数学建模竞赛A题优秀论文-系泊系统.pdf

论文标题摘要本文通过受力分析、最小二乘法、非线性规划、变步长搜索算法等方法，建立了系 泊系统状态模型、多目标非线性规划模型对系泊系统的设计问题进行了研究。针对问题一，首先建立以锚为原点、风向为X轴，竖直方向为Z轴，海床所在平面 为。-灯平面，风向所在铅锤面为O-XZ平面的标准坐标系，从而刻画浮标的游动区域。其次，为描述系泊系统的状态，通过对该系统的各组成部分进行隔离受力分析，确定了 浮标所受的杆拉力与风速、吃水深度的表达式，以及钢杆、钢桶、锚链倾角的递推关系，并结合海水深度的几何约束，最终建立了系泊系统状态模型；接着，基于锚链着地现象 的考虑，对着地处的锚链进行了受力分析，从而得到了着地锚链的倾角关系，并结合未 着地的倾角关系以及海水深度的几何约束，建立了系泊系统状态的修正模型；最后，本 文针对复杂多元非线性方程组的求解问题，设计了基于最小二乘法的搜索算法，求解出 了海面风速分别为12m/s和24m/s时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃 水深度与游动区域，见图543,见表5.4.2。针对问题二，首先利用问题一建立的系泊系统状态模型和基于最小二乘法的搜索算 法，对海面风速为36m/s时，钢桶与各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和 游动区域进行了求解见文中XXX页，XX表。其次，针对题目所给出的系泊系统设计要求,将浮标吃水深度，浮标的游动区域，钢桶的倾角作为优化目标，以各个构件在竖直方向 投影的几何约束作为约束条件，以重物球的配重作为决策变量，建立了多目标非线性规 划模型。接着，采用燧权法对各优化目标分配权重，从而将多目标规划问题转化为单目 标规划问题。最后，利用循环搜索算法对模型进行求解，得到的满足设计要求的配重范 围为2200K%4100kg、最佳配重为2894依。针对问题三，首先基于海水流速与近海风速夹角的考虑，建立了以锚为原点，海水 流速方向为x轴，竖直方向为z轴，海床所在平面为。-灯平面，水流速度所在法平面 为0-xz平面的标准坐标系，从而描述浮标的游动区域。其次，根据海水流速与海水深 度的关系，结合“近海水流力”的近似公式，从而得到水流力与海水深度的关系。接着,对系泊系统进行受力分析，确定了各参数间的关系，进而建立了系泊系统的三维状态模 型。再次，结合问题二对优化目标的分析，以锚链型号，锚链长度，重物球配重作为决 策变量，建立了多目标非线性规划模型。最后，考虑到模型的复杂程度，通过变步长搜 索算法对模型进行求解，结果如表7.3.2所示。本文的特色在于将机理分析与多目标规划相结合，运用焙权法将多目标问题转化为 单目标问题，使得求解结果更加客观。止匕外，对于解空间较复杂的模型，设计了变步长 搜索算法，在保证了求解的精度的同时，极大地提高了运算的时间复杂程度，为日后系 泊系统的设计的发展提供了参考依据。关键字：系泊系统设计机理分析最小二乘法变步长搜索算法1一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体,浮标的质量为lOOOkg o 系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg,锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节,每节长度1m,直径为50mm,每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的 切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯 系统安装在一个长1m、外径30c m的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，卜接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若 钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度 时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重 物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃 水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1:某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m,选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025xl（）3kg/m3的海域。