数学建模经典案例5-第十一章 博弈模型.pdf

YQ数学模型产第章博弈模型11.1 进攻与撤退的抉择11.2 让报童订购更多的报纸11.3“一 口价”的战略11.4 不患寡而患不均1L5效益的合理分配1L6加权投票中权力的度量决策问题就学模型再(Decision Problem)单一决策主体三要素决策变量目标函数 Q优化模型约束条件(Optimiza tion)多个决策主体决策主体的决策f 博弈横型 行为发生直接相T肾并供生 互作用(相互影响)(Ga me Theory)博弈模型合作博弈非合作博弈Q静态、动态 日信息完全、不完全军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛11.1进攻与撤退的抉择背 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功.景至！18月初的形势：、盟军（加）一一一盟军（英）明军，羊 7德军u撤退盟军（美一）:强笠箕一盟军 缺口 力.#日二:（预备队）东进餐里M（美二）双方应该如何决策？模型假设 1 博弈参与者为两方（盟军和德军）的 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有2种行动：向西进攻或向东撤退.博弈双方完全理性，目的都是使战斗中己方获得 的净胜场次（胜利场次减去失败场次）尽可能多.双方同时做出决策共同知识（以上信息双方共有）盟外厘竽向西进攻向东撤退强化缺口盟军胜1场无战斗原地待命盟军胜2场无战斗东进盟军败2场盟军胜1场完全信息 静态博弈博弈模型博弈参与者集合N=1,2（1为盟军，2为德军）盟军行动 1 4=1,2,3（强化缺口/原地待命/东进）；德军行动 242=1，2（进攻/撤退）。（行动：即纯战略）用1（为，做）表示对盟军产生的结果，即净胜场次,称为盟军的效用函数.完全竞争:零和博弈（常数和博弈）盟军、蟹向西进攻向东撤退强化缺口盟军胜1场无战斗原地待命盟军胜2场无战斗东进盟军败2场盟军胜1场1 0、=机。3 u2(ai,a2)5 a2 e 1,2.1 O加=%3x 2=2 0J 1 J不存在(纯)NE1,-1 U、M=2-2 2,12,2 I f非常数和 博弈(双矩 阵表示)(纯)NE:/=(%*,%*)=(2 2)混合战略（策略：Stra teg y）盟军的混合战略集3Si=S=Si，2，3）I（数学模型声小i=l德军的混合战略集22=q=(q.%)I。V 7 V1,Z%=1 Z=13 2期望收益 u x(p,q)=pMqT=22i=l J=1Uz(p,q)=Ui(p,q)盟军 max pMq pM德军 min pMqT qc s2完全信息静态博弈有限博弈矩阵博弈（2人）零和博弈 常数和博弈模型求解 max pMqT min pMqT pS qeS?理性推理：不管自己怎么做，另一方总是希望尽量使自己得分尽量低.(二人零和博弈，完全竞争)H从一个给定的战略中期望得到的赢得，总是 q采用该策略时他们可能得到的最坏的赢得！口 盟军可以用min pM来衡量策略夕的好坏4 德军可以用ma x 来衡量策略夕的好坏盟军 max 5(p)=min pM 线性02*=3/5,03*=2/5德军 min t/2()=max MqT 规初 夕*=1/5,q；=N5(p1*)：混合(策略)纳什均衡(Mix ed NE)最优值均为2/5模型评述0 0、一加=1 0 占优（domina te）：盟军的行动2占优于1-1 1（前面的非常数和博弈AT类似）混合策略似乎不太可行!但概率可作为参考.-一现实：盟军让预备队原地待命（行动2）,而德军 没有选择撤退（行动2）,结果德军大败.博弈规则至关重要的，如参与人决策的时间顺序、决策时拥有哪些信息等.多人（或非常数和）博弈问题，一般不能用上面的线性 规划方法求解，而通过纳什均衡的定义求解.小结：博弈模型的基本要素参与人行动空间（及战略空间）效用函数理性假设参与者完全理性（最大化效用）纳什均衡 单向改变战略不能提高自己效用其他因素行动顺序（静态、动态）信息结构（完全、不完全）报童模型回顾11.2让报童订购更多的报纸订购价W,零售价p,处理价P(pwp0)需求量：密度函数加)、分布函数F(x),F(O尸0订购。