理工大泛函分析复习题.doc

完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设为空间上的距离。证明

也是上的距离。
1、 求证为空间。（其中为空间，为空间）
2、 S是由一切序列组成的集合，在S中定义距离为
，求证S是一个完备的距离空间。
3、 Hilbert空间中的正交投影算子为线性有界算子。
4、 附加题
开映射定理() 设都是空间，若是一个满射，则是开映射。
Hahn—Banach延拓定理() 设是空间，是的线性子空间，是定义在上的有界线性泛函，则在上必有有界线性泛函满足：

其中表示在上的范数。
闭图像定理() 设都是空间，若是的闭线性算子，并且是闭的，则是连续的。
共鸣定理() 设是空间，是空间，如果
，那么存在常数，使得
。
五、（10分）在上定义内积：
（1）如果求；
（2）证明任一函数都正交于。
六、（10分）设为Hilbert空间的闭子空间，证明对每个必存在唯一的有

七、（15分）设，求证：。
八、（15分）简答题
1. 试说明与中函数的差异；
2. 泛函分析也称无穷维分析，为什么要研究无穷维分析，试举例说明；
3. Hilbert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。
一、 在上定义内积,若记为中奇函数全体，为中偶函数全体，求证：且。
设为内积空间中的一个稠密子集，且，证明。
二、 在中赋予距离问是完备空间吗？为什么？
设若是从的算子，计算若是从的算子再求。
四论述题：
1、 证明完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、 论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。
3、 证明为上范数，并论述证明范数的一般步骤。
设是内积空间，，则当时，，即内积关于两变元连续。

7.证明：设是Hilbert空间中的一个标准正交集,令,如果P是H到M上的正交投影算子,则,有
。
3.设是Hilbert空间的闭线性子空间，，且是满足的唯一元素，那么，。
4.设X是内积空间,是X中的标准正交系, 则对任意的,成立Bessel不等式:
.
7.证明：设是Hilbert空间中的一个标准正交集,令,如果P是H到M上的正交投影算子,则,有
。