若 海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2：在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放 点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和 水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标 的吃水深度和游动区域。二、问题假设1.假设浮标在水面上不存在偏斜；2.假设各构件均为刚体，不发生变形；3.假设问题三中海水流速随深度呈抛物分布；4.假设海水流速方向水平。三、符号说明类型符号含义上标a在xoy平面b在xoz平面c在平面下标i构件编号iJ构件i对构件/作用量变量F构件相互作用力2变量G构件重力T构件所受浮力f构件所受水流力0构件倾角作用力与竖直方向夹角四、问题分析4.1 问题一的分析问题一要求建立系泊系统内钢桶和各节钢管倾斜角度，锚链形状和浮标吃水深度变 化的数学模型，因此需要对不同结构分别进行受力分析，从而找到题目要求的各个参数 的递推关系，进而构建本问题的非线性方程组。其次，为了分析各个参数与风速的关系，则需要根据“近海风荷载”的近似公式，对浮标进行进一步受力分析。此外，为了求解出海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链 形状、浮标的吃水深度和游动区域，需要求解之前构建的非线性方程，进而确定各个参 数。考虑到解空间不大，因此本文采用基于最小二乘法的搜索算法进行求解。4.2 问题二的分析为了计算海面风速为36m/s时，钢桶和各节钢管的倾斜角度，锚链形状和浮标的游 动区域，则只要将海面风速带入模型一进行求解即可。为了满足钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的要 求，需要建立以重物配重为决策变量，海水深度为几何约束条件的多目标非线性规划模 型。由于数据规模不大，本文采用循环搜索算法对模型进行求解。4.3 问题三的分析为了分析在海水深度、海水速度，风速变化情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域，需要依据问题二的思路建立多目标非线性规划模型，决策变量为锚链型号、锚链长度以及重物配重。3五、问题一模型的建立与求解5.1模型准备对于本问，可通过引入决策变量浮标吃水深度力，以海面风速和海水深度H在作为 已知条件，借助物理学与力学原理进行机理分析得到系统内在关系，进而求得系泊系统 各状态参数。首先，本文以锚和锚链的交点为原点，建立空间直角坐标系来讨论系统内部的受力 情况，示意图如下：接着，为了方便表述，我们用片及来依次表示系统内部从上到下的N种构件，由 题中锚链长度除以单个链环的长度可以得到锚链共有210个链环，由此得到N的数值：=14-4+1+210+1=218各编号代表的具体构件如下表所示：表5.L2各构件编号编号i=l2i5i=67z2161=217构件类型浮标钢管钢桶锚链锚5.2模型建立5.2.1系泊系统受力分析本文假设风向平行于海平面，当风速度不变时，海风方向的变化会使浮标在圆形区 域内运动，并且各方向平衡时系统状态相同。因此，本文在平面内对系统进行受力分析。（一）浮标的受力如图5.2.1所示，浮标受到速度为u的海风作用在海面上达到平衡，设其吃水深度为 h,此时浮标一共受到4个力的作用。4其中7；表示浮标所受浮力大小，方向竖直向上。由阿基米德定律可以得到浮力7；与 吃水深度打的关系为Ti=pg,4(5-2-1)式中，p为海水的密度；4为浮标底面直径。浮标还受到水平方向的风力Fo的作用，由题中已知关系式可知风力和风速有如下关 系：7=0.625x5/Si=6 一(5-2-2)其中E为浮标在风向法平面的投影面积，4为浮标高度。浮标下表面与第一节钢管较接，钢管对浮标作用力的大小用工表示，其与竖直方 向的夹角为左。此外，物体还受到竖直向下的重力Gj物体受力平衡根据牛顿第一定律 有浮标在方向的合力为零，即：Fo-F2.s 询 0 二(5-2-3)工一乙F。