份报纸，期望销售量为S(2)=fxfxdx+Qf(x)dx=xF(x)|?-f F(x)dx+2(1-尸(Q)=2-f F(x)dx 期望存货量/(Q)=Q-S(Q)=(%)d%期望利润最优订购量0/(2)=匕_ p-vG(Q)=pS(Q)+(。)一 wQ=(p-v)S(Q)-(w-v)Q入数学模型再问 题11.2让报童订购更多的报纸假设报社报纸成本价为C,论CRMax(w-c)2r(w)=(w-c)F-1 wc完全信息动态博弈：常称Sta ckelberg Ga me(两阶段)子博弈完美均衡：(w*,QrM)假设报社与报童联合，整体利润最大尸(Q*)=匕上 p-v一般w*c ff F(Qr)=p-v“整体利润有损失 能否改善(协调)？价格折扣协议模型折扣方案叫X。)下，报童效用(期望利润)Ur(%(Q)=(p f)S(Q)(%(Q)t)。假设报社与报童联合，整体期望利润UJQ）=（P-v）S（。）-（C V）。达到协调q(叼(。)=加.(。)OA 1%(。)=%(c-v)+(l-2)(p-v)S(e)/Q 关于。的减函数(非线性)X 3 报童利润T，报社利润!利润的任意分配比例都可达到（数学模型回收协议模型模型一回收价格协议-wD-vv F(Qj=P p-vw=wb(b)=b+原订货量 回收价。卬秘)整体最优m)=-达到协调p c p-vv1 p-v p-b rU&)+Us =(p-v)S(Q*)-(c-v)Q*Ur(b)=lUr(b)+Us(b)b t,报童利润 I,报社利润f p-v5(b)=+q(时 利润的任意分配比例都可达到 p-V 尸(Q*)=P-p-v口(p-。)p-v券学模型产回收协议模型模型二回收数量协议按批发价回收，比例为a报社回收 报童回收 报童利润A(2)=f aQf(x)dx+(Q-x)f(x)dx=尸(x)d xAl-a)Q/2(Q)=/(Q)1(Q)=f F(x)dxur(w,a,Q)=pS(Q)+必(Q)+vI2(Q)-wQ二(p w)Q-(%义 Q)产(Q*)=c p-vQr达到协调1。)。F(x)dx(2 _ W)l F(2r)-(w-v)(l-ps一匕*PrpMo)2Psma x%一Pb-Pb+Eps(vs)pbps(vs)Prpbps(vs)22具体战略（函数）形式不同，均衡就可能不同.单一价格战略Ps(%)=X.Vsx0,vbps(vs)2*PrPb 2 Ps(匕)当外&，见+。Q fmax”一Pb-2Pb+(as+pb)as)/cs42 1Pb=11+买方：（同理）,、2 1Ps（Vs）=Vs+12 1 z、Ps=5匕+大(即+与)1 1ah=,q,=9b 1 2 s 420=G=4双方战略互为最优反应,pQQ=j+A 构成贝叶斯纳什均衡!J J-乙券学模型产线性价格战略Pb，Ps11/43/4当马不成立时也适用（不唯一）01/43/4YQ数学模型产效率（线性价格战略）评述包含了交易价值（交易给双方 带来的效用之和，即以-匕）大于1/4的所有有效交易.效率为1/4*3/4=9/1 6可以证明，线性均衡 效率最大.不存在使所有有利的交易 都成交的均衡战略组合.信息的不完全（非对称信 息）降低了交易效率.YQ数学模型产11.4不患寡而患不均问题最后通牒博弈（Ultima tum Ga me）甲乙两人就分配1笔钱（如100元）进行博弈.甲首先提出分配方案（分给乙的钱:s）.如果乙接受，则按此分配；否则双方什么也得不到.完全信息动态博弈：均衡结果是（尸0,乙接受）;如果要求严格均衡，则尸1分钱.现实中的情况果真如此吗?多数s=总额的4050%s越小，越容易被乙拒绝自私：理性/非理性?公平：利他/互惠？模型假设与建立 轴财富总额为1.曾接受提议：甲乙所得%1=1均=5；否则：X1=X2=01.每个参与者都喜欢对所有参与者公平的结果；2.每个参与者自己受到不公平对待时的“愤怒”，胜过其他参与者受到不公平对待时的“愧疚”.