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正项级数收敛性判别法的推广
摘要：正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法．
近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件限制，使其更具一般性，适用性更广．
关键词：正项级数；收敛性；发散性；判别法

A Generalization of Convergence Criterion for Positive Progressions
Yang Rui

(0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science )

The instructor: Song Wen-qing
Abstract: Convergence Criterion for Positive Progressions holds the extremely important status in the progression． The common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright Bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, Gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit． In order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws．
In recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction law． This article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law． The first part promotes specific value distinction law as well as shows distinguishable methods when it doesn’t work． It is also the main part of this work．The second part carries on the promotion of the comparison distinction law and it uses the corresponding distinction law to judge the series of positive progressions astringency． These new distinction laws have solved the require mental limits of the original distinction laws making them more general, making their serviceability broader．

Keywords: positive progression series; convergence; divergence; criterion

1 引言
正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法，柯西积分判别法等．由于条件的限制，在判断某些类型的题目时会失效，所以必须要寻找一些新的判别法来解决这些题本文主要对比较判别法、达朗贝尔判别法进行了推广．下面先介绍比较判别法、达朗贝尔判别法以及正项级数收敛性的相关定理．
定理 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数M，对一切正整数n有N都有 ，
(i)若级数收敛，则级数也收敛；
(ii)若级数发散，则级数也发散．
定理设为正项级数，且存在某正整数及常数q（0,成立不等式
则级数收敛．
(ii)若对一切n>,成立不等式
则级数发散．
定理若为正项级数，且
，
则
(i)当q<1 时，级数收敛；
(ii)当q>1或q=时，级数发散．

2达朗贝尔判别法的推广与应用
2．1达朗贝尔判别法的一类推广与应用
由达朗贝尔判别法判别法极限形式知，当时，正项级数可能收敛也可能发散，我们无法直接用达朗贝尔判别法判别法判断其敛散性，此时这种判别法失效，为了解决这一问题，给出新的判别法．新的判别法适用条件更广，运算更简洁．

2．1．1达朗贝尔判别法判别法的第一种推广
引理正项级数若，且则
(i) 当p<时，则级数收敛
(ii) 当p>时，则级数发散
定理1 若，则级数收敛当且仅当收敛（其中m是大于1的正整数）
证明：（1）设则
<( )+()+()++()
<++
=
所以若级数收敛，级数也收敛；
（2）=
>
=
所以若级数发散，级数也发散．
由（1）（2）得，级数收敛当且仅当收敛．
对于一般项收敛较慢的级数，定理1给出了一个判别法，观其条件还可以进行推广，得到更一般的形式，用定理的形式叙述如下：
定理2：正项级数，若，存在，使得，则
（1）当p<时，则级数收敛
（2）当p>时，则级数发散
证明：令，，
由定理知 与同收敛，与同收敛，所以与同收敛

所以
即 =
当
当 时，,故级数收敛从而收敛;
当 时，，故级数发散，从而发散．
证明完毕．
2．1．2应用举例
例1：考察级数是否收敛．
解: 由定理，取，

当时，，级数收敛;
当时，，级数发散．
例2：考察级数是否收敛．
解：
又因为 =1
而 即
所以级数发散．
例3：讨论级数的敛散性．
解：本题利用达朗贝尔判别法无法判断，并且不容易积分，所以利用积分判别法也不能解决，由定理，取，则