*7 0=1对方程组进行求解并分离变量得到钢管对浮标作用力大小鸟和夹角片表达式为:_ J25(4)2dy4+4g g 7rd 山-4G)T 8A=arc t an5(_人)卬2 8Q+2gp7rdh(5-2-4)5（二）钢管的受力图5.2.2钢管受力示意图钢管（2W5）受力如图5.2.2所示，首先对于底面直径为4，轴向高度为/，.的 圆柱形钢管的浮力由阿基米德定律有E=Pg 吟(5-2-5)物体静止不发生移动由牛顿第一定律有：用“Si礼,r尸+,询，0Ti+,7C ofi_irG-F+i p s=求解方程组分离变量得到钢管上下端点作用力递推关系式为:(5-2-6)Pi=arc t anFm,i=sin(arc t an耳Tsing _ 17/+-irC0SA-vGi 耳+i 丁 sing(5-2-7)耳山 sin 4T刀+耳-1,/COS g_ 一。)接着，物体不发生转动由力矩平衡定理对钢管下端点取矩有Hr 户 i 币 J i c Gfe-Z F_t;Cy6 s lt i 曲i nzG-(产，)6 4对上式进行分离变量得到钢管倾斜角，关于上端点作用力的递推关系式:八 F.,s i xB：.4=a r c t-0.必-G+)4，,海s,(5-2-8)(5-2-9)（三）钢桶的受力如图523所示，钢桶静止时共受到6个外力作用，其倾斜角度（与竖直方向夹角）为久,其上端与钢管Q较接，钢管对钢桶作用力大小为6,倾角为孔；下端与锚链链 环耳较接并悬挂一重物球，链环对钢管作用力大小为用-倾角为尾。6X图5.2.3钢桶受力不意图首先，同样由阿基米德定律得到钢桶浮力7；与重物球浮力7；表达式如下:T=pg.k.6 4（5-2-10）Tq=pg-mqpq式中，痣,4分别为钢桶的底面直径和轴向高度；外,与分别为重物球的质量和密度。接着由牛顿第一定律得到钢桶平衡不发生移动时满足如下关系：木炉y 8,铲!=6 0（5.2.11）+尸5E。於 5F 8cs-G6-G96=同样的对方程组进行求解分离变量得到6与心6，又与。6的关系式如下a r c t瑞博i痘5FS,6=月，9。*-Pq招，i-5(5-2-12)月常ia5s i n（a r c t a n月，9。/卞丁乙一G 一色止匕外，物体平衡不发生转动还需满足合力矩为零的条件，本文统一选取构件下端中 心点取矩，这里对钢桶下端点取矩满足如下关系：（一 G6）-S询16+%,/6c用s 5的卜6尸式6落in&c 乙对上式分离变量得到钢桶倾斜角网的关于居,6，其表达式为八 月q i炉5ft=ar c t a-a-0.线-Ge J月，6抄(5-2-13)(5-2-14)（四）锚链的受力锚链各节链环的受力情况与各节钢管受力情况相似，因此上文中的钢管递推关系式 同样适用于锚链链环。但对于链环浮力的计算，题中只给出了各节链环的质量，体积是 7未知的，本文参考题目背景中“采用无档普通链环”查阅资料川得一般链环密度夕小 这 样链环(7/0+,则s ina-0,c o sa-1。故有:4t,co4_zf 0.5(T(5-3-2)进而得到链环片完全沉底时，上一个链环对其作用力满足如下关系：耳“c o乱后 0.6 T(533)此时，若将以上构件看做一个整体，对该整体的浮力和重力作差，则满足口厂 Gj=R,qo$_(5-3-4)j=i联立上式得到竖直方向受力约束条件为：/-IXTj-GjK.5G-7(5-3-5)j=i综上所述，对模型作出如下修正：增加海水中构建竖直方向受力约束：J；7；.-G.0.5(G,.-7；)ojT 更改锚链递推关系式适用范围：7j,，表示第一个脱离海床链环的编号。j 216 更改浮标游动半径表达式：厂=人由自+/,.。z=l i=j+l至此，针对链环沉底情况对模型修正完毕。5.4模型求解对于系泊系统状态模型的求解，难以直接通过大量状态方程得到定解，所以联立非 线性方程组求定解方法不适用。因此本文采用一种基于最小二乘思想的循环搜索算法对 模型进行求解。5.4.1 基于最小二乘思想的循环搜索算法描述系泊系统状态模型中的未知变量包括吃水深度肌钢桶，各节钢管以及锚链刚 体的倾斜角度，由模型的可确定各个倾斜角度q与钢桶吃水深度介的递推关系，故倾 斜角度可由钢桶的倾斜角度确定，故风速丫确定的情况下，系泊系统的状态可由吃水深 度/一个变量确定。因此将吃水深度正为连续变量，故将其离散化进行定步长搜索可对 模型进行求解，具体算法步骤如图5.4.1所示：10图5.4.1搜索算法流程图图5.4.1中，模型I为未修正模型。