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第二章 一阶微分方程的初等解法
2-1 已知试求函数的一般表达式。
解 对方程，两边关于求导得
，
即
，
分离变量，可求得
，
代入原方程可得，从而的一般表达式为。
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。
2-2 求具有性质的函数，已知存在。
解 由导数的定义可得

，
显然可得，故

分离变量，再积分可得
，
再由，知，从而 。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若，证明齐次方程有积分因子。
证 方法1 用凑微分法求积分因子。
我们有恒等式

而
，
，
所以原方程变为
。
用乘上式两边，得
，
由于为零次齐次函数，故它可表成的某一函数，记为，
，
原方程进一步可改写成
，
它为一个恰当方程，表明为齐次方程的积分因子。
方法2 化为分离变量方程求积分因子。
设是次齐次函数，则令， ，有

将其代入原方程中，得
，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子，
方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是。
方法3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 满足
即可。为此，我们计算
，
，

，

由于为齐次方程，令
显然
，
，
故
，
因而是齐次方程的积分因子。
评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程，除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个积分因子 ，将其转化为恰当方程来求解。
2-4 解方程。
解 由题得
，
这是以为未知函数和以为自变量的迫努利方程，则有
，
令，
，
而的解为。
采用常数变易法，令代入中得
，
故，
从而原方程的解为
。
评注：在微分方程中，变量与具有同等的地位，对同一个方程，既可以就求解，也可以就进行求解，如果方程就求解比较困难，可以尝试将原方程变化为，然后就进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题2-15，4），和2-16，4）。
2-5 试导出方程分别具有形为和的积分因子的充要条件。
解 根据判别准则（定理2.1），是方程的积分因子的充要条件是
。
则有
，
即
，
，
因此方程具有形如的积分因子的充要条件是
。
是方程的积分因子的充要条件是

即
，
，
因此方程具有形如的积分因子的充要条件是
。
评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从而给出求积分因子的思路。
2-6 设及连续，试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子。
证 必要性。若方程为线性方程，则方程可写为
，令
，
由题有连续，，
由定理2-2的结论1方程有积分因子，仅依赖于。
充分性。设方程有仅依赖于的积分因子，即

为恰当方程，有
，
，
，
上式右端仅为的函数，令其为，积分上式，得
，
故该方程为线性方程。
评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。
2-7 设函数连续、可微且，试证方程有积分因子。
证 方法1 用积分因子定义证明。
令

，
故该方程有积分因子。
方法2 利用变量代换方法证明。
令，，代入方程消掉一个变量，有
，
，
这是分离变量方程，只要给两端乘以因子就可分离变量，从而变为恰当方程。
所以原方程的积分因子为。
评注：求积分因子时，注意整体变量代换。
2-8 假设方程

中的函数满足关系，其中分别为和的连续函数，试证方程有积分因子。
证 由于

故是方程的积分因子。
评注：给出了积分因子的一种构造方法。
2-9设是方程的积分因子，从而可得可微函数，使得。试证也是方程的积分因子的充要条件是，其中是的可微函数。
证 必要性。若也是方程的积分因子，则存在可微函数，使得，即有
，
则，即是的函数，当然也是的函数，且记为，由于积分因子的可微性，是可微函数。
由，则。
充分性。证明是积分因子。为此将其乘以方程两端得
，
，
，
。
即存在二元可微函数，使得，故是方程的积分因子。
评注：这个结论告诉我们，方程的积分因子之间的关系。若知道一个积分因子，则可构造该方程积分因子的通式。在寻找方程的积分因子时，常用到此结论，可参见例2-5和例2-6。
2-9 设是方程的两个积分因子，且常数，求证是方程的通解。
证 由于是方程的两个积分因子，由定理2.2有
。
同时，若常数，则，只要证明这个全微分沿方程的解恒为零即可，即有

