一阶隐式微分方程及其参数表示省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 一阶微分方程初等积分法一阶微分方程初等积分法Integrated Method of First Order ODE/10/101常微积分方程-重庆科技学院-李可人第1页2.4 2.4 一阶隐式微分方程及其参一阶隐式微分方程及其参数表示数表示/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/第2页变量分离、线性、恰当方程等能解出转化不能解出 或解出形式复杂转化引进参数变量变换熟练掌握2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation/10/103常微积分方程-重庆科技学院-李可人第3页一、能解出能解出 y (或或 x)方程方程这里假设函数 有连续偏导数。解法解法：引进参数 ，则(2.4.1)变为 两边关于 x 求导，并把 代入，得关于 x 和 p 显式方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/104常微积分方程-重庆科技学院-李可人第4页(i)若已得出(2.4.3)通解形式为,代入(2.4.2)得就是(2.4.1)通解。(ii)若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1)有参数形式通解其中 p 是参数，c为任意常数。(iii)若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1)其中p是参数,c为任意常数。有参数形式通解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/105常微积分方程-重庆科技学院-李可人第5页解法解法两边对 y 求导(2.4.6)若求得为则(2.4.4)通解为若求得为则(2.4.4)通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/106常微积分方程-重庆科技学院-李可人第6页解法解法1 1：解出 y 令得两边对 x 求导例例1 1求解方程当时，上式乘以 p，得积分，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/107常微积分方程-重庆科技学院-李可人第7页将它代入所以，方程参数形式通解当 p=0 时,由可知，y=0也是方程解。解出 x，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/108常微积分方程-重庆科技学院-李可人第8页解法解法2 2：解出 x，并把 ，得两边对 y 求导所以，方程通解为:另外，还有解 y=0 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/109常微积分方程-重庆科技学院-李可人第9页解解令得两边对 x 求导，得 例例2 2求解方程将它代入得方程通解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1010常微积分方程-重庆科技学院-李可人第10页方程通解再由得将它代入，又得方程一个解 此解与通解中每一条积分曲线均 相切这么解我们称之为奇解注意注意:2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1011常微积分方程-重庆科技学院-李可人第11页xyo2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1012常微积分方程-重庆科技学院-李可人第12页二二 、不显含不显含 y(或或 x 方程方程 )解法：解法：引入变换从(2.4.7)得到则，方程参数形式通解为关键(or 引入变换从(2.4.7)得到 )2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1013常微积分方程-重庆科技学院-李可人第13页令通解为特殊情形2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1014常微积分方程-重庆科技学院-李可人第14页解法：解法：引入变换从(2.4.7)得到则，方程参数形式通解为(or 引入变换从(2.4.7)得到 )若有实根则也是方程解。关键2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1015常微积分方程-重庆科技学院-李可人第15页令通解为特殊情形若有实根则也是方程解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1016常微积分方程-重庆科技学院-李可人第16页解解令则 由方程，得从而于是求解方程例例4 4通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1017常微积分方程-重庆科技学院-李可人第17页例例5求解方程解解把代入原微分方程令得由此得且方程参数形式通解为另外,也是方程解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1018常微积分方程-重庆科技学院-李可人第18页练习练习求解方程注意观察方程解特点解解通解奇解克莱洛方程Clairant Equation2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1019常微积分方程-重庆科技学院-李可人第19页三 利用变量代换微分方程积分法利用变量代换微分方程积分法有时方程就都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用适当参数外，还能够先进行适当变量代换后再 求解，这种方法称为利用变量代换微分方程积分法。不过，怎样选择适当变量来代换，没有一定规律,需要在做大量练习中积累经验.2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1020常微积分方程-重庆科技学院-李可人第20页解解令则代入原方程，得即克莱洛方程通解奇解例例6 6求解方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1021常微积分方程-重庆科技学院-李可人第21页解解则令于是代入原方程，得例例7 7通解.求方程克莱洛方程通解奇解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/10/1022常微积分方程-重庆科技学院-李可人第22页