模型n为针对锚链提前触底修正后的模型。5.4.2 算法精度检验对于定步长的循环搜索算法，误差的主要来源为变量的步长，因此可以通过减小步 长，根据最优解变化幅度来判断步长是否合理。取变量/z步长没原步长的重，则算法精度应提高50倍，定义相对优化量q为目标 函数优化量与理论优化量的比值：S(/z)|q 50通过mat lab编程计算可得q=0.38xl0-3,由于长度范围在0.1数量级，因此q可以忽略不计，故目前搜索算法中设置的步长可认为是合理的。5.4.3 结果分析本文假设锚链和重物球材料为普通铸铁，其密度为7.8x103依/根3,由此参数求解。当海面风速为12根/s时，本文通过mat lab编程对模型进行求解，结果表明此时锚 链出现提前触底的情况，此时各构件倾角与浮标吃水深度如表5.4.2所示：11表5.4.2求解结果钢桶倾角1.2089钢管3倾角1.1799钢管1倾角1.1641钢管4倾角1.1880钢管2倾角1.1720浮标吃水深度0.6818m由于锚链提前沉底，本文假设沉底锚链完全拉直，得到浮标游动半径为14.7232澳，进而得到游动区域面积为681/，在冲 平面表达式为f+y2681,单位为m。此时锚 链从152个链环开始触底，沉底链环个数为59个，锚链形状及各构件在wz坐标平面中 形状如图5.4.3所示：8 10 12 14 16 18南锚的距常(m)20伯1614121086)要随也嘏8 10 12 14 16 18高锚的距离(m)图5.4.3锚链形状示意图 图5.4.5锚链形状示意图当海面风速为24m/s时，求解结果表明此时锚链完全脱离海床没有提前触底。求解 得到系统各参数如表5.4.4所示：表5.4.4求解结果钢桶倾角4.5837钢管3倾角4.4871钢管I倾角4.4294钢管4倾角4.45160钢管2倾角4.458浮标吃水深度0.6959m浮标游动半径17.8224机得到其游动区域面积为997.89/,在my平面表达式为x2+y2 L s in.i=l（三）约束条件分析问题二同样满足问题一的假设，因此优化模型需要满足问题一模型的约束条件。此 外根据题目要求，还需要满足锚链在锚点与海床夹角不超过16度：一处616。（6-2-1）式中6为与锚点相连接的链环与竖直方向的夹角。止匕外，对于优化目标钢桶的倾 角4还需满足约束:。=a r c t a-a-0 里G6 3月，6 6 s5(6-2-2)综合以上分析，并结合问题一模型中系统中各构件作用力与倾角的递推关系得到系 泊系统的优化模型为：13N min h=H c o s g 1=1min06=arc t an月，牌皿 50.5(1G)+F5：s/Nmin r=Z 4 sin 0i i=i口 _ J25&-TO?d y 4+4g)-4G)%i=-I=arc t an85(i)4/又-arc t an8G1+2gp 兀 d；h_&s in-F5,6 COS夕5+4+4 G6Gq骂,6 s in-sin(arc t an&s in&06=arc t anF5,6 COS/5+T6+TqG6Gq 月,6 sin 仅5pt=arc t an0.5(7；-G6)+6-cos5 片“sin以tFM,i=E+F cos耳+.s in力sin(arc t an与 T/sin 以)(+4-l-c o s 舟_ G 4 i,sin g i)0j=arc t an0.5(7；-Gz)4-,.c o s/?,_1 iw2,537,216,iwzN打+Z 4 c o s 0i=Hi=lNr=Z 4 sin 0ii=l(6-2-3)6.3模型求解 6.3.1多目标转化单目标求解对于三个目标的权重值的确定，基于赋权的可靠性考虑，本文在此选择了主观性相 对较小，能够充分利用数据特征的燧权法。焙权法可以根据各个目标的变异度，利用信 息燧计算出各个目标的客观权重值。信息燧越小，变异程度最大，重要程度越大。期计 算结果为 A=11.46,3=1.5,。=0.0514接着我们对以上三个目标分别赋以权重A,5C,将多目标优化转化为单目标优化问题，用。表示总的优化目标：min U=A-06+B-h+C-r6.3.2风速为36m/s时系统参数求解通过mat lab编程代入风速对问题一模型进行求解，结果表明此时锚链全部浮于水 中，此时各构件倾角与浮标吃水深度如表6.3.1所示：表6.3.1求解结果钢桶倾角9.4767钢管3倾角9.2935钢管I倾角9.1822钢管4倾角9.3502钢管2倾角9.2375浮标吃水深度0.7187m得到浮标游动半径为18.8906相，进而得到游动区域面积为1121.092/,其在平 面表达式为2+丁 1121.092。