故是方程的通解。
2-10 假设齐次方程是恰当方程，当时，试证它的通解可表示为。
证 令。
要证明为方程的通解，就是要证明全微分沿方程的解恒为零即可。为此，计算
，
，
则有 。
即要证明
即可。
因为所给方程为恰当方程，有 ，
故有

再由为齐次方程，故令，
显然
，
故
，
故有为原方程的通解。
评注：以上两道题都是证明某二元函数为方程的通解（或通积分）的问题。这就是要证明全微分沿该方程的解恒为零，即证明，或即可。
2-11 求解下列隐式方程
1）， 2）
3） 4）
5）
解 1） 令，代入方程，得
，
由，积分得
，
方程参数形式的通解为
。
2） 令，则有
，
，
方程参数形式的通解为，。
3） 令 ，则，
，
由于，
积分上式得
，
故方程参数形式的通解为 。
4） 令，得 ，
将解出得
（1）
给(1)式两边关于求导，得
，
即 ，
由 ，得
，
，
，
代入（1）得 ，即得方程的通解为
。
又由 ，得 ，故得也是方程的解。
5） 令，则有
，
，
由于 ，
，
，
由，消去参数得原方程的通积分为 。
评注：根据方程的特点，通过引入适当的变换，可以求得原方程的参数形式的通解，寻找适当变换是求解的关键。这类不显含（或）的方程，如果从方程中能解出或（或）的关系，方程将转化为显式方程或将（或）解出的方程，从而按照相应的方法求解。否则，我们就要引入变换，其目的在于通过这个便量代换，将方程中的，（或）从方程中解出，用新的参变量表示，然后再求方程的解。
2-12 解下列方程
1） 2）
解 1） 解法1（降次法）方程可化为
，
，
令方程可化为下列迫努利方程
，
从而得
，
令，则
，
此方程的通解为
，
故原方程的通积分为 ，另外还有也是方程的解。
解法2 给方程两端同乘以得
，
，
令，则 ，方程可化为分离变量方程

分离变量，再积分得
，
故原方程的通积分为 ，另外还有也是方程的解。
2）解法1 （降次法）原方程可化为
，或
，
令方程化为下列可转化为齐次方程的方程
。
解此方程得其通解为，因此，原方程的通解为
。
解法2 将原方程转化对称形式为

易判断此方程为恰当方程，因而方程的解为
。
评注：当方程中自变量和未知函数的次数较高时，我们仿照此例的方法可先设法“降次”，有可能化为可积方程，然后积分求解，这也是求解常微分方程常用的技巧。但有时将方程转化为对称形式后，有意想不到的结果。若判断方程是恰当方程，则可直接得到方程的通解，如果不是，再尝试用其它方法求解。
2-13解下列方程
1） 2）
3） 4）
5）
解 1） 容易观察方程有积分因子，乘以方程两端得
，
，
故原方程的通积分为 。
2） 原方程各项重新组合得
，
容易观察方程有积分因子，乘以方程两端得
，
，
故原方程的通积分为 ，还有解 。
3） 原方程各项重新组合得
，
，
容易观察方程有积分因子，乘以方程两端得
，
即 ，
故原方程的通积分为 ， 即 。
4） 原方程各项重新组合得
。
容易观察方程有积分因子，乘以方程两端得
，
即 ，
故原方程的通积分为 ，即 ；还有解 。
5） 原方程各项重新组合得

容易观察方程有积分因子，乘以方程两端得
，
即
，
故原方程的通积分为 。
评注：注意利用微分式
，， ，
， ， 。
2-14解下列方程
1） 2）
3）
解 1） 令 ，则
，
分离变量得
，
积分得 ，
即 ，
故原方程的通积分为
，
还有解 。
2） 原方程变形为 ，
令 ，则 ，
，
分离变量得
，
积分得
，
。
故原方程的通积分为 。
3） 原方程变形为 ，
令 ，则 ，
，
，
故原方程的通积分为 。
评注：在解一阶常微分方程时，经常利用整体代换的思想化简方程，从而达到求解的目的。
2-15 解下列方程
1） 2）
3） 4）
解 1） 令 ，则 ，
即得
，
，
故原方程的通积分为 。
2） 令，则 ，代入方程有
，
，
积分得 ，
，
故原方程的通积分为 。
3） 原方程变形为
，
令，则 ，
，
积分得
，
即得原方程的通积分为 。
4） 方程可化为 ，
令，则 ，代入上方程得
，
，
两边积分得 ，
，
即得原方程的通积分为；另外还有解 。
评注：齐次方程是利用整体代换将原方程化简为可分离变量的方程来求解的。
2-16 解下列方程
1） 2）
3） 4）
解 1） 给方程两端同乘以，得
，
，

