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函数概念课件因变量因变量自变量自变量定义1 设 和 是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每个数 ，变量 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数，记作数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集当当 时时，称称 为函数在为函数在 的的函数值函数值.称为函数的称为函数的值域值域.一、函数的概念第二页，共51页。自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f1.1.函数的两要素函数的两要素:定义域与对应法则定义域与对应法则.约定约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.例如例如例如例如第三页，共51页。如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则叫与否则叫与多值函数多值函数函数的表示方法函数的表示方法：1）表格法表格法2）图形法图形法3）解析法解析法 2.单值函数与多值函数例如例如第四页，共51页。例1 符号函数符号函数3.几个特殊的函数举例1-1xyo第五页，共51页。1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线例2 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整的最大整数数.在在 为整数值处为整数值处,图形发生跳跃图形发生跳跃,跃度为跃度为1.第六页，共51页。有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例3 狄利克雷函数狄利克雷函数如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为表示称为分段函数分段函数,例例1至例至例3均是分段函数均是分段函数.第七页，共51页。二、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1.函数的有界性第八页，共51页。2函数的单调性:xyo第九页，共51页。xyo第十页，共51页。例如例如,函数函数 在在 内是单调增内是单调增加的加的.如图所示如图所示.第十一页，共51页。例如例如,函数函数 在在 内是单调减少内是单调减少的的,在在 内是单调增加的内是单调增加的.如图所示如图所示.第十二页，共51页。3函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x偶函数的图形关于偶函数的图形关于 轴对称轴对称.第十三页，共51页。奇函数奇函数 yxox-x奇函数的图形对称于原点奇函数的图形对称于原点.第十四页，共51页。不满足上述性质的函数为不满足上述性质的函数为非奇非偶函数非奇非偶函数.例如例如 与与 是奇函数是奇函数；与与 是偶函数是偶函数；与与是非奇非偶函数是非奇非偶函数.第十五页，共51页。4函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第十六页，共51页。例如例如函数函数 都是以都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.函数函数 都是以都是以为周期的周期函数为周期的周期函数.第十七页，共51页。并非所有的周期函数都有最小正周期并非所有的周期函数都有最小正周期.例如函数例如函数 (为常数为常数)及狄利克雷及狄利克雷(Dirichlet)函数函数为有理数为有理数为无理数为无理数均为周期函数均为周期函数,但没有最小正周期但没有最小正周期.第十八页，共51页。三、函数的运算对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，还有复合运算与求反函数的运算还有复合运算与求反函数的运算.定义2 设函数的定义域与的值域的交集非空，则是的复合函数.例如例如可看作由可看作由复合而成复合而成.注注：不是任何函数都可以复合成一个函数不是任何函数都可以复合成一个函数。第十九页，共51页。例4 设设 求求解由于由于 的值域的值域的定义域的定义域 为为显然显然故可进行复合运算，即故可进行复合运算，即第二十页，共51页。例5 设设 求求解解显然给出的函数符合复合的条件，因此显然给出的函数符合复合的条件，因此第二十一页，共51页。例6 设设 求求的定义域的定义域 为为是没有意义的是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而不满足复合函数定义的条件，从而第二十二页，共51页。例7 已知已知 求求解因为因为故故例8 函数函数 是由哪些函数复合而成是由哪些函数复合而成的的.解显然显然，是由是由复合而成复合而成.第二十三页，共51页。定义3 设函数 的值域为 ，如果对于每一个 ，根据关系 能确定唯一的 ，则称得到的新函数 为 的反函数.亦称 与 互为反函数.函数的反函数常记为 相对于反函数相对于反函数 来说，原来的函数来说，原来的函数称为称为直接函数直接函数.它们图形的关系如下所示它们图形的关系如下所示.DWDW第二十四页，共51页。直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.第二十五页，共51页。函数函数 在在 上没有反函数，上没有反函数，但在但在 及及 上分别有反函数上分别有反函数 及及 .又又 在在 上没有反函数，上没有反函数，只是在只是在 上的反函数上的反函数.第二十六页，共51页。例9 求函数求函数 的反函数的反函数.解解则则令令(舍去舍去“-”)“-”)将字母将字母 与与 互换互换,得得即即第二十七页，共51页。1.基本初等函数（1 1）常数函数）常数函数如下图所示如下图所示.四、初等函数第二十八页，共51页。2.幂函数幂函数第二十九页，共51页。3.指数函数指数函数第三十页，共51页。4.对数函数对数函数对数函数与指数函数互为反函数对数函数与指数函数互为反函数.第三十一页，共51页。5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数第三十二页，共51页。余弦函数余弦函数第三十三页，共51页。正切函数正切函数第三十四页，共51页。余切函数余切函数第三十五页，共51页。正割函数正割函数第三十六页，共51页。余割函数余割函数它们均为周期函数，它们均为周期函数，和和 有界有界.其余三其余三角函数无界角函数无界.为奇函数，为奇函数，为偶函数为偶函数.第三十七页，共51页。6.反三角函数反三角函数第三十八页，共51页。第三十九页，共51页。第四十页，共51页。是单调递增的是单调递增的,是单调递减的是单调递减的，它们均为有界函数它们均为有界函数.第四十一页，共51页。2.初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数合运算所得到的并可用一个式子表示的函数，称为称为初等函数初等函数.例如例如第四十二页，共51页。设设 都是初等函数，则幂指函数都是初等函数，则幂指函数也是初等函数也是初等函数.应用上还常遇到另一种初等函数应用上还常遇到另一种初等函数.第四十三页，共51页。双曲函数与反双曲函数1.双曲函数奇函数奇函数.在在 内单调增加内单调增加.偶函数偶函数.在在 内单调减少内单调减少.在在 内单调增加内单调增加.第四十四页，共51页。奇函数奇函数,有界函数有界函数,在在 内单调增加内单调增加.第四十五页，共51页。双曲函数常用公式第四十六页，共51页。2.反双曲函数奇函数奇函数,第四十七页，共51页。第四十八页，共51页。奇函数奇函数,第四十九页，共51页。五 小结与思考判断题1.函数的分类 非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)初等函数初等函数第五十页，共51页。（1 1）分段函数都不是初等函数分段函数都不是初等函数。（2 2）由基本初等函数，经过无限次四则由基本初等函数，经过无限次四则运算而成的函数不是初等函数。运算而成的函数不是初等函数。2.思考判断解答解答：（1 1）错误）错误.例如例如 是分段函数是分段函数,然然而也初等函数而也初等函数.（2 2）错误）错误.是初等函数是初等函数.第五十一页，共51页。谢谢！谢谢！