此时锚链在锚点与海床的夹角大小为21.397。16。，表 明锚点被拖动。锚链在xoz坐标平面中形状如图6.3.2所示：220181614121086)超帔怅蜓限0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22离锚的距离(m)图6.3.2锚链形状示意图6.3.3系泊系统优化模型的求解(-)循环搜索算法求解St ep 1:根据系泊系统的设计要求求解重物球的质量范围?脸3max，令重物的初 始重量值为质量范围下限3min；St ep 2:将重物球最小质量外带入模型一，按照模型一的求解算法求解出并记录此 时的吃水深度,，钢桶倾斜角度4,锚链在锚点与海床夹角90。-/6,浮标游动半径，并求解出此时的目标函数值，并令=St ep 3:判断此时的系统状态是否满足90。-。216 Kl6。，5。的约束条件，若满足 进入St ep 4,不满足进入St ep 5；St ep 4:若Kmin”，则令=并记录入，6,r,否则min保持不变。15St ep 5:令mq=mq+0.5St ep 6:若3 K/max，返回St ep 2,否则结束程序，输出/z,%r（二）结果分析根据以上算法,本文通过mat lab编程求解,得到满足题目要求时重物球的质量范围,并在此范围求得重物球最佳质量，使得系统达到最优状态，结果如表633所示表6.3.3具体结果重物球质量范围重物球最佳质量浮标吃水深度浮标游动半径钢桶倾角2200 4100 kg2894依1.16m18.2831m2.9954（三）灵敏度分析为进一步研究重物球质量变化对每个优化目标的相关性及相关程度，我们对模型进 行灵敏度分析，结果下图所示：图635重物质量对钢桶倾角影响重物球质量（kg）图6.3.4重物质量对浮标游动及吃水影响如图634所示随着重物球质量增加，浮标游动半径减小，吃水深度增加，但变化 范围很小，表明重物球质量对二者关系影响较小；由图635可知，钢桶倾角随重物球 质量增加而减小，且相对幅度较大，即重物质量变化对钢桶倾角具有较大影响。七、问题三模型的建立与求解7.1 模型准备与问题一不同，问题三中增加了海水流动这一因素，当海水流动方向与风速方向不 在同一平面时，需要在三维空间中对系统各个构件进行研究。但如果直接在空间坐标系 中对构件进行受力分析，过程繁琐且不方便表述，因此我们将各个构件及其受力投影到 三个平面内，如图7.1.1所示，进而在每个平面内对构件进行受力分析。16y图7.1.1构件投影示意图此外，为方便表述，本在问题一中符号系统增加上标区b,c来分别构件或力在wy,xoz,yoz平面内的投影。7.2 模型建立7.2.1系泊系统的水流力分析(-)水流力函数分析根据参考文献可知，在海域浅水区不同水深的水流速度服从抛物线分布，即：v=k%(7-2-1)式中Z表示离海床的竖直高度。因此，只要给定海面最大水速ax和海水最大深度H,就可解得系数,进而得到随深度变化的水流函数：V 0旷=券次2(7-2-2)接着，由题中已知海水速度与水流力关系式得到系泊系统水流力函数为：尸=37.Jay(7-2-3)H4(二)构件水流力计算丝Z ds、,dz图723投影面微元示意图由于水流沿i轴方向，故构件在yo z平面投影即为在水流法方向面投影。如图723 所示，在构件投影中取面积微元为，当浮标底面半径为。时，根据式(7-2-3)得到对应水 流力为：17“4对上式积分即可得到浮标受到水流力大小：/=p374Dvm(7-2-4)7.2.2系统构件受力分析为方便分析，本文以锚点为原点，海水流动方向作为y轴正方向在系泊系统中建立 空间直角坐标系。由于只要确定构件在两个平面内的投影状态就可构件的空间状态，因 此本文下面只在两个投影面对构建进行受力分析。(一)浮标的受力分析图7.2.1浮标在yo z面投影图7.2.2浮标在xo y面投影浮标在wz面投影受力如图721所示，/表示海水流动力，由牛顿第一定律并结合 式子(5-2-3)可得：璋-璋海斗用邛一埒,c,o*1G宇对方程组求解并分离变量得：(7-2-5)式中上标c表示在yo z平面内。价=arc t an1 G：产第2,1 sin 供(7-2-6)浮标在面上投影面受力如图722所示，4为风速与海水流动方向夹角的余角,同样由牛顿第一定律得到平衡方程，求解分离变量得到：叶二 arc t an 琦。f+F;sina.Fa 二琮 COS%2一 sin。