效用函数(X9x2)=xi-%maxxy.-xt,0 -maxxi-,i=l,2,j=3-i A 0A xy=l-8时，Ufic)=项-也(xz-Xj)=pz-(2pz-l)xz 关于勺的系数非正(过分“愧疚”)模型求解 Ui(X,x2)=xz.-a.maxxy.-x.,0 -/3t max苍-xy.,0 乙的最优反应(给定s)如果不接受，则1=2=0；t/1(s)=Z72(s)=0.如果接受，贝iki=l-s,x2=s.员/2若仑1/2,则均之吃 心=s分(2s 1)1/20若W1/2,则“2故1 0 2(s)=s-a2(l-2s)=(1+2%)s-a?t72(s)0 s N s(a2)=a2/(I+2a2)(s=1/2,两者一致)易知 0 4(%)1/2乙的最优反应 当sN s(%)接受；否则，不接受模型求解 甲的决策（只需考虑乙接受情形）Ca se 1:甲知道乙的a 2若后1/2,则巧之X1(s)=1-s-0(2s-1)“5=1/2时达到最大值1/2若 sWl/2,则但sN s(a2)UG)=1S4(12s)=l片+(2片1)5口力 1/2甲的决策 S*=乳)=%/(1+2%)均衡:（s*,接受）s*严格小于50%;是乙的“愤怒”系数的的增函数模型求解：甲的决策Ca se 2：甲不知道乙的%,0=maxap(a)=O但知道知道分布产(%)区=min。归(0)=1 若仑 1/2,则看之 1 Ui(s)=l-s-di(2s-l)”同前若W1/2,则必3.乙接受概率 o,S s(a)p=F(s/(I-2s),s(a)s s(a)曰 m 0，s s(a)期里效用 EUi(s)=1 4+(2A l)s甲(s/(l 2s),s(a)s s(a)甲的决策 一 Max.1-A+(2-l)sF(s/(I-2)-s(2)W(a)（数学模型声模型解释 甲永远不会提出大于1/2的方案s 乙拒绝过小的方案s 乙接受概率随s增加不减很好地解释了实际中的最后通牒博弈参考文献A Th e ory of Fairne ss,Compe tition,and Coope rationA uth or(s)：Ernst Fe h r and Klaus M.Sch mid tSource：The Quarterly Journal of Economics,Vol,1 1 4,No.3(A ug.,1 999),pp.81 7-868Publish e d by：Th e MI T Pre ssStable URL：h ttp:/wwwjstor.oig/stable/258688511.5效益的合理分配|例 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元,甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元.又知每人单干获利1元.问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为x=(x1,x2,x3)X+X.+X.=11 JL 4 Dxr+x2 7xr+x3 5x2+x3 4xi,x2,x3 1解不唯一(5,3,3)(4,4,3)(5,4,2)(1)Sha pley合作对策集合I=1,2,，V子集sw/,三实函数y(s)满足v(0)=0V(X U 2)v(1)+V(2)，力 Pl 力=OA M人合作对策，特征函数 秘(s)子集s的获利%=(兀，4，X)人从叩)得到的分配，满足3,=v(/)i=lx.v(i)5 i=1 2/Sha pley合作对策公理化方法 0 Sha pley值f%.二 w(s)v(5)-v(s i)y i=12sS i(邛|)!