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易错题解析
例题1　在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围.
错解：∵.则
,由于cosA在（0°,180°)上为减函数且
又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边,而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误.
正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a为最大边，∴A＞60°.因此得A的取值范围是（60°,90°)。
例题2　在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
错解:由正弦定理,得 即
。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

辨析:由，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。
正解:同上得,∴2A＝
或.
∵或。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
例题3　在△ABC中，A＝60°,b＝1，,求的值。
错解：∵A＝60°,b＝1,，又,
∴，解