函数的单调性的题型分类及解析.doc

word完整版)函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义：
（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称
函
数在区间M上是减函数，如图（2)

注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征:函数单调性定义中的x1，x2有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．
1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减）函数且f（x1)x2）
2、 我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？
3、 如果将增函数中的“当时，都有"改为当时，都有结论是否一样呢?
4、 定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f（x）是增函数，若即,则函数y=f(x)为减函数.
判断题：

①已知因为,所以函数是增函数．
②若函数满足则函数在区间上为增函数．
③若函数在区间和上均为增函数,则函数在区间上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数。
通过判断题,强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数)，可以是定义域内某个区间（如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数）．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
（2)单调区间
如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区
间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间．
函数单调性的性质：
（1）增函数:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
， 当时都有，
（2)减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值,当时， 都有,
(3) 函数的单调性还有以下性质．
1．函数y＝－f(x)与函数y＝f(x）的单调性相反．
2．当f(x)恒为正或恒为负时,函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．
3．在公共区间内,增函数＋增函数＝增函数,增函数－减函数＝增函数等．
4 .如果k〉0 函数k与函数具有相同的单调性。
如果k<0 函数k与函数具有相反的单调性。
5。.若0，则函数与具有相反的单调性,。
6. 若>O，函数与函数具有相同的单调性。
若 〈0,函数与函数具有相同的单调性
7。.函数在R上具有单调性，则在R上具有相反的单调性。

复合函数的单调性。
如果函数 ，则

称为x 的复合函数.
解决复合函数的问题,关键是弄清复合的过程，即中间变量的定义域与值域的作用。

复合函数的单调性的判断:同增异减。
函数
单调状况
内层函数
增
增
减
减
外层函数
增
减
增
减
复合函数
增
减
减
增

函数的单调性题型分类讲解
题型一：。单调性讨论
1。讨论函数y=（k—2)x+3（a≠0)在区间R内的单调性.

2。讨论函数f(x）＝ （a≠0）在区间（-1,1)内的单调性。
解：设—1＜x1＜x2＜１，则f（x1)—f（x2)＝—＝
∵x1,x2∈(—1，1),且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0
于是,当a＞0时，f(x1)＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2).
故当a＞0时,函数在(—1,1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1）上为减函数。

题型二：单调性判断与证明
1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是
A．y＝|x2－1｜ B. C．y＝2x2－x＋1 D．y＝｜x|＋1

题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3｜

2.判断函数f（x）=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论;如果x∈（0,＋∞），函数f(x）是增函数还是减函数？

题型四：。已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
若函数y＝ax,y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性)． 

设y=f(x)的单增区间是（2，6），求函数y=f(2－x)的单调区间．
上是单调递减的。
）
，
（－
在
，
由复合函数单调性可知
是单减的，
上
在
又
）
，
（－
）
，
（
而
）上是增函数，
，
（
在
则由已知得
解：令
0
4
)]
(
[
)
2
(
)
0
,
4
(
2
)
(
0
4
6
2
2
)
(
6
2
)
(
,
2
)
(
Î
=
-
-
Î
-
=
Î
\
Î
-
=
Î
-
=
x
x
t
f
x
f
x
x
x
t
x
x
x
t
t
t
f
x
x
t

解：令t（x）=2-x,则由已知得，f(t)在区间是（2，6)，

设函数y＝f(x)是定义在(－1，1）上的增函数,则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________
已知函数f（x）=8＋2x－x2，如果g(x)=f（ 2－x2 ）,那么函数g(x) ( )
A．在区间（－1，0）上是减函数 B．在区间（0，1)上是减函数
C．在区间（－2，0)上是增函数 D．在区间（0，2)上是增函数
设是上的减函数，则的单调递减区间为 .

题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。
已知函数f(x）＝x2+2（a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .
已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________
函数f（x） = ax2＋4（a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减,则a的取值范围是__ ．

函数在区间（—2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（　）
A。　　　　　 B。 C.a<—1或a>1　　　　　　 D.a>-2
解：f(x)＝＝＝＋a。

任取x1，x2∈(－2,＋∞)，且x1〈x2，则f（x1)－f(x2）＝－ ＝。
∵函数f(x）＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f（x1)－f(x2)<0。
∵x2－x1>0，x1＋2〉0,x2＋2>0，∴1－2a〈0,a〉. 即实数a的取值范围是。

题型六:函数单调性的应用
11．已知f(x)在区间（－∞,＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f(a）＋f（b)≤－f（a）＋f（b）］ B．f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）
C．f(a）＋f（b)≥－f(a）＋f(b）] D．f（a）＋f（b)≥f（－a)＋f（－b）
12．定义在R上的函数y=f(x)在（－∞，2）上是增函数，且y=f(x＋2）图象的对称轴是x=0,则 （ )
A．f（－1)＜f（3) B．f (0)＞f(3) C．f （－1）=f (－3） D．f(2）＜f(3)

已知函数f（x）在区间［a，b]上单调，且f（a)f（b）＜0，则方程f(x）=0在区间［a，b］内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根

题型七:已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。
7．已知函数f(x）是R上的增函数,A（0，－1）、B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式 ｜f(x＋1）|＜1的解集的补集是 ( ）
A．(－1,2） B．（1，4)
C．(－∞，－1）∪[4，＋∞） D．(－∞，－1）∪［2，＋∞）

已知：f(x)是定义在［－1，1]上的增函数,且f(x－1）〈f（x2－1）求x的取值范围．
已知函数f(x）＝若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是（　　）
A．(－∞，－1)∪（2，＋∞) B．（－1,2) C．（－2,1） D．(－∞，－2)∪(1,＋∞)