(卜1)!w(间)=-f-nIs I子集S中的元素数目，Sj包含i的所有子集v(s)y(s，)i对合作s 的“贡献”(i e s)w(|s|)由IsI决定的“贡献”的权重数学模型2三人Q=1,2,3）经商中甲的分配X1的计算seSi1 1 U 2 1 U 3/y(s)1 7 511v(s 1)0 1 14v(s)-v(s 1)1 6 4751 2 23w(.yD1/3 1/6 1/61/3w(s)v(s)-V(5l)1/3 1 2/37/3*1=13/3 类似可得*2=23/6,七=17/6入数学模型再合作对策的应用污水处理费用的合理分担三城镇地理位置示意图20km-38km污水处理，排入河流.三城镇可单独建处理厂,或联合建厂（用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇）.。污水量，L管道长度 建厂费用尸1=73。翼2 管道费用尸2=06605电污水处理的5种方案1)单独建厂。=73 小=230,0(2)=160,0(3)=230总投资 R=C+。(2)+53)=6202)1,2合作 C(l,2)=73-(5+3)0712+0.66-5051-20=350 总投资 a=C(l，2)+53)=5803)2,3合作 C(2,3)=73-(3+5)0712+0.66-3051-38=365 总投资 2=3)+。(2,3)=5954)1,3 合作 C(l,3)=73-(5+5)0712+0.66-551 58=463 C(l)+C(3)=460 合作不会实现5)三城合 D5=C(l,2,3)=73-(5+3+5)0 71 2+0.66-50 51 20作总投资+0.66(5+3严.38=556区最小,应联合建厂 区如何分担？。二230/建厂费：心=73x(5+3+5)7i2=453。=16D5 1-2 管道费：&=66 x 50-51 x 20=30 C(3)=230 2-3 管道费：4=0.66 x(5+3)5i x 38=73城3建议：4按5:3:5分担,虑由城12担负城2建议：4由城12按5:3分担,4由城1担负城 1 计算：城3分担ix 5/13=174C(3),不同音！城2分担 ix 3/13+4 x3/8=132C(l)（数学模型声Sha pley合作对策 集合I=1,2,3 特征函数p(s)联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资v(。)=0,v(l)=v(2)=v(3)=0v(l U 2)=C(l)+C(2)-C(l,2)=230+1 60-350=40v(2 U3)=C(2)+C(3)-C(2,3)=1 60+230-365=25v(lU3)=0v(7)=C(l)+C(2)+C(3)-C(l,2,3)=230+1 60+230-556=64X=(M，%,%)三城从节约投资y中得到的分配计算城1从节约投资中得到的分配修S11 U 21 U 3I似S)040064V(5 1)00025V(5)-V(5 1)040039S1223哪)1/31/61/61/3w(s)v(s)v(sl)06.7013xx=1 9.7,%?=32.1,x3=12.2 勺最大，如何解释？叶三城在总投资556中的分担城 1 C(l)-xx=210.4,城2 C(2)-x2=127.8,城3 C(3)-x3=217.8Sha pley合作对策小结优点：公正、合理，有公理化基础。缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义/=1,2,的所有子集（共2-1个）的特征函数，实际上常做不到.如个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资必 和方共同治理的投资匕及第，方不参加时其余-1方的 投资方（户1,2,/）.确定共同治理时各方分担的费用.若定义特征函数为合作的获利（节约的投资），则有v=0。=1,2,匕（/）=E 匕4 2 加其他K）均不知道,无法用Sha pley合作对策求解求解合作对策的其他方法设只知道2=vQi)无i参加时-1方合作的获利及5=v(/)全体合作的获利记/?=(3也)求各方对获利5的分配x=(匹/2,，x j看2 0例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元,甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人 合作获利11元.