结果可以看出，可以将34个省市分为五类。结合各个省市的地理位置（具体见附录），选取最具代表性的十个省份：上海，天津，陕西，辽宁，河南，西 藏，贵州，海南，浙江，江苏。再根据第一问选取的4个重要可行的评价指标，查找这10个省份的4个评价指标 的具体数据（见附录），将其带入该问建立的评价模型中，求得这10个最具代表性的省 市人口结构建设指标的具体值：该问主要采用Z-sc。标准化方法，一般来说这种方法较为简便，而且标准化效果 也较好，它是基于原始数据的均值和标准差进行数据标准化的。将A的原始值用 Z-score标准化后得到广。Z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的 9情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即%=-,z=1,2,m,j=1,2,n其中田一支/,sj-J iZ%），j_12,n/Vm-1由此可以由原数据得到标准化之后的各个指标的评分值：表8经标准化后各省市各项指标的评分值省份 指标人口出生率老年抚养比非农人口数量GDP总量上海-0.925210.54056-0.3264-0.0183天津-0.8931.27105-0.5217-0.4298陕西0.698190.44316-0.2551-0.3314辽宁-1.587880.345760.384540.28268河南0.371610.248371.166840.5604西藏1.48135-2.4301-1.1678-1.19贵州0.618920.63796-0.6482-0.7843海南1.10721-0.4821-1.2015-1.0582浙江-0.34497-0.23860.775040.87088江苏-0.5257-0.3361.794122.09803由公式y=0.1505%+0.1761x2+0.1761x3+0.2060 x4,可以求解到各个省份的得分如表9省市人口结构指标综合得分下表所示:省份上海天津陕西辽宁河南西藏贵州海南浙江江苏得分-10.5-9.17.043.021-65.87.0-35.322.261.0由表9可以引入评价集。=（%,%，%），该评价集主要是一个评价标准分级的 集合。对人口的综合评价属于对复杂的社会现象的评价，对人口综合发展各指标不同等 级界定比对自然现象的分级要困难的多，其中不仅要考虑到人口综合发展本身的实际情 况，而且要涉及各评价指标的反应及人的主观评价，因此，本文就是采用参照国际上通 行的一些标准，并与专家意见确定相结合的方法，确定人口综合发展指标的评价标准，并建立如下评价集：根据以上求解结果将10个省市得分划分为4个不同的等级：得分大于40为优秀，20-40之间为良好,0-20为中等，小于20较差。根据划分标准可得：人口结构得分优秀的有辽宁和江苏，良好的为浙江，河南，中 等的有陕西，贵州，较差的有上海，天津，西藏，海南。同样的参照附件中的数据我们可以得到A地区人口结构的综合评分为28.3,属于人 口结构发展等级中的良好等级。105.3问题三模型的建立与求解5.3.1模型的建立本题要求对人口结构进行预测，首先在不实行二胎政策的情况下对人口结构进行预 测，考虑到未来人口结构的复杂性与多变性，根据附件中的数据和一些参考文献可知，灰色预测模型只能相对准确的对短期人口数量变化趋势做出预测，而对于长期 预测偏差则较大。因此选择经典的人口阻滞增长Logisc模型进行分析。基于附件中A地 区的信息、，给出研究思路如下图所示：图5基于logistics模型的人口结构图建立的Logistic模型如下所示：设时刻时人口为%(。，环境允许的最大人口数量为乙,人口净增长率随人口数量 的增加而线性减少，即r(r)=r(l-)Xm由此建立logistic人口模型的微分方程生=网-二)出 xm%(0)=%求解得到下面建立基于出生率单因素变化的线性拟合模型。考虑到实际情况，出生率变化主 要影响男女比例，如此可以建立基于出生率单因素变化的线性拟合模型，出生率作为自 变量，先把男性与女性的人口数量作为因变量，进行多项式拟合处理，通过M成3方编 程求解，得到出生率与男性和女性数量的拟合图像：11图6男性人口数量与出生率的拟合图像由图可以看出，男性人口数量与出生率的拟合具有良好的三次函数关系，同样的方 法也可以拟合出女性人口数量与出生率的拟合也具有良好的多项式关系，具体见附录。5.3.2模型的求解根据附件二所给的1949-2009年每年的人口数量，运用Matlab做出人口数量变化图:时间图7 1949-2009年人口数量变化图由图可以看出1949-2009年A地区的人口数量总体上呈逐年上涨趋势，由于不确定 因素的影响，在1993-1997年A地区的人口陡增，本文假设忽略这部分不确定因素对模 型结果产生的影响。然后利用该模型对该地区的性别结构，年龄结构，人口数量进行定 量分析。运用油编程处理，比较1949-2009年实际人口与拟合线的拟合程度，由图可知 20年人口数量拟合效果较好，即可以用Logistic模型对影响人口结构的各项指标进行 定性分析。12图8 1949-2009年实际人口与拟合线对比图同样的使用拟合出来的。gisc函数进行2015-2035年男女数量预测。