所以，该级数收敛．
2．2达朗贝尔判别法的第二种推广与应用
2．2．1达朗贝尔判别法的第二种推广
定理两个正项级数和，如果从某项起下列不等式成立：
（1）
则级数收敛那么级数一定收敛，级数发散那么级数一定发散．
证明： 任取一自然数，使得p=>,设引理中的不等式（1）对于任意的恒成立，可以把引理中的不等式（1）变形为：
,,
即
（i=0, 1，2，）
令 ，则
(1) 当时，成立
(2) 当时，可将n写成，则
其中一定有．
若时，则成立．
若时，则可将写成，其中，使得，
若，不成立，则要继续进行下去，经过有限次总能得到．使得
从而得到：成立
因此 ，恒有成立
由比较判别法知：若级数收敛，那么级数一定收敛，
若级数 发散，那么级数 一定发散
证明完毕
下面根据定理1，推广出一个关于正项级数收敛的判别法，以定理的形式叙述如下：
定理2 对于正项级数，若，则
(1) 当p<时，级数收敛
(2) 当p>时，级数发散
证明：（1）当p<时，，当时，
有 和
又因为 ，所以可令，使
令，那么（因为s>1）级数收敛，且
当n充分大时有 成立
又因为 ，显然
对n充分大时有 和
那么根据引理2，级数收敛
（2）当p>时，对于正整数使，，当时，
有 和
令， 则 ，而 ，
故 和 成立
又 是发散的，由定理1得 发散
将定理2推广到一般的形式，叙述如下：
定理3 关于正项级数与，若存在自然数N，当n>N时，不等式
成立，则
(1) 若级数收敛，则级数收敛；
(2) 若级数发散，则级数发散
证明：由条件知，若存在自然数N，当时，不等式成立，不妨取自然数，并令M=，当时，；当时，则唯一存在一个自然数,使，故
若p,则唯一存在一个自然数，使，其中，于是且
由于，经过有限步，假设第s步,必有，于是
所以当级数收敛，则级数收敛；当级数发散，则级数发散
证明完毕
定理3的推论：
推论1 给定正项级数，若，
则 （1）时，收敛； （2）时，发散
证明：（1）当时，令 ，则存在实数r>1，使得，令 ，
，
，

于是 ，当 时，有
因为级数 收敛，由定理知，级数收敛
（2）当 时，令，
，
，
……………．

于是 ，当时，有
又因为级数发散，定理知级数发散
2．2．2应用举例
例1论是否收敛
解：
当x=e时，用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性
利用
此时
当x=e时，，由定理2得，级数发散
例2：讨论是否收敛
解 令 ， 则

根据定理2得到，收敛
例3 证明级数收敛
证明：令
因为 ，
所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛
，，

所以级数收敛
例4 证明级数收敛
证明： 因为

所以级数 收敛
2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用
2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广
引理 给定两个正项级数（A）和（B），若从某项起（如n>N时），不等式成立，
则级数（B）收敛蕴含级数（A）收敛；级数（A）发散蕴含级数（B）发散
引理 给定正项级数，若，则
（1）当p<时，则级数收敛
（2）当p>时，则级数发散
下面将引理2推广到如下形式
定理：给定正项级数，若对一固定自然数，有
，
则 （1）时，收敛； （2）时，发散
证明：当时，对充分大的，存在，使

即
故对任意的自然数 ，有
将上式再关于求和，得

即
令 ，则上式可以变成：

移项整理得：
即 =M
由于的部分和有界，所以级数收敛
当时，对充分大的，存在，使
即
同上，先对n从到N求和，再对i从1到k求和，则有

若收敛，上式中令，则有

即
又
则有
即 与 矛盾，故级数发散
2．3．2应用举例
例1 正项级数中，，，试讨论正项级数敛散性
解：利用定理，取k=2，，则

故级数收敛

3比较判别法的推广与应用
3．1比较判别法的推广
定理（比较原则的推论）设 ++…++…
++…++…
是两个正项级数，若

则 (i)当0<<时，级数、同时收敛或同时发散；
(ii)当=0且级数收敛时，级数也收敛；
(iii)当=且级数发散时，级数也发散
在上面的定理中我们令=，则定理1，就演变成了如下：
定理 对于正项级数，若或，那么级数发散；如果有k>1使得存在，则级数收敛

下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下：
定理3 设为正项级数，令，，为当x=n时由某一函数所确定的值，连且续有直到m阶的有限导数：