问三人合作时如何分配获利？即已知 B=11,b=(4,5,7),求x=(/,%2，%3)(1)协商解 以-1方合作的获利为下限 模型%=BYx.-x b乙 =Ab A=r(4/6,1/6,1/6)归一化Sha pley权力指标 人加权投票系统 写出投票人的共加个全排列；对每一个排列由左向右依次检查，若某位投票人加入 时该集合变成获胜联盟，称该投票人为决定者(Pivot);将每位投票人在所有排列中的成为决定者的次数除 以加定义为他们的Sha pley权力指标.。=（%,四，。）例2 S（4）=3:2,1,1=（4/6,1/6,1/6）W=AB,AC,ABC）。刀和仅称,%=%Sha pley权力指标例3某股份公司4个股东分别持有40%,30%,20%,10%的股份,公司的决策需经持有半数以上股份的股东的同 意才可通过,求4个股东在公司决策中的Sha pley指标.4个股东4SCQ的加权投票系统S=6:4,3,2,142GD有4!=24个全排列，找出决定者，下划横线：ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADCBCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA决定者次数=(10,6,6,2)=(5/12,3/12,3/12,1/12)Wm=(AB,Q,j5CD)刀和旧称,=。3 简化 6保留万在。之前的12个排列统计48（。,。为决定者的次数.数学模型Ba nzha f权力指标例2 S(4)=3:2,1,1 Sha pley指标=(4/6,1/6,1/6)获胜联盟 W=(AB,AC,ABC)AB:由于/的加入才成为获胜联盟由于5的加入才成为获胜联盟 ABAC:由于/的加入才成为获胜联盟由于。的加入才成为获胜联盟 ACABC:由于4的加入才成为获胜联盟 ABC4下有3条横线，B,C下各有1条横线Ba nzha f指标(3,1,1)(3/5,1/5,1/5)Ba nzha f权力指标 人加权投票系统 写出投票人的获胜联盟集叱 对每一个获胜联盟检查每位投票人是否决定者；将每位投票人在所有获胜联盟中的成为决定者的次数归一化,定义为Ba nzha f权力指标夕=3i&/)例3 4个股东42CQ的加权投票系统S=6:4,3,2,1W=(AB,AC,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD AB AC ABC ABD ACD BCD ABCD7=(5,3,3,1)一 夕=(5/12,3/12,3/12,1/12)归一化9=(5/12,3/12,3/12,1/12)Sha pley指标。Ba nzha f指标成 投票人的全排列-投票人的获胜联盟集 对排列由左向右检查决定者对获胜联盟检查决定者 统计每人在所有排列中的 统计每人在所有获胜 决定者次数。联盟中的决定者次数每个排列中有且只有一个 每个组合中没有或有（几个）决定者 决定者9（=7!）已归一化 需归一化才得到少都满足度量权力的数量指标应该具有的性质.加权投票与权力指标的应用 例4拳击比赛设2个5人裁判组，每人一票.若第1组以5:0 或4:1判选手甲胜,则甲胜;若以3:2判甲胜,则第2组再判；除非第2组以0:5或1:4判甲负，其他情况最终都判甲胜.将以上裁判规则用加权投票系统表示；计算系统的Sha pley指标和Ba nzha f指标.设两组10人同时裁判,组成N=4 A,A,4 A,B,B,B,B,BS=q:a,a,a,a,a,1,1,1,1,1极小获胜联盟%=(4A,3A2B,2A4B)4a q.3+2 2%2+42%:=2,0=8第1组5人权重各2,第2组人权重各1,按简单多数规则执行.例4 计算S=8:2,2,2,2,2,1,1,1,1,1的Sha pley指标 极小获胜联盟%=(4A,3425,24)一个5在所有排列中的决定者次数/10!。