三角形的证明复习课.ppt

三角形的证明复习课在本章中你学到了什么在本章中你学到了什么？w角的平分线角的平分线w通过探通过探究究,猜测猜测,计算和证计算和证明得到定明得到定理理与等腰三角形与等腰三角形,等边三角形有关的结论等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与直角三角形有关的结论w命题的逆命题及其真假命题的逆命题及其真假w线段的垂直平分线线段的垂直平分线 全等三角形全等三角形学习目的：学习目的：1 1、会断定两个三角形全、会断定两个三角形全等等2 2、会用等腰三角形、等、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的边三角形、直角三角形的性质和断定进展证明。性质和断定进展证明。3 3、会用反证法证明命题、会用反证法证明命题的成立的成立.4 4、会用线段垂直平分线、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解角平分线定理及其结论解决问题。决问题。重点：探究证明的思路和重点：探究证明的思路和方法；方法；难点：准确地表达推理证难点：准确地表达推理证明过程。明过程。怎么证明几何命题？怎么证明几何命题？w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“和和“求证求证;w(4)分析题意分析题意,探究证明思路探究证明思路(可以由可以由“因导因导“果果综合综合w 法或者由法或者由“果逆推果逆推“因分析法因分析法);w(5)根据思路根据思路,运用数学符号和数学语言条理明晰运用数学符号和数学语言条理明晰地地w 写出证明过程写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.知识点一：全等三角形知识点一：全等三角形一般三角形一般三角形 全等的条件：全等的条件：1.1.定义重合法；定义重合法；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法分析：此题利用边角边公理证明两个三角形全分析：此题利用边角边公理证明两个三角形全等等.由题目只要证明由题目只要证明AFCE，AC例例1如图如图2，AECF，AD BC，ADCB，求证：求证：ADF CBE说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明AFCE，AC，易错点，易错点是将是将AE与与CF直接作为对应边，而错误地写为：直接作为对应边，而错误地写为：又因为又因为AD BC，？例例2：如图：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是分别是ABC和和A1B1C1的的高高.求证：求证：AD=A1D1图图3证明：证明：ABCA1B1C1AB=A1B1，B=B1全等三角形的对应边、对应角全等三角形的对应边、对应角相等相等AD、A1D1分别是分别是ABC、A1B1C1的高的高ADB=A1D1B1=90.在在ABC和和A1B1C1中中B=B1已证已证ADB=A1D1B1已证已证AB=A1B已证已证ABCA1B1CAASAD=A1D1全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形对应边上的中线角平分线呢？练一练12、如图、如图6，：，：A90，AB=BD，ED BC于于D.求证：求证：AEED提示：找两个全等三角形，需连结提示：找两个全等三角形，需连结BE.图图6知知识识点二：等腰三角形的性点二：等腰三角形的性质质定理定理性性质质：1、等腰三角形的、等腰三角形的相等，相等，即等即等边对边对2、等腰三角形的、等腰三角形的、互相重合；即互相重合；即“三三线线合一合一3、等腰三角形两底角的平分、等腰三角形两底角的平分线线，两腰上的中，两腰上的中线线,两腰上两腰上的高的高；断定：有两个角相等的三角形是等腰三断定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角角形。即等角对对。两个底角两个底角等角等角顶角平分线顶角平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高底边上的高等边等边相等相等相等相等相等相等:如图如图,点点D,ED,E在在ABCABC的边的边BCBC上，上，AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.求证求证:BD=CE.:BD=CE.A AB BC CE ED DF知知识点二、等点二、等边三角形性三角形性质和断定定理和断定定理性质定理：等边三角形的性质定理：等边三角形的都相都相等，等，都相等，并且每个角都都相等，并且每个角都等于等于；断定定理：断定定理：一个角等于一个角等于的的为等边三角形。为等边三角形。三个内角都为三个内角都为的三角形的三角形是等边三角形。是等边三角形。三条边三条边三个角三个角60等腰三角形等腰三角形6060ABCDEF：如图，在等边三角形：如图，在等边三角形ABC的三边上分别取的三边上分别取点点D，E，F，使得，使得AD=BF=CE.求证：求证：DEF是等边三角形。是等边三角形。ABCDEF知知识识点三、与直角三角形有关的定理点三、与直角三角形有关的定理1、直角三角形的、直角三角形的互余。互余。2、有两个、有两个锐锐角角的三角形是直角三角形。的三角形是直角三角形。3、在直角三角形中，假如一个、在直角三角形中，假如一个锐锐角等于角等于30，则则它所它所对对的直角的直角边边等于等于的的；4、勾股定理：直角三角形、勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方和等于的平方。的平方。5、和和对应对应相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。()6、勾股定理的逆定理：、勾股定理的逆定理：两锐角两锐角互余互余斜边斜边一半一半斜边斜边一直角边一直角边HL两条两条直角边直角边斜边斜边假如三角形两边的平方和等于第假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直三边的平方，则这个三角形是直角三角形。