：(7-2-7)同样，式中上标。表不在o y平面。18（二）钢管的受力分析图7.2.3钢管在yo z面投影钢管在yo z平面投影如图7.2.3所示，尸为等效海水流动力，根据牛顿第一定律得 到物体受力平衡方程组，对方程组求解分离变量得：cb F：*sin十/便=arc t an-/八E/-s in度十明ML sin(7-2-9)接着对钢管8点取矩，平衡不发生转动时其合力矩必为零：建：_ G：）sin/+2 珞c o s 阳 sin g-2瑙/sin.c o s 0.-c o s-=0（7-2-10）对式（7-2-6）进行分离变量得到钢管与z轴夹角：-an耳U十用 o.W-g；+*_M 四。钢管在WV平面内投影如图7.2.4所示，由与水流方向为工轴正方向,水流力在wy平面与yo z平面投影大小相等：f-=f-(7-2-11)故由投影定理(7-2-12)同样由钢管静止不发生转动时满足合力为零且合力矩为零得到平衡方程，对方程求 解并分离变量得：P-,耳s i/ar c t a-耳：我、s i祝Fsi睥 I0 斤c解(7-2-13)2i5,i g z19（三）钢桶的受力分析图7.2.6钢桶在o y面投影钢桶及重物球在yo z平面投影如图7.2.5所示，由钢桶静止不发生转动故在%z方向 合力为零且合力矩为零（对钢桶下端点取矩），得到平衡方程组：片。版”立辛g%-%晒二6。7涵=6 0（7-2-14）2理,心0里的地T9 6 成s i优一兄06s昨对方程组（7-2-10）求解并分离变量得：限c t叫骂产1fK只服了才小（725）7 Si 网俄arc t an 也6-0.57f-Gft6+）FV6s5在九与平面内，钢桶投影如图726所示，对于海水流动力由式（7-2-8）可得：n=fl（7-2-16）同样由钢管静止不发生转动时满足合力为零且合力矩为零得到平衡方程，对方程求 解并分离变量得：然琮，算于a 5s i耽琮,屋货5(7-2-17)0.小储一解520(四)锚链的受力分析锚链受力情况与钢管类似，即各节锚链链环同样满足式(7-2-9),(7-2-11),(7-2-13),这里不再重复分析。止匕外，由于链环形状未知，导致在计算链环水流力时无法直接得到 投影面积，因此本文根据其质量与密度将其转化为同体积圆柱体处理，满足：*2/7.2.3系泊系统设计优化模型(-)决策变量的确定综合考虑环境因素以及系统内部构件参数对系泊系统的影响并结合题目背景，本文 选取如下3个决策变量以及4个环境变量对系泊系统进行研究。环境变量,决策变量海水深度”海水速度u 海面风速0风速与水流方向夹角4,重物球质量?锚链链环数量 锚链链环长度L(二)目标函数及约束分析与问题二相同,立多目标优化模型。选取浮标吃水深度，浮标游动半径以及钢桶倾斜角作为优化目标建 同样本问模型需要满足问题二中约束条件，这里不再赘述。综合以上分析,并结合式(6-2-1),(6-2-2),(6-2-3)得到系泊系统设计优化模型为:21Nmin h=H yyjli c o s a1.c o s(=1min&=arc c o s(c o s 仇 c o s(3b)Nmin r=Z4c o s a：i=l琦-可即MffqOT-Fpc-Gc=fia=arc t an 华g l-GikC：/?+第24 sin 供,FA i sin 度i+f.bP-=arc t an,一/-瑁,c o s 度i+邛-G：瑞j sin度什严瑞=8：=arc t ansin 0：与s in 尸L+0.5#0.5(邛-G：)+昭,c o s 第=arc t an耳i sin夕3 fa雨pa-Sin 用24 s in.联 47 sin用-0+码，侬处 zg2,5u7,N,iezh F；6 sin 做+f：尸6=arc t an-：-7-7-T-r用6COS&+窗+4G：G：76 sin 优“arc t an 月6 sin 鹰+0.5 疗6 0.5(4-G：)+或 c o s&M sin/库=arc t an-6 矛+碍c o s/可居6 sin/2一 sin4俨一里66 0.5川+琛 COS/(7-2-18)227.3模型求解由于决策变量增加直接导致问题三模型解空间过大，因此为了保证求解的时效性与 准确性本文采用变步长搜索算法对模型进行求解。7.3.1 变步长搜索算法1）连续变量的离散化模型的决策变量有重物球的配重多，链环的个数，链环长度乙=忆,J耳以4，需要对其进行全局搜索寻找目标函数的最小值，由于重物球的配重?为连续变量，因 此先将其离散化，进行定步长搜索。