Sha pley指标 r只需考察(341B)B(2A3B)C；C：4!5!八 八(2A3B)B(3A1B)C；C；4!5!45 .一个5的 Sha pley指标-(+)=0.0 635A z1 4一个N 的Sha pley 指标。一7?义5)=0.1 3655 639=(0.1365,.0.1365,0.0635,.0.0635)模型“例4 计算S=8:2,2,2,2,2,1,1,1,1,1的Ba nzha fJ旨标考察4刀可能成为决定者的那些获胜联盟类型和个数4为决定者的次数与B为决定者的次数之比840:400获胜联盟类型4A4A1B3A2B3A3B244反2坐B联盟个数5251001005010Z为决定者次数2010030030010020总和8406为决定者次数0020002000总和400/?=(0.1355,.,0.1355,0.0645,.,0.0645)对 0=(0.1365,.,0.1365,0.0635,.,0.0635)比 忻(0.1333,.,0.1333,0.0667,0.0667)例5“团结就是力量”吗？40位议员组成议会，“民主党”（M）ll席，“共和党”（G）14席，独立人士（D）15席,投票采取简单多数规则，21票通过.在独立和党派结盟情况下计算议员的Sha pley指标.1.独立投票系统S阳噩鸵峋噗霸篡狷等施微空遢阚勤ey 指标：9M=11/40=0275,g=14/40=0.350,d=15/40=0.375通过党派结盟能加强权力吗？例5“团结就是力量”吗？理|3个1|2.“民主党”(M)ll位议员结盟系统SQ)=21;11工3 计算9M 0考察M在30人中的位置：M+G(14)+D(15)M加入,成为决定者 必产11/30=0.3671 23 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30在余下的141/30=19/30中G和D的Sha pley指标按照14:15 分配%=(19/30)*(14/29)=0.306,0d=0.327对比 S=21;，1,J：9m=0275,9G=0.350期d=0.375“民主党”结盟使9M增加，9gMd减少X数学模型祥例5，团结就是力量”吗？MG 15个1171615141312U109876543210 3 G加入位置，“共和党”14位议员也结盟,系统S（3）=21;11,14/，J券学模型产例5“团结就是力量”吗?“民主党”不结 盟“共和党”不结盟9M=275 9G=。350“共和党”结盟9M=188 9G=556“民主党”结盟9M=367 9G=。3069M=180 9G=368;不论民主党”是否结盟,共和党”结盟总比单干好.从；海，口应该蹙蠡持至I薯量颦干的局 面,若率先结盟会诱使”共和党”也结盟,结果会败得 很耀立人士角度看，若只有“民主党或“共和党”结盟自己都有损失,但若两个党均结盟,反而可得渔翁 之利.Q数学模型产两种权力指标的公理化 Sha pley指标1954年提出，1975年公理化.Ba nzha f指标1965年提出，1979年公理化.投票人集合片1,2,n,投票系统=夕:叫叫工，叫/的任一子集S对应一个实值、单调函数匕若S为获胜联盟 v(5)=l,否则=0.若i在S中是决定者，y(S)r(S，)=lSha pley指标 S%(v)=Zv(5)-v(5，),，=1,2,，九s 口 n-_i 氐 _1丁_ _-rT_按排列计算(SS中人数)计算，为决定者的次数Ba nzha f指标 WW）二同 工一心,=1,2,/ieS两种权力指标的公理化用公理化公式计算例2 S(4)=3:2,1,1的指标Sh和Bzi=Ai=Bi=Cv(S)v(Si)=lABACABCABAC1/221/41/41/41/41/4Bz3/41/41/4s22322(5-1)!(3-5)!/3!1/61/62/61/61/6Sh4/61/61/6与定义得到的“=(4/6,1/6,1/6),/=(3/5,1/5,1/5)比较.