解析:f(x)＝由f（x)的图象可知f（x)在（－∞，＋∞）上是单调递增函数,由f(2－a2）>f(a)得2－a2〉a,即a2＋a－2<0,解得－2〈a〈1.故选C。
8。已知f(x)在其定义域R+上为增函数,f(2)=1,f(xy）=f(x)+f(y)，解不等式f（x）+f(x－2） ≤3

题型八:已知函数的单调性求最值
已知x∈[0,1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________

函数y=x－2＋2的值域为__ ___．

题型九:综合题型
已知定义在区间（0，+∞)上的函数f（x）满足f(=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0。
（1)求f（1）的值；
(2)判断f(x）的单调性;
（3）若f（3）=—1，解不等式f(｜x|）＜—2。

(1）f(1) = f（1/1） = f（1） - f（1） = 0.
（2)当0 < x 〈 y时，y/x 〉 1，所以f(y） — f(x） = f(y/x） 〈 0 .故f单调减。
（3)f（3） = -1，f（3) = f(9/3） = f(9) — f（3），f（9） = -2而 f（｜x｜）＜—2 = f(9），且f单调减，所以｜ x ｜ 〉 9 x＞9或x＜—9

。函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b）=f(a）+f(b）—1，并且当x＞0时,f（x)＞1。
（1）求证:f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4)=5，解不等式f（3m2—m-2)＜3。

（1)设x1,x2∈R，且x1＜x2， 则x2—x1＞0,∴f(x2—x1)＞1。
f（x2）-f(x1）=f((x2-x1）+x1)-f(x1)
=f（x2—x1）+f（x1）-1-f（x1）
=f(x2—x1)-1＞0。
∴f（x2）＞f(x1）。即f（x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f(2+2）=f（2）+f(2)-1=5，∴f（2)=3,∴原不等式可化为f（3m2—m-2)＜f（2）,
∵f（x）是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,

解得-1＜m＜ ,故解集为 .
设f（x)的定义域为(0，+∞），且在（0，+∞)是递增的，
（1）求证：f（1)=0，f（xy）=f(x）+f（y）；
（2）设f（2）=1，解不等式.
（1）证明：,令x=y=1,则有:f（1）=f（1)—f(1）=0,
.
（2）解:∵，
∵2=2×1=2f（2）=f(2）+f（2)=f（4），
∴等价于：①，
且x>0，x-3〉0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得
∵，4〉0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴①。又x>3，∴原不等式解集为：｛x｜3〈x≤4}。
12。已知函数f（x)＝（a≠1)．
（1）若a〉0，则f（x）的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：
(1)当a>0且a≠1时,由3－ax≥0得x≤,即此时函数fx)的定义域是；
（2)当a－1〉0,即a〉1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0,此时1〈a≤3。
当a－1〈0，即a〈1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a〉0，此时a〈0.
综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞,0)∪（1,3］．

13。 定义在上的函数，,当时，，且对任意的，有。 (1）求的值；(2)求证：对任意的，恒有;（3）若，求的取值范围.
解:（1)解：令，则　又，.
（2）证明：当时，，∴　∵，∴　又时,　　∴对任意的，恒有.
(3）解：设，则. ∴。 又
　∴　
　　　　　　　　　=
　∴　。∴　是上的增函数。　　由，得　。∴　，∴∴所求的x的取值范围为
14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f（x)＋f（y)＝f（x＋y)，且当x〉0时，f（x）<0，f(1）＝－。
(1）求证：f(x）在R上是减函数；
(2)求f（x)在［－3,3]上的最大值和最小值．

（1)解法一：∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f（x＋y)，
∴令x＝y＝0,得f（0)＝0.再令y＝－x,得f(－x）＝－f（x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2〉0，f（x1)－f（x2）＝f（x1)＋f(－x2)＝f（x1－x2)．
又∵x〉0时，f（x）<0，而x1－x2〉0,∴f（x1－x2）<0，即f(x1)0时，f(x）<0,而x1－x2〉0,∴f（x1－x2)<0，即f(x1)〈f（x2)，∴f（x）在R上为减函数．
（2)∵f(x)在R上是减函数，∴f（x)在[－3，3］上也是减函数,∴f(x)在[－3,3］上的最大值和最小值分别为f（－3）与f（3）．而f（3)＝3f(1）＝－2,f（－3）＝－f（3)＝2。∴f(x）在［－3,3］上的最大值为2，最小值为－2。

17。F(x）是定义在（ 0，＋∞）上的增函数,且f() = f（x）－f(y)
(1)求f(1）的值．
(2)若f（6）= 1，解不等式 f（ x＋3 ）－f（) ＜2 ．
解析：①在等式中，则f（1)=0．
②在等式中令x=36,y=6则
故原不等式为：即f[x(x＋3）］＜f（36），
又f（x)在（0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：

22．已知函数f（x）=，x∈［1,＋∞］
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2)若对任意x∈[1，＋∞，f(x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析： （1）当a=时，f（x）=x＋＋2，x∈1，＋∞)
设x2＞x1≥1，则f（x2)－f(x1)=x2＋=（x2－x1）＋=（x2－x1）（1－）
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0,则f(x2)＞f（x1）
可知f（x)在［1，＋∞）上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f（1）=．
(2)在区间［1，＋∞上，f（x）=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=（x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞）上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a,于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f（x)＞0恒成立．故a＞－3．