2）变步长搜索算法由于解空间较大，使用变步长搜索算法对模型进行求解，即先使用较大步长进行全 局搜索，得到近似最优解，在找到的近似最优解附近使用较小步长进行局部搜索寻找目 标函数的最优解。7.3.2 结果分析基于以上模型和算法，本文首先将风速和水速定为最大值，且二者方向相同，再次 条件下分别计算海水深度为16m、20加时系泊系统最优状态，得到对应参数如表7.3.1 所示：表731求解结果海水深度重物配重”链环个数链环长度钢桶倾角浮标吃水深 度浮标游动半 径16m3000kg140180mm（型号 V）4.5931.59m18.61m20m2950kg180180mm（型号 V）4.9591.37m11.41m为了进一步研究系统在不同情况下的参数变化,在海床深度为16m时本文对各环境变量作适当的改变，求解得到此时系泊系统参数的变化情况，具体结果如表732所示:表732不同情况下系泊系统参数变化水流速度m/s风速m/s钢桶倾角浮标吃水深度浮标游动半径1.5244.2591.3m18.795m1363.6151.295m18.0m1.5123.571.295m17.977m0.5362.5431.288m16.053m锚链在各个情况下形状变化情况如下图所示:图 7.3.3 风速 24m/s,水速 1.5m/s图7.3.4风速36m/s,水速lm/s23图 7.3.5 风速 12m/s,水速 1.5m/s图736风速36m/s,水速0.5m/s八、模型评价及推广8.1模型的评价本文的亮点之一是建立的非线性规划模型，将系泊系统的实际问题通过目标函数的 设计转化为优化问题，本文的另一个亮点在于对多元非线性方程组的求解设计的基于最 小二乘法的搜索算法以及在保证求解精度条件下，当模型解空间较大时设计的变步长搜 索算法，且在能够接受的时间内提高了搜索精度。但是由于在实际情况下，系泊系统的结构存在变形，将其作为刚体进行计算会带来 计算误差。8.2模型的改进在实际海洋中，由于海浪的作用力，会导致浮标的上下震动，这样会使得浮标的稳 态描述需要由一个竖直确定的振动方程确定，由于时间的限制以及模型的复杂程度，本 文对该情况尚未考虑。8.4模型的推广本文建立的系泊设计模型具有一定的推广价值，在已知实际海洋的环境的条件下，可以通过本文建立的模型，为系泊系统的参数设计提供理论依据。可以在航运，近浅海 勘探等方面得到应用。九、参考文献1郝春玲，流速分布及锚链自身刚度对弹性单锚链系统变形和受力的影响，国家 海洋局第二海洋研究所，2006-09-15 郝春玲、滕斌,不均匀可拉伸单锚链系统的静力分析,大连理工大学,2003-08-303国家标准-GBT549-1996附录附录1：问题一的解答程序mq=1200;%O0IiQdOEAn=210;%AaAz.Ola.bEymin=inf;minh=0;24minH=O;minbeta=O;minthital=zeros(1,4);minthita2=zeros(1,n)+pi/2;minFt2=zeros(1,n+1);for h=0:0.0001:2Ft=zeros(1,5);%,01U2 OpA,4-A-A|alpha=zeros(1,5)-0 s 4-A-A|pA-Idthital=zeros(1,4);%，+,。节口色/6 beta=0;%,01pA,匕TdFt2=zeros(l,n+l);%AaAz 2：-OpAA-A；gama=zeros(1,n+1);%AaAx 2 i.,O s 4-A-A|pA thita2=zeros(l,n)+pi/2;%,4-AaA pA-Id%,ie2：-Ov=24;%-qEUS=2*(2-h);01=1000;%,;eOEAi rou=1025;%EAUTE g=9.8;%O0A|OEUSlE V=pi*lA2*h;%3OEIayFfeng=0.625*S*vA2;%-qA|Ffu=rou*g*V;%5,A；Gfu=m*g;%s j eO0A；if Ffu-Gfu0 continue;endalpha(1)=atan(Ffeng/(Ffu-Gfu);Ft(1)=sqrt(Ffeng入2+(Ffu-Gfu)A2);%iO1U2i-OVg=l*pi*0.025A2;%s01UIayGgang=10*g;%,O1UO0A|Fgfu=rou*g*Vg;for