公理化Bz是/2叫未归一化,夕=(3/4,1/4,1/4),称绝对 Ba nzha曜标,通常比夕更能反映投票人权力的真实性.两种权力指标的概率解释 例2 S(4)=3:2,1,1投票人对结果的影响力投票人能左右结果的概率.Ba nzha f指标 事件“4能左右结果”万万投赞成票Ra=Bg+XC+BC g 尸(&)=3/4 7投反对票-C均以1/2的概率独立投赞成或反对票Rb=AC,Rc=AB 日 P(Rb)=P(RQ=1/4 F(P(Ra),P(Rb),P(Rc)=(3/4,1/4,1/4)二夕可解释为在各位投票人独立地、以1/2的概率投赞成 或反对票的条件下,每位投票人能左右结果的概率.两种权力指标的概率解释 例2 S=3:2,1,1Sha pley 旨标 RA=BC+BC+BC RB=AC,Rc=AB p每位投票人独立投赞成票的概率,夕=l-p投反对票概率 P(Ra)=2Pq+p2=2p p2,P(Rb)=尸(Rc)=pq p-p2在0,1均匀分布 4 Bf。能左右结果的概率(尸(&)即=2/3(尸(&)即=。风岫=1/6B)dp,(RDdp)=(4/6,1/6,176)=cp。可解释为在各位投票人独立且0,1均匀概率分布地 投赞成票的条件下，每位投票人能左右结果的概率.(，尸(图)即，/P(K调整加权投票系统 工例 1 人口 60,20,10,5,5(千人)，比例0=(12,4,2,1,1)以为权重简单多数规则下投票系统S=ll:12,4,2,1,1 Q Ba nzha甘旨标夕=(1,0,0,0,0)与0相差很大.d投票人对结果的权力与他所代表的人口比例失调.I调整加权投票系统的目的：寻求一组权重和定额,使 加权投票系统s=q:wv叱，卬的Ba nzha f指标正 与人口比例相近似,且当较大时近似程度很高.在权重不变而增大定额夕的情况下,借助分析极小获胜 联盟的办法,寻找小与相近似的加权投票系统.调整加权投票系统 例1人口比例.=(12,4,2,1,1)系统S=ll:12,4,2,1,1 Ba nzha升旨标夕=(1,0,0,0,0)权重不变、增大定额,寻找夕与夕相近似的投票系统.SW1nn血，归12:12,4,2,1L1(1,0,0,0,0)13:12,4,2,1,1AB,AC,AD,AE14：12,4,2,1,1AB,AC,ADE#2=A15：12,4,2,1,1AB,ACD,ACE仇邛2邛4=A N16:12,4,2,1L1AB,ACDE63=四=%S=15:12,4,2,1,1 0=(11/21,5/21,3/21,1/21,1/21)这个犬是人口比例的一个不错的近似！调整加权投票系统当较大时调整权重和定额,寻找小与近似的投票系统.合适地定义力与之间的“距离”3与看作维空间 的两个点）作为衡量近似程度的指标.按照实际需要确定该指标的一个“阈值”1）给出权重卬和定额夕的初值；2）编程计算夕及夕与夕的距离，距离小于阈值时停止，否 则转3；3）改变协和夕，转2.每调整一次权重和定额,必须使极小获胜联盟 的结构有所变化/才有可能改进.权力度量模型评述 工任何一个构造和规则有明确定义的投票系统都可用极 小获胜联盟来描述,并常可表示成加权投票系统（如例4）.存在即使确定了极小获胜联盟也无法表为加权投票系 统的情况.Hillia rd给出区别加权与非加权投票系统的 数学方法,并提供权重和定额的算法，或者指明不存在 权重和定额的矛盾教材参考文献35.两种权力指标常常给出相同或近似的结果,从理论上区分它们的数学公理既不直观,使用时也不具说服力，所 以在应用中公理化方法并不能解决选择哪个指标的问题.权力度量模型评述Ba nzha f指标道理上更浅显,容易口头解释,更易为实际工作者接受.适于设计投票系统,在代表 尚未选出之前假定所有投票 意愿的等可能性是合理的.Q数学模型产工Sha pley 指标 作为对策论中著名的Sha pley值方法的副产品在数学界更有市场.适于评价投票系统,代表 已经选出,他们的立场为 众人所知.在加权投票系统中定义量化的权力指标，是将数学 应用于社会政治领域的一个有意义的范例.提出与“计量经济学”类似的新学科“计量政治