角三角形。1、如以下图,在 ABC中，ACB=900，A=300，CD AB于点D,试着推导出BD与AD的数量关系。ABCD2、如图，ACB=BDA=900,要使ACBBDA，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。知知识识点四、反点四、反证证法法反证法的步骤是什么？反证法的步骤是什么？第一步是假设命题结论不成立；第一步是假设命题结论不成立；第二步是推导，从假设出发，经过推理第二步是推导，从假设出发，经过推理得出与定义、根本领实、已有的定理或得出与定义、根本领实、已有的定理或者条件相矛盾的结果。者条件相矛盾的结果。第三步是下结论，得出假设命题不成立第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。是错误的，即所求证命题成立。求证：等腰三角形的底角必为锐角。求证：等腰三角形的底角必为锐角。A已知：ABC中，AB=AC。求证：B.C均为锐角BC 我思考我思考,我进步我进步w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点间隔间隔 相等相等.AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意上任意一点一点(),(),PA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点间隔点到这条线段两个端点间隔 相等相等).).ACBPMNw逆定理逆定理 到一条线段两个端点间隔到一条线段两个端点间隔 相等的点相等的点,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.w如上图如上图,wPA=PB(),PA=PB(),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端点间隔到一条线段两个端点间隔 相等的点相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).知识点五：线段垂直平分线定理定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并并且这一点到三个顶点的间隔且这一点到三个顶点的间隔 相等相等.如图如图,在在ABCABC中中,c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平分线分线,c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平分线相交于一点分线相交于一点,并且这一点到三并且这一点到三个顶点的间隔个顶点的间隔 相等相等).).A AB BC CP Pa ab bc c2.2.如图如图,在在ABCABC中中,AC=27,AB,AC=27,AB的垂直平分线的垂直平分线交交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,BCEE,BCE的周长等于的周长等于50,50,求求BCBC的长的长.BAEDC3.3.如下图，在如下图，在ABCABC中，中，BB22.5,AB22.5,AB的垂直平分的垂直平分线交线交BCBC于点于点D D，DFACDFAC于点于点F,F,并与并与BCBC边上的高边上的高AEAE交于交于G.G.求证：求证：EGEGEC.EC.1如如图图S11，在在ABC中中，DE垂垂直直 平平 分分 AC交交 AB于于 E，A 30，ACB80，则，则BCE_.5050 知识点六：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边间隔 相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.PD=PE.OCB1A2PDE逆定理 在一个角的内部,且到角的两边间隔 相等的点,在这个角的平分线上.如图,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边间隔 相等的点,在这个角的平分线上).定理:三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的间隔 相等。如图,AN,CM,BO分别是ABC的角平分线PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM交于P点,PD=PE=PF.1、如如图图S18，ADBC，点点E在在线线段段AB上上，ADECDE，DCEECB.求求证证：CDADBC.图S18解解析析 结结论论是是CDADBC，可可考考虑虑用用“截截长长补补短短法法中中的的“截截长长，即即在在CD上上截截取取CFCB，只只要要再再证证DFDA即即可可，这这就就转转化化为为证证明明两两线线段段相相等等的的问问题题，从从而而到到达达简简化化问问题的目的题的目的图图S19证明：在证明：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCEBCE(SAS)，21.AD BC，ADC+BCD180.又又ADECDE，DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDEADE(ASA)，DFDA.CDDF+CF，CDAD+BC.2、如图，在ABC中，AC=BC，C=900，AD是 ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。1CD=4cm，求AC的长；2求证：AB=AC+CD。AAC CB BDDE E3、如下图，ABCD，B=90，E是 BC的中点，DE平分ADC，求证：AE平分DAB。1、等腰三角形的性质和断定定理2、等边三角形的性质和断定定理3、直角三角形的性质和断定定理4、反证法的步骤5、线段垂直平分线的性质定理及逆定理6、角平分线的性质定理及逆定理 数学家苏步青说：学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。