向量与圆锥曲线.doc

word完整版)向量与圆锥曲线
圆锥曲线
一。向量与圆锥曲线:
例1.已知是椭圆上的两点,并且点满足,当时,求直线斜率的取值范围.

例2.已知抛物线，过抛物线的焦点的直线交于两点,交准线于点，已知,求.

例3.已知椭圆，斜率为1且过右焦点的直线交椭圆于两点，为椭圆上任一点,且， 求。

方法总结：
(1) 若能得到， 则构造出两根之和与两根之积得消去得,再利用韦达定理应用;
(2) 若,则可以用的横坐标或纵坐标来表示和,当和满足一定的关系时，进一步用韦达定理作整体代换;
(3) 直线与圆锥曲线相交于两点,若点满足,用两点的坐标来表示,如果在曲线上，则将的坐标表达式代入曲线方程,如果没有在曲线上,则必须把的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理。
课后练习:
1. 已知定点,若过点的直线（斜率不为零）与椭圆交于不同的两点(在点之间)，记, 求实数的取值范围。

2. 椭圆的两个焦点分别为和,过点的直线与椭圆交于两点, 且, 求直线的斜率.

3. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与x轴交于点，设,试问是否为定值， 若是， 求出此定值; 若不是， 请说明理由.

4. 椭圆,过右焦点的直线与交于两点,上是否存在点,使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的坐标与的方程;若不存在， 请说明理由。

二. 面积计算
求解圆锥曲线中三角形的面积，关键在于三角形面积公式的选取。
例1。如图,是抛物线上一点, 是上的两点,线段被直线平分且， 求面积的最大值.

2. 已知直线与椭圆交于两点， 已知，若且椭圆的离心率， 又椭圆经过点, O为坐标原点. 试问的面积是否为定值？ 如果是,请证明,如果不是，说明理由.

3. 已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.
（1）当直线过点时，求直线的方程;
(2)当时,求菱形面积的最大值。

4。如图,点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A

(1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程。

三． 切线问题
1.如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.
（1) 已知直线的斜率为，用表示点P的坐标；
（2） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为。

2.如图，已知抛物线，圆,过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
(1) 求点A，B的坐标; （2）求的面积.

3. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2）若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。

4.如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为 直线y=—2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
（1）求证：A，M,B三点的横坐标成等差数列；
(2）已知当M点的坐标为（2，-2p)时,，求此时抛物线的方程;
（3）是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足(O为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

练习：如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点,且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为，证明为定值。

四、斜率乘积为
1. 已知椭圆上的两点，则；
类似地，对于双曲线，则有____________________.
若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？
2. 已知椭圆的左右顶点为,点是上异于的任意一点，则；
类似地,对于双曲线，则有____________________。
3. 对于上述，若为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？
4.若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样?

例1.过点的直线交双曲线于两点，，则直线的方程是____________
例2.过点作斜率为的直线与椭圆相交于,若是线段的中点，则椭圆的离心率是_________
例3.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆 上有两个不同的点关于这条直线对称.

例4。已知椭圆的方程为，过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限，过作x轴的垂线垂足为，连接并延长交椭圆于点，设直线的斜率为，求证：对任意，。

例1.是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右顶点,直线的斜率之积为，则双曲线的离心率是_________________
例2。如图,已知分别为曲线与轴的左、右两个交点，直线过点,且与轴垂直，为上异于点的一点，连结交曲线于点. 点是以为直径的圆与线段的交点，试问：是否存在，使得三点共线？若存在，求出的值,若不存在，请说明理由。

例3。已知椭圆，过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由。

4.已知椭圆的方程为,是椭圆上的两动点，为平面上一动点且满足，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：

例1。已知椭圆的方程为，是椭圆上的两动点，为椭圆上一动点且满足且，证明：。

例2.设动点满足，其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为，求动点的轨迹方程.

五． 斜率乘积为
1.椭圆中的垂直问题

例1。设椭圆,过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点,过作直线的垂线，求点的轨迹方程。

例2.求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则。

例3。如图，是过原点的直线，是与垂直相交于点,与椭圆交于两点的直线,,是否存在上述直线使得成立？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

2. 当圆锥曲线上的两点满足时，椭圆中便存在一个直角三角形,通过以上的例题可以发现，其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的,包括两条直角边的关系、斜边的长度问题、斜边上的高的轨迹，以及它的面积的取值范围，真可谓把这个直角三角形剖析得淋漓尽致了。但如果这不是一个直角三角形，也就是说，情形又会如何。是否有类似的结论呢？

提醒读者，将夹角问题转化为向量数量积的问题仍是首选方法，因为它更具有一般性，见如下方法总结:
(1)；
（2）；
（3).
例1.已知是非零实数，抛物线的焦点在直线，设直线与抛物线交于，过分别作抛物线的准线的垂线,垂足为，如图所示，的重心分别为，求证：对任意非零实数，抛物线的准线与x轴的交点在以线段为直径的圆外.

例2.已知椭圆的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点,直线分别交右准线于点，试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.

3. 抛物线中的定点问题
【框架】是抛物线上的两动点，其中分别为的倾斜角，则我们有如下框架图：
.
例1。设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线的倾斜角分别为，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

例2。在平面直角坐标系中,直线与抛物线相交于不同的两点，如果,证明直线必过一定点，并求出该定点坐标.

例3.已知抛物线,过点作两直线分别与抛物线交于两个不同的点,且的斜率满足，求证：直线过定点。

六． 斜率之和为零
【框架】是椭圆上一定点，是上两个动点；和分别表示直线与直线的倾斜角,则有如下所示的框架图：
.
例1。已知椭圆及定点,是上的两个动点；如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值。

例2。已知是长轴为4，焦点在x轴上的椭圆上的三点,点是长轴的一个顶点，过椭圆的中心，且。
(1)求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上的两点,使得的平分线垂直于，问是否总存在实数，使得？说明理由。

【框架】是抛物线上一定点，是上两个动点；和分别表示直线与直线的倾斜角，则有如下所示的框架图：
。
例1。过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值并证明直线的斜率是非零常数.

例2。是抛物线上的一点，动弦分别交轴于两点，且，若为定点，证明：直线的斜率为定值.

七． 多条直线与曲线相交的应用
例1.已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，设过点的直线与椭圆分别交于点，其中,求证：直线必过轴上的一定点。

例2。如图所示，椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于两点,并且与x轴交于点，直线与直线交于点，当点异于两点时，求证：.

例3.如图,已知椭圆方程为的上下顶点分别为，直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点,求证:三点共线。

例4。如图，已知抛物线的焦点为,过点的直线与相交于两点，点关于x轴的对称点为，证明：点在直线上.
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