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柯西中值定理的证明及应用

马玉莲
（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）

摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.
关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1引言
微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下：
柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足
(1) 在上都连续;
(2) 在内都可导;
(3) 和不同时为零;
(4) , 则存在，使得
. （1）
本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.

2.柯西中值定理的证明
2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理
罗尔定理 设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且则至少存在一点, , 使得
.
证明 构造辅助函数
，
易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得
, （2）
因为（若为0则同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.
2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理
讨论 显然，当时， 式即为拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
但若换一个角度，将和看成平面上某条曲线的参数方程，即可以表示为：

易知在（或）
上连续, 在（或）上可导，
由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点
过该点的斜率等于曲线两端连线的
斜率（如图1所示）. 设对应于 图1
， 则由参数形式函数的求导公式，有
.
所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.
证明 由闭区间上连续函数的性质，以及在上连续，在上可导，且导数恒不为零，且不难证明，在上严格单调，不妨设严格单调增加.下证严格单调，只证在上严格单调递增.
取，规定由的连续性知那么
,
对上式求极限
,
又
,
得到，由的任意性知故在上严格单调递增. 同理可得在上严格单调递减, 故单调性得证.
记，，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在上存在的反函数，在上连续，在可导，其导数
，
并且在上也是严格单调增加的.
考虑上的复合函数，由定理条件和以上讨论，即知在上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在，使得
.
由和的关系，在中一定存在一点，满足，于是
代入上式就得到了定理结论.
2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理
定义 如果一列闭区间满足条件
（1） ;
（2） ,
则称这列区间形成一个闭区间套.
闭区间套定理 如果形成一个区间套，则存在惟一的实数属于所有的闭区间且 .
引理1 设函数在上有定义，且在处可导，又为一闭区间套，且，则
.
引理2 设函数在上连续，则存在且 ，使得
.
现在把引理2推广为：
引理3 设函数，在上连续，且是单射，则存在，且 ，使
.
下面证明柯西中值定理：
证明 首先证明，当且时，有.
反设，由引理2，存在，且，使,
从而. 在上再次应用引理2有，存在，且，使
，
从而又有. 反复利用引理2，最终可得一个闭区间套，满足，且，由闭区间套定理，存在，使
,
根据引理1得：
,
这与条件相矛盾. 再根据引理3，存在，且，使
,
反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套，满足且
.
由闭区间套定理存在，使。再由引理1有:
.
即柯西中值定理成立.
2.4利用达布定理证明柯西中值定理
达布定理 在上连续且可导，
（1）若，，则有，使得.
（2）设，，则对介于与间的数有点介于与之间，且.
根据拉格朗日中值定理，我们易知有下列命题成立：
命题 设函数在上可导，对，有，则在上严格单调增加（减少）.
下面证明柯西中值定理：
证明 构造辅助函数
,
显然在上连续，在内可导，且. 现要证明存在，使.
假设对一切，则由达布定理易知，要么，要么，当时则由命题易知在内严格单调，从而在上严格单调增（因在上连续）. 从而与定理中的条件矛盾，当时同样可推出矛盾故有，即成立.
2.5利用坐标变换证明柯西中值定理
微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理.
证明 构造参数方程
，, （3）
L

y

M

A
B

由定理条件知，方程（3）的图像是平面上一条连续且光滑的曲线，曲线的两个端点分别为，.

图2.坐标旋转变换图

由图2所示，AB与轴正向夹角为，，旋转轴使平行于，曲线在轴上的投影区间为，则曲线上任意一点M在新坐标系下的坐标为
,
而
，
，
所以曲线L在新坐标系下是参数方程：
（4）
显然，对于任意，，均存在.
设 ，则方程（4） 在上满足罗尔定理条件，故存在，使得
且有，
即存在，使得
,
所以有
,
即存在使得定理成立.

3.柯西中值定理的应用
3.1求极限
求 .
解 由柯西中值定理，得
,
即
,
有
，
故
,
因，故.
3.2证明不等式
试证 若，都是可微函数，且当时，，则当时，.
证明 令，则.
而
,
有
,
由于为任意小正数，令，有
.

3.3证明等式
试证 若，则，其中在与之间.
证明 由于，，则不在与之间，令，，则，在与所限定的区间上满足柯西中值定理，故
,
整理得
.
3.4证明单调性
设，在上单调增加，证明：在上单调增加.
证明 由柯西中值定理，得
， ，
又因在上单调增加，故，有
，
即
，
则
，
即
.
故在上单调增加.

3.5证明函数有界
设在上连续，在上可导，已知函数在上有界，证明函数在上也有界.
证明 设,.首先对函数，，应用柯西中值定理，可以证明它是有界的：
,
其中. 进一步，对函数，，也有

.
3.6证明一致连续性
设在上可导，且存在且有限，试证在上一致连续.
证明 只要证存在，设则存在，有
,
有
, ,
由柯西中值定理
,
其中在与之间，因此
,
由存在且有极限知，对于
,
有
,
于是有
,
其中在与之间，由柯西收敛原理知，存在且有限，令

易知在上连续，在内可导，故在上一致连续，从而在上一致连续，即在上一致连续.
3.7研究定点问题
设在上连续，在内可导，. 试证存在，使
.
证明 设，由知，在上满足柯西中值定理，故至少存在使
,
即
,
又在上满足拉格朗日中值定理条件按，故至少存在，使
,
由上知，存在，使
.
3.8作为函数与导数的关系
设在上连续可导，且
，
证明 .
证明 因为在上连续，所以在上有界，剩下只要证明与上都有界. 以为例进行证明，的情况类似可证.
设为任意数. 则由柯西中值定理有：

， （5）
其中右端

, （6）
因有界，由（5）、（6）知亦有界.

3.9推导中值公式
设在内二次可微，试证：存在在之间，使
， （7）
成立（此即展开到一次幂Taylor公式）.
证明 只证的情况（的情况类似可证，的情况显然）.（7）式可改写成
, （8）
为了证明（8），只要令
，，
则
，,
由于，，两次应用柯西中值定理，则

,
其中，即有
.

4．结语
本文用几种方法证明了柯西中值定理，并探讨了几种常见的应用. 证明方法可分为分析方法和几何方法，分析方法有构造辅助函数，利用反函数，借助实数完备性定理和有关连续函数的定理. 几何方法是坐标变换. 在应用方面包括求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式等.
The Proof and Applicating of Cauchy Mean-value Theorem

Ma Yu-lian
(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070,China)

Abstract:This paper introduces the proof and application of Cauchy mean-value theorem from many angles. The methods of proof include: Roll theorem, Lagrange theorem, closed interval suit theorem, Darbou theorem and changing the direction of coordinate system; The applications contend: solving the problem of limitation, proving inequality, proving monotonicity, proving unanimously successive, proving the function have border, proving unanimously successive, researching the problem of fixed point,being the relationship between function and derivative,and demonstrating the mean-value formula.
Key words:Cauchy mean-value theorem; proof; application

参考文献
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