圆锥曲线与向量的综合性问题.doc

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圆锥曲线与向量的综合性问题
一、常见基本题型：
在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。
(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，
例1、设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．
当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程;
解：（解法一）,故为的中点．
设，由点在轴的负半轴上，则
又，
又,
所以,点的轨迹的方程为
（解法二），故为的中点．
设，由点在轴的负半轴上，则 -
又由,故,可得
由,则有,化简得：
所以,点的轨迹的方程为
例2、已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点 重合，离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆 于、两点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设点,且，求直线的方程；
解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为,因为的焦点坐标为,所以
因为，则，
故椭圆方程为:
（Ⅱ)由（I）得，设的方程为（）
代入，得，
设则，

所以直线的方程为
（2）所求问题以向量的形式呈现
例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是
（1）求椭圆E的方程;
(2)过点C（—1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上 是否存在点M，使为常数？若存在,求出点M的坐标;若不存在，请 说明理由。
解:(1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，
且

故所求方程为即，
(2）假设存在点M符合题意,设AB：代入
得：
则

要使上式与无关，则有
解得，存在点满足题意。
例4、线段过y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、 到y轴的距离之差为.
（Ⅰ）求出以y轴为对称轴，过、、三点的抛物线方程；
Ⅱ）过该抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线,设 其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值.
解：（Ⅰ）设所在直线方程为，抛物线方程为,
且， ，不妨设，
即
把代入得
，
故所求抛物线方程为
(Ⅱ）设，
则过抛物线上、两点的切线方程分别是 ，
两条切线的交点的坐标为
设的直线方程为，代入得
故的坐标为　点的轨迹为

而
故
(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现
例5、在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上 滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程;
（II）经过点（0,1）作直线l与曲线E相交于A、B两点,当点 M在曲线E上时，求的值．
解：（Ⅰ）设C（m,0），D(0,n),P(x，y)．
由＝，得(x－m，y)＝（－x，n－y），
∴得
由|｜＝＋1，得m2＋n2＝（＋1)2，
∴(＋1）2x2＋y2＝(＋1）2,
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝＋，知点M坐标为（x1＋x2，y1＋y2）．
设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－．
y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝，
由点M在曲线E上,知(x1＋x2）2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2．
这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1）(kx2＋1)＝（1＋k2）x1x2＋k(x2＋x2）＋1＝－，
（x＋y）（x＋y)＝(2－x)（2－x)＝4－2（x＋x)＋（x1x2）2
＝4－2［(x1＋x2）2－2x1x2]＋(x1x2）2＝,
cosá,ñ＝＝－．

二、针对性练习
1. 已知圆M：及定点，点
P是圆M上的动点，点Q在NP上,点G在MP上,
且满足
（1）求点G的轨迹C的方程；
(2）过点K（2，0)作直线与曲线C交于A、B两点,
O是坐标原点,设 ,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角
线相等？若存在，求出直线的方程； 若不存在,说明理由.
解:(1)由为PN的中点，且是PN的中垂线,
∴＞
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又
∴
（2） ∵。四边形OASB为平行四边行，
假设存在直线1，使四边形OASB为矩形
若1的斜率不存在，则1的方程为
由＞0。
这与相矛盾， ∴1的斜率存在.
设直线1的方程
，化简得:
∴
∴
由∴
∴存在直线1:或满足条件.
二、针对性练习
1。已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，
（)两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2)为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
解：（1)直线AB的方程是，与联立，
消去，得，所以，
由抛物线定义得：，所以p=4,
抛物线方程为:
(2）由p=4,化简得，
从而,从而A(1，）,B(4，）
设=，
又因为，即8(4)，
即，解得
2、在平面直角坐标系内已知两点、，若将动点的横坐标保持不变， 纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足。
（Ⅰ）求动点所在曲线的方程；
（Ⅱ)过点作斜率为的直线交曲线于、两点,且， 又点关于原点的对称点为点,试问、、、四点是否共圆？若共 圆，求出圆心坐标和半径;若不共圆，请说明理由。
解（Ⅰ）设点的坐标为，则点的坐标为，
依据题意，有

动点所在曲线的方程是
（Ⅱ)因直线过点,且斜率为，故有
联立方程组，消去，得
设、,可得，于是.
又,得即
而点与点关于原点对称,于是,可得点
若线段、的中垂线分别为和，,则有

联立方程组,解得和的交点为
因此，可算得

所以、、、四点共圆，且圆心坐标为半径为