从男女数量预测图中可以看出未来20年男性人口数量始终大于女性人口数量，但 是数量差距有所减少。由图可以看出2015年后A地区的青壮年人口呈逐渐下降的趋势,而老年人口的比重却逐渐上升，男女比重也逐渐失衡，老年人口抚养比也呈下降的趋势,这对我国的可持续发展是极为不利的，因此应该迫切出台相关的人口政策，改变和缓和 人口结构，促使国家进入一个更好的发展阶段。同样的由Matlab解出男女数量口,2分别关于出生率的表达式如下：Pi=-5.824丁+333.2/-6339x4-40270 P2=6.005d+343.6%2-6338x+41530考虑到人口结构的合理度与男女比例均衡有关，故令月=夕2,求解可得A地区的 最佳生育率为16%0。即A地区的生育率为16%。时，该地区的人口结构达到最为合理的 情况。5.4问题四模型的建立与求解5.4.1模型的建立人口结构预测模型主要有人口矩阵模型和人口发展方程模型。根据A地区人 口相关统计数据，运用Les/M模型，模拟A地区人口结构变动趋势。分析附件中的数据 可知，在较长时间内A地区的男性多于女性，因此人口结构变动趋势由女性人数和生育 率决定。模型属于一种以年龄和性别为基础的离散矩阵模型，人口学家很早就利 用这个原理进行人口预测方面的研究。由于附件中没有给出A区育龄女性的生育率，而Leslie模型正是基于女性生育率下 的人口结构预测模型，因此本题适合采用Les/M模型。下面建立有关二胎化之后育龄女 性生育率的调整公式：%=%乜49二1510=nbtl，2+B血i5)为常数，其他的结果0。S1n=1 7 q.为.岁女性的死亡率，人口预测模型的矩阵简化式为：x(z+l)=Lx(t)通过递推公式可得：%。)=攵(0)5.4.2模型的求解Leslie矩阵具体的求解方法如下：1、根据统计数据，列出2000年各个年龄段女性的数量及其所占人口比例。从而得出各个 年龄段的妇女的分布向量；2、列出各年龄段女性人口生育胎儿数量，计算处在第力年龄段的每个女性平均生育女儿 的人数。从而得出每个年龄段的女性的生育率，由于女性人口生育率还受到生育意 愿等条件的影响，故根据以上二胎化调整公式对生育率进行修正；3、计算女性人口的总和生育率，从而得出第，个年龄段的女性总存活率。运用Ma 编程计算出Les/ie矩阵，然后利用其对人口进行预测，得到未来20年A区各个年龄段 的年龄比例，人口抚养比和人口性别比。14*青壮年人口系数 少年儿童人口系数老年人口系数人口抚养 老年人口;匕况养比人口性别比图9未来20年A区各年龄段年龄比例、人口抚养比和性别比由图可知，未来20年少年儿童占总人口的比重基本保持在20%左右，青壮年所占 比重略微下降，到2035年大约占总人口的60%,老年人口所占比重略微上升，但变化 不大。老年人口抚养比缓慢提高，人口性别比在2025年明显下降，这表明女性占总人 口的比重增加。由图可以看出2015年后A地区的青壮年人口呈逐渐下降的趋势，而老 年人口的比重却逐渐上升，男女比重也逐渐失衡，老年人口抚养比也呈下降的趋势，这 对我国的可持续发展是极为不利的，因此应该迫切出台相关的人口政策，改变和缓和人 口结构，促使国家进入一个更好的发展阶段。5.5问题五模型的建立与求解5.5.1模型的建立本文要求在国民经济稳定的情况下预测未来20年人口变化趋势，因此有必要探讨 人口与育龄女性的生育率及经济的关系问题。本题中假设全面放开生育政策（不限制生育数量），则对育龄人群生育意愿的研究是 评估生育政策调整可能对A地区出生人口规模产生影响的一种主要研究视角和分析方 法。研究表明，2011-2014年连续四年的生育意愿调查表现出高度的一致性，结合问题 二中给出生育率调整公式：扇=%4可得育龄人群目前的生育水平为2.1左右。人口结构一般分为性别结构、年龄结构和人口抚养比，从中找出几个影响经济发展 的自变量将这二个指标进行分类可得：性别结构包括男性所占比重和女性所占比重，年龄构成分为0-14岁的人口占总人口的比例，15-64岁的人口比例，65岁以上的人口比 例（国际上通常会把人口划分为三大部分：0-14岁的少年儿童组，15-64岁的成年组，65 岁以上的老人组）。人口抚养比分为老年抚养比和少年抚养比。这样就建立了本文的最 终指标体系，为后文的分析奠定了研究基础。由问题二中建立的对人口结构可持续发展的评价模型及分析附件中的数据可以得到 如下图的指标体系：15图10人口结构发展指标体系当研究的问题受多个因素影响时需要建立多元回归方程，进行多元回归分析。事实 上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计 因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。建立经济发展和影响指标工之间的多元线性回归模型：Y=4+01%+P2Xt2 4-,PnXtn+其中片称为截距项，丹称为总体回归系数，是指自变量的个数，汉=1,2,3,o pn 表示在其他自变量保持不变的条件下，自变量与变动一个单位所引起的因变量丫平均变 动的数量，因而也称为偏回归系数。本题中假设全面放开生育政策（不限制生育数量），则对育龄人群生育意愿的研究是 评估生育政策调整可能对A地区出生人口规模产生影响的一种主要研究视角和分析方 法。