i=l:4alpha(i+1)=atan(Ft(i)*sin(alpha(i)/(Ft(i)*cos(alpha(i)+Fgfu-Ggang);Ft(i+1)=Ft(i)*sin(alpha(i)/sin(alpha(i+1);thital(i)=atan(Ft(i)*sin(alpha(i)*1/(Fgfu-Ggang)*l/2+Ft(i)*cos(alpha(i)；end25Vt=l*pi*0.15A2;%sOfiayVq=mq/7800;%O0IiQdiayGt=100*g;%s0f2i-OO0A；Gq=mq*g;%O0Ii(；dO0A；Ftfu=rou*g*Vt;%,01,jA|Fqfu=rou*g*Vq;%O0A；Qd 5 jA；gama(1)=atan(Ft(5)*sin(alpha(5)/(Ftfu+Ft(5)*cos(alpha(5)-Gt-Gq+Fqfu);Ft2(1)=Ft(5)*sin(alpha(5)/sin(gama(1);beta=atan(Ft(5)*sin(alpha(5)*1/(Ftfu-Gt)*l/2+Ft(5)*cos(alpha(5)*1);%AaAz 2i-0mm=0.735;%AaAOEAiroum=6450;%AaAAUTEVm=mm/roum;%AaAzIayFmfu=rou*g*Vm;%AaA,A|Gm=mm*g;%AaAzO0A；Lm=0.105;%AaA 3nSIE for i=l:ngama(i+1)=atan(Ft2(i)*sin(gama(i)/(Ft2(i)*cos(gama(i)+Fmfu-Gm);if gama(i+1)0gama(i+1)=gama(i+1)+pi;endFt2(i+1)=Ft2(i)*sin(gama(i)/sin(gama(i+1);thita2(i)=atan(Ft2(i)*sin(gama(i)*Lm/(Fmfu-Gm)*Lm/2+Ft2(i)*cos(gama(i)*L m)；if thita2(i)0thita2(i)=thita2(i)+pi;end endH=h+sum(cos(thital)+cos(beta)+Lm*sum(cos(thita2);if abs(H-18)min minh=h;min=abs(H-18);minH=H;minthital=thital;minthita2=thita2;minbeta=beta;minFt2=Ft2;endend26附录2问题一沉底修补程序function r,minh,minbeta,minthita2,minH=tuodir(n,mq)%UNTITLED3 Summary of this function goes here%Detailed explanation goes heremin=inf;minh=0;minH=0;minbeta=O;minthital=zeros(1,4);minthita2=zeros(1,n)+pi/2;mini=0;for h=0.6:0.0001:0.72Ft=zeros(1,5)-OpAA-A；alpha=zeros(1,5);%,O102,；-OA-A；pA-Idthital=zeros(1,4)-Xfdbeta=0;%,Of pAFt2=zeros(l,n+l);%AaAz 2 dpAJ4-A-A|gama=zeros(1,n+1);%AaAz 2-0,4-A-A|pA-Id thita2=zeros(l,n)+pi/2;%i-?AaA，pA%,ie2c-0v=12;%-qEUS=2*(2-h);m=1000;%4 j eOEA；rou=1025;%EAUTEg=9.8;%O0A；OEUTEV=pi*lA2*h;%3OEIayFfeng=0.625*S*vA2;%-qA；Ffu=rou*g*V;%s jA；Gfu=m*g;%,j eO0A；if Ffu-Gfu0f2-OO0A；Gq=mq*g;%O0iiQoO0A；Ftfu=rou*g*Vt;%sOf0,jA|Fqfu=rou*g*Vq;%O0A；Qd s jA|gama(1)=atan(Ft(5)*sin(alpha(5)/(Ftfu+Ft(5)*cos(alpha(5)-Gt-Gq+Fqfu);Ft2(1)=Ft(5)*sin(alpha(5)/sin(gama(1);beta=atan(Ft(5)*sin(alpha(5)*1/(Ftfu-Gt)*l/2+Ft(5)*cos(alpha(5)*1);%AaAz 2 i-0mm=0.735;%AaAz0EAiroum=6450;%AaAzAUTEVm=mm/roum;%AaAIayFmfu=rou*g*Vm;%AaAz,A|Gm=mm*g;%AaAzO0A；Lm=0.1