即得原方程的通积分为
。
2） 给方程两端同乘以，得
，
，
由公式得

即得原方程的通积分为
。
3） 原方程变形为
，
给上方程两端同乘以，得
，
，
由公式得

即得原方程的通积分为 。
4） 解法1 原方程变形为
，
给上方程两端同乘以，得

由公式得

，
即得原方程的通积分为。
解法2 因为 ，所以方程为恰当方程。这样我们可用凑微分法来求解，原方程变形为
，
，
积分可得原方程的通积分为。
评注：转换为线性方程的求解问题。
2-17 解下列方程
1 （设
2）
解 1） 由于，所以积分因子为
，
方程两端同乘以积分因子得
，
，
，
，
即原方程的通积分为 （。
2）
解 解法1 由于，所以积分因子为
，
方程两端同乘以积分因子得
，
原方程的通积分为
，
，
即得 。
解法2 原方程变形为
，

，
，
，
，
原方程的通积分为
。
评注：利用公式寻找积分因子。
2-18 解下列方程
1） 2）
解 1） 解法1 给原方程两端同乘以，方程化为
。
令，
则有
，
积分得
，即，
回代变量，得
，
而也是原方程的解，故原方程的全体解为
和。
解法2 给原方程两端同乘以，方程化为
，
观察其形式，可令，从中解得，
可化为分离变量方程
，
分离变量，再整理得 ，
积分得其通解为。
回代变量，整理得原方程的全体解为
和。
解法3 给原方程两端同乘以，原方程化为
，
进而化为
。
令，则，，将上方程化为
，
即得到分离变量的方程
，
解之得
，
故原方程的通解为 ，另外也是方程的解。
2）将方程化为对称形式 ，
即
，
给其两端同乘以，得
，
，
。
此时，令，得
，
解此方程，得其通解为。
原方程的通解为
，
另外也是方程的解。
故原方程的全体解为 。
评注：通过变量变换，降低了方程的求解难度，但是究竟采用怎样的变换，一般而言，很难直接得到适当的变换。从这里我们体会到，有时可将方程变形，在这个过程中观察其特点，寻找恰当的变换，这需要一定的经验积累。
2-19 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求得它的通解。并求解下列方程：1） 2）
证 对于黎卡提方程
，
若已知它的一个特解，令，代入原方程则有
，，
，
此方程已为关于的迫努利方程，从而可以用初等方法求解。
解方程 1）。
方程有特解，
令，可得
，
再令 ，可得
，
此方程的通解为 ，
故原方程的全体解为
和。
2） 方程有特解，令，可得
，
再令，得
，
此方程的通解为
，
故原方程的全体解为
和。
评注：黎卡提方程是一类十分重要的特殊方程，要熟练掌握已知它的一个特解，运用初等解法求得它的通解的整个解题过程。关键在于寻求方程的一个特解，这个特解通常可以采用观察法、待定函数法等方法求得。
2-20 摩托艇以5米/秒的速度在静水上运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解 根据牛顿第二定律和题设条件，有
（为比例系数），
即 （），
（1）
将初始条件 ， 代入（1）得 ，
解得
（2）
将 ， 代入（2），得 ，
。
当 秒时，（米/秒）。
故发动机停止2分钟后艇的速度约为（米/秒）。
评注：利用牛顿第二定律建立微分方程模型。