研究表明，2011-2014年连续四年的生育意愿调查表现出高度的一致性，表明中国 育龄人群目前的生育水平为2.3左右。5.5.2模型的求解通过以上模型的求解，可以得出结论：在性别结构、年龄结构和人口抚养比中年龄 结构对经济发展的影响最大。由于劳动年龄人口是15-64岁的人，并不完全等同于经济 中的实际就业人口，但劳动年龄人口与经济中的实际劳动投入量之间存在正相关的关 系。并且从理论上来说，一个人要能成为经济中的劳动力，首先要是劳动年龄人口。虽 然现实中存在儿童和65岁以上老人参加劳动的现象，但因其数量非常有限，因此可以 把劳动年龄人口看作是潜在的劳动投入量，即经济中劳动投入量的上限。而014岁又 可作为潜在的劳动力，65岁以上带来了养老金压力大等问题，这些都对经济产生较大影 响。基于问题四中建立的Leslie模型可预测出：16岂*1年份 人口性别比.1 2015 2020 2025 2030 2035年份图11 2015-2035年A地区人口结构变化趋势由图可以看出，全面放开生育政策之后，我国的老年老龄化水平得到了良好的改善,基于国民经济平稳运行下，我国的青壮年比重有所上升，人口抚养比也达到了一个较优 秀的水平，男女比例逐渐趋近“1”，对优化我国人口结构产生了深远的影响，短期以来 对A地区的发展是有好处的，但是考虑到中国社会的国情，人口数量庞大，这个政策,对A地区的发展是极为不利的,这就需要当地政府及时的调整生育政策,全面深化改革,以期促进该地区全面又好又快发展。六、模型检验对logistic模型的检验：根据查阅资料得出1994-2013年每年的人口数量，运用必进行编程处理，可 以 比较1994-2013年实际人口与拟合线的拟合程度，由图4-4可见，/ogHic模型对过去20年人口数量拟合效果较好。通过拟合，得到了待求参数r=0.0622，xm=1.4504xl050本模型人口函数方程为：z X 1.45X105%叱1+0.2产2”1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 年份拟合曲线 实际人口图12 1994-2013年人口预测和实际人口比较图 由图像可以看出bgis/ic模型具有良好的拟合性。17七、模型评价与改进7.1.模型的优缺点分析7.1.1.模型的优点1、层次分析法把定性方法与定量方法有机结合，把多目标、多准则又难以全部量化处 理的决策问题化为多层次单目标问题，将思维过程系统化、数字化，更有利于求解 问题；2、Leslie模型可以综合考虑年龄别死亡率、年龄别生育率、男女性别比例等人口本身的 因素对人口系统的影响，模型可扩展性强可以多种情况时同时预测，3、用二胎化调整公式可以更好的求解放开二胎化后对育龄女性的生育率4、在建立模型的过程中，做出了一些假设，去掉了一些实际情况的干扰，降低了建模的 复杂度；7.1.2,模型的缺占1、本文选取的施箍具有局限性；2、Leslie模型中忽略如人口迁移等非自然条件对人口因素的影响；3、本文忽略未来国家生育政策的改变。7.2.模型的改进灰色预测模型在人口数据相对来说有所缺失的情况下能够有效建立起现 有数据之间的内在联系，从而发现数据运作的规律，进而对未来人口数量进行预测。Logistic阻滞增长模型能阻止人口持续不断的增长，更加符合现实自然环境的承载 力，而且短期预测结果可信度高。es应人口预测模型则从人口数量和结构的角度综合出发，对未来不同年龄段的人 口所占比例和数量进行了研究，能够为人口政策制定提供借鉴。另外，在问题二、四 中对Les加人口模型的优化采用小样本抽样调查的形式获取原始数据，是解决该问题的 关键所在。综合这三个模型，并运用SPSS,Exce/等数学软件有效地对所收集、计算 得到的数据进行拟合，从而排除了异常数据对一般性结果的影响。同时，多种数学软件的 合理交替使用令模型求解成为可能，让我们得以清晰明确的把握未来人口走向，使得模 型的存在具有现实意义。18八、模型的推广对题目分析不难看出，本文主要是运用层次分析法、主成分分析法和LogisM模型。对于层次分析法，它是一种定性与定量相结合的、系统化、层次性的分析方法。它合理 地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化,极 具主观因素。由于其在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，已被普遍应用于 经济 计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。对于主成分分析法，它是一种降维的统计方法。在实证问题研究中，为了全面、系 统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统 计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并 且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重 叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，