函数极限的求法及应用.doc

(完整版)函数极限的求法及应用函数极限的求法及应用 摘要：在数学分析中函数极限的运算是最基本的运算之一.本文结合不同类型的函数极限的实例,给出了九种求法，同时也注明了具体应用时的注意事项。关键词：函数极限; 数学分析； 求法The Limit of Function Asks The Law and The Application Abstract： In the mathematical analysis limit of functions operation is one of most basic operations. This article unifies the different type the limit of function example, gave nine kinds to ask the law， and simultaneously has also indicated time the concrete application matters needing attention.朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典 查看字典详细内容Key words: Limit of function ； Mathematical analysis ； Solve引言朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典 查看字典详细内容函数极限问题贯穿于整个数学分析中，由此可见函数极限是数学分析中最基本、最重要的内容之一。求解函数极限的方法有带入求值法、利用两个重要极限、利用迫敛性定理、罗比达法则,而且也会运用一些特殊的方法求解函数极限.如无穷小量法、恒等变形、泰勒公式法、导数的定义.下面一一列举九种方法及其应用.1.代入求值法引理1：在点处连续,则=，则可调换与的位置。即在计算连续函数的极限时只需要求解对应的函数值即可。要想利用代人求值法要满足一个前提:初等函数在其定义域(除去以孤立点集为定义域的函数）上连续。例1 计算的值。解：因为是初等函数,而且在其定义域上上连续。又, 所以=注意：使用入求值法时，一定要确保函数在其定义域上连续2.利用两个重要极限求解在计算某些函数极限时，利用两个重要极限 和能使计算过程变得简单又清晰。故而使用两个重要极限求解是一种有效的方法。2。1 利用极限在此式子中无特定意义，它仅仅是作为一个符号。可用来代替此时式子变形为.当时,。当时，以此类推即可。进而可推广为仍然也需要满足当时，而且存在.当时，以此类推即可。例2计算解：原式= = 令 = =注意:具体利用重要极限，解题时要保证符号的统一性。 2.2 利用极限我们可将通过变形为。这两个式子的不同是由变量各自的变化趋势所决定的。在具体解题时要注意“1后所加的项与整个括号的指数项是互为倒数关系。例3计算（）.解:原式=当时，于是当时， 于是而 所以当时， 于是注意：通过上例可以看出求函数极限是的关键是设法利用恰当变形把所求函数极限化为重要函数极限的形式，然后再利用极限运算法则进行求解。3。利用迫敛性求函数极限引理2（迫敛性） 设=A,且在某内有,则=A。当计算较复杂的函数极限时，利用函数极限迫敛性与四则运算法则，先从一些简单的函数极限出发即可。此时可将所求函数极限的变量做恰当的放大和缩小，使放大和缩小所得的新变量易求值.且两者的极限值相等，则所求函数极限存在且等于公共值。尤其是在计算连乘或连加的函数极限时,可通过各因子或各项的放缩得到所要的不等式.例4 求解：因为 （)所以,当时， 当时， 于是注意：利用迫敛性计算较复杂的函数极限的关键在于对函数进行恰当的放大与收缩。4.洛比达法则以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。4。1 对于型不定式极限引理3若函数和满足: 在点的某空心邻域内两者都可导，且(为实数，也可为或)则4.2 对于型不定式极限引理4若函数和满足：在点的某右邻域内两者都可导，且(为实数，也可为或）则只要的极限值存在即可直接利用洛比达法则（即=）。另外洛比达法则仅仅适用于一元函数,在利用此法则时要先判断是否为型或型的函数极限。如果是，,，等类型，需要经过简单的恒等变形，使它们化为型或型的函数极限形式。而且只要函数极限符合洛比达法则的条件即可重复使用.例5 解：此式满足使用洛比达法则的条件且是型的, = = = =注意：在利用洛比达法则时必须保证三个条件都满足,否则就不能使用.同时要想顺利使用此方法，必须保证较容易求值。 在重复使用此方法时,每一次都要满足洛比达法则的条件,且不可乱用此法则.利用洛比达法则时，千万不要把函数作为整个分式去求导，一定要把分子和分母分别求导.5.无穷小量法 在求函数极限时，根据无穷小量的性质和无穷小量代换求极限会使计算过程更为简便,易于求值.5.1 定义 ,若则称为时的无穷小量.由此定义了可知如下两个性质。其一，有限个(相同类型的)无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。如。其二，无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量。如。5。2 利用等价无穷小量替换求函数极限在求两个函数乘积的极限时，常常可以用等价无穷小量来代替。既能使函数简化又能迅速求值。常用的等价无穷小量有：,、 、 例6 计算解：时,原式=又且故注意：在函数极限中相乘或相除的因式可直接利用等价无穷小代替，但对于函数极限中的加、减项却不能随意代替，只有整体代换方可。6.恒等变形法在求函数极限时,利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法、有理化、比较最高次幂法等.6。1 约分法适用于计算型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子)时，可通过约简式计算极限值。例7 计算的值（为正整数）. 解：原式= = =注意：要首先将分子分母因式分解，找到公因子(特别是零因子),接着即可约去公因子，求函数极限。6.2 有理化法 在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题。例8 （其中) 解：原式= = =注意：此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化。6.3 比较最高次幂法此方法是指除以分子分母的最高次幂来计算函数极限.例9 设， ，,，。解：因为 则=7。泰勒公式法函数的泰勒多项式是近似表示函数的有力工具，因此在求函数极限时使用泰勒公式更方便求值。例10。求极限解：当时,有，故有展开式,所以=注意:根据具体的题目灵活的利用泰勒公式,使函数的展开式中的次数够用即可。8。 利用导数的定义求函数极限在计算某些函数极限时，可通过导数的定义使计算过程简化。这也是一种巧妙而简便的方法。例11 设函数在点处可导，求解:由在点处可导，知：=9. 利用积分中值定理积分中值定理在计算某些特殊函数极限时是一种非常有效的手段,它们可求解某些较难的函数极限。 若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在，使得.例12。计算解：设，易知,在连续，在可微且在上不变号由积分中值定理，得 则, 故 =0结束语：函数极限是数学分析中重要的内容,它的求解方法也多种多样，对于具体的极限问题，我们需要选择合适的方法求值。参考文献：华东师范大学数学系。数学分析M.北京:高等教育出版社，2007.彭英.浅谈两个重要极限的应用J。太原科技大学应用科学学院，2008.费定晖。编演吉米多维奇数学分析习题集题解M.济南:山东科学技术出版社，1999。崔宝同,王海滨等编著。数学分析的理论与方法M。北京:科学技术文献出版社，1990.薛宗慈，曾昭著等编.数学分析习作课讲义上册M. 北京:北京师范大学出版社.夏桂梅.第二重要极限的推广及应用技巧J。山西广播电视大学，2004。12第6期.张芳。无穷小量在型极限中的应用J.高等数学研究,2005。9。薛加强主编.数学(专业模块）M。北京：中国发展出版社,2009。姚云龙编著。数学分析M.上海:复旦大学出版社,2002.欧元光中，姚云龙编著.数学分析(上册)M。上海:复旦大学出版社，1999。李成章,黄玉民编.数学分析（上册)M。北京科学出版社,1999.龚怀云主编数学分析M。 西安：西安交通大学出版社，2000.11