如果对的m阶导数存在一幂函数，使得，
，
那么当时，级数收敛，当时，级数发散
证明：运用罗必塔法则m次可得，

由于当时收敛，当发散，
则由定理1，和级数同收敛，
所以当时，级数收敛，当时，级数发散
证明完毕

3．2应用举例
例1 讨论级数是否收敛
解： 令，则 ，存在，使得

由于这里 ，所以级数收敛
例2 判断级数是否收敛
解： 令
则 ，存在，使得

因为，所以级数发散

4 结束语
文中列举的几种推广的正项级数收敛判别法，解决了某些题目用达朗贝尔判别法失效的问题，同时也简化了一些题目的求解步骤，这是有利的方面；但是在判断条件是否适合利用这些推广的时候，会带来一些烦琐的计算和证明所以在判别正项级数收敛时,要认真分析题目，找出最简洁的判别方法

致谢
感谢我的导师宋文青副教授宋老师成为我的毕业论文的导师那天起，她就告诉我如何搜集材料；告诉我如何快捷地找到相关论文；告诉我学校的哪个网站有本专业硕士、博士论文；还定期的和我联系论文的进度情况和定期指导我的论文怎么写才好本论文的完成，离不开她的悉心知道和孜孜不倦地教诲
 感谢我的班主任张颖老师，在大学四年中给予我无微不至的照顾帮助使我在大学四年中不段的成长
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我最诚挚的谢意！

参考文献
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目 录
第一章 项目摘要 3
1.1项目基本情况 3
1.2建设目标 3
1.3建设内容及规模 4
1.4产品及去向 4
1.5效益分析 4
第二章 项目建设的可行性和必要性 5
2.1建设的必要性 5
2.2建设的可行性 5
2.3编制依据 6
2.4编制原则 9
第三章 项目建设的基础条件 9
3.1建设单位的基本情况 9
3.2项目的原料供应情况 10
3.3地址选择分析 10
第四章 产品 11
4.1沼气 11
4.2 沼气产量确定 12
4.3有机肥 13
4.4产品去向 13
第五章 沼气工程工艺设计 14
5.1工艺参数 14
5.2处理工艺选择 14
5.3工艺流程的组成 15
5.4厌氧处理工艺选择与比较 15
5.5沼气存储和净化工艺 16
5.6工艺流程 18
5.7沼气输配设施 19
5.8沼气计量设施 19
第六章 总体设计 19
6.1站内总体设计 19
6.2站外配套设计 19
第七章 土建设计 20
7.1建筑设计 20
7.2结构设计 20
第八章 电气设计 21
8.1设计依据 21
8.2设计规范 22
8.3 设计说明 22
8.4控制与保护 22
8.5防雷与接地 22
8.6配电系统 23
8.7防雷与接地 23
8.8 防爆设计 23
8.9供电负荷 23
第九章 安全、节能及消防 24
9.1安全生产 24
9.2防火消防 24
9.3节能 25
第十章 主要构（建）筑物、设备的设计参数 25
10.2 厌氧消化系统工艺参数设计 27
10.3 沼气净化系统工艺参数设计 28
10.4 沼气储存系统 28
10.5 沼肥储存系统 29
10.6配套设施区 29
第十一章 投资概算和资金筹措 30
11.1编制说明 30
11.2总投资估算表 31
11.3投资概算 33
11.4资金筹措 33
第十二章 项目实施进度和投招标 34
12.1进度安排 34
12.2招（投）标依据 34
12.3招（投）标范围 34
12.4招（投）方式 35
第十三章 项目组织与管理 35
13.1管理 35
13.2劳动定员和组织培训 37
第十四章 环境保护和安全生产 37
14.1污染源和污染物 37
14.2污染治理方案 38
14.3安全生产 39
第十五章 产品市场分析与预测 41
15.1沼气 41
15.2沼气发电 41
15.3沼液和沼渣 43
15.4（生态）农产品。 43
第十六章 社会、生态及经济效益分析 43
16.1社会效益 43
16.2生态效益 44
16.3经济效益 44
第十七章 结论 46
第十八章 附件 47

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