1、2 输入-输出模型与传递函数什么是系统什么是系统?自然界中,任何实体都存在于一个特定环境中。实体和环境关系包含两方面：环境对实体作用与实体对环境反作用。以下列图所表示。表示环境对实体输入，表示实体对环境输出。实体及 和 就组成了一个系统系统。2.1 线性系统输入输出微分方程第1页系统数学模型系统数学模型 描述系统输入与输出之间改变关系式子。对于一个线性系统，其数学模型普通用一个线性常系数微分方程来表示。左图 所表示为一机械系统示意图。此系统由弹簧、质量和阻尼器组成。系统输入量为外力 ，输出量为质量位移 。由牛顿定律，其中 为质量；为位移加速度；为作用于 上力，包含外力 、弹簧恢复力 ,和与速度
2、 成正比阻力 。由此得出 与 所满足微分方程为：显然它是一个常系数微分方程。第2页今后我们所研究系统，通常都可用以下一个线性常微分方程来描述：其中第3页线性系统及其特征线性系统及其特征 线性系统满足叠加原理。叠加原理有两重含义：可加性与齐次性。齐次性可加性第4页叠加原理表明叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生输出之和（可加性可加性），且外作用数值增大若干倍时，其输出亦对应增大一样倍数。（齐次齐次性性）所以，对线性系统进行分析和设计时，假如有几个外作用同时加于系统，则能够将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统输出，然后将它们叠加。另外，每个
3、外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统研究工作。第5页2.2 线性系统传递函数与卷积定理对线性系统输入输出方程两边求拉氏变换得：其中：（1）第6页简记（1）式为：和 都是由初值所确定。因为这些初始值有很大随意性，与系统本性无关，所以可令它们全为零，即所以在零初始条件下，与 之间满足其中称 为系统（1）传递函数传递函数由传递函数定义可知，微分方程和其传递函数是一一对应，而且从其中任一形式能方便地写出另一形式。第7页例1写出 传递函数。写出 对应微分方程。1)2)解:1)两边取拉氏变换,并利用零初始条件得:得2)第8页因为 L -1 =1肪冲响应肪冲响应在零初始条件下,线性系统对单位脉
4、冲输入信号输出响应,称为该系统肪冲响应.这表明,传递函数拉氏逆变换即为系统脉冲响应(用 表示).即:L -1 线性系统传递函数与其脉冲响应就系统外部动态特征来说,它们包含信息是相同.反应在时间域上,就是:卷积定理卷积定理在零初始条件下,系统任一输入 与对应输出 之间有以下关系:由拉氏变换卷积公式很轻易得到这个结果.(2)详细使用(2)式时,必须注意是否满足零初始条件这一前提。其中 零初始条件可认为成立（系统从静止状态开始）；而 是一给定信号，不一定满足 但m=1时，（1）式解与 初值无关，不然，必须有上述 初值为零作为(2)式成立确保。第9页阶跃响应阶跃响应即系统(1)由静止开始,由单位价跃输
5、入相对应输出响应，记为因为 L -1 =1/s当系统（1）中m=1,有：或故得：（3）若以 直接代入卷积公式（2），得：（4）（3）、（4）即为脉冲响应与阶跃响应间关系式。假如因 ，上述关系普通不成立。由（2）知，知道了 ,则系统动态行为特征就清楚了。但对于很多惯性大而灵敏度小系统，直接进行脉冲响应测试是较困难。这时可改而进行阶跃响应测试。因为阶跃输入作用是持久存在，所以较易得到 。然后利用关系式(3),就可间接得到第10页Example设一系统输入设一系统输入输出微分方程为输出微分方程为1）求其脉冲响应 ;2）当 时，求与之对应输出 。解 1)系统传递函数为：所以L -1 L -1 =第11
6、页2）因为 卷积定理条件满足。在假设下，得：怎样求本例阶跃响应？第12页所以无法用卷积公式。在两侧取拉氏变换得：在 假设下，并将 代入，上式变为 L -1 =L -1 第13页2.3 组合系统传递函数一个系统往往由两个或两个以上子系统按某种方式连接而成，称之为组合系统。组合方式有串联、并联和反馈三种连接方式。串联组合串联组合设两个系统传递函数分别为如图所表示,子系统 和 串联连接。子系统 输出 作为子系统 输入;子系统 输入 和子系统 输出 分别是整个组合系统输入和输出。虚线框内是串联组合系统.第14页因为所以，组合系统传递函数为普通地，如图所表示由 个子系统串联而成组合系统传递函数为第15页并联组合并联组合图示为一并联组合系统。同时输入作用于 和 ,分别得输出响应 和 。它们和 为组合系统输出。因为所以即并联组合系统传递函数为普通地，由 个子系统 并联组成组合系统传递函数为：第16页反馈组合反馈组合如图为反馈组合。为前向子系统，为反馈子系统。因为得所以（负）反馈组合系统传递函数为：第17页Example如图,求此反馈系统:1)脉冲响应;2)阶跃响应;3)响应.第18页解:1)脉冲响应L -1 =L -1 =L -1 =2)因为m=0,所以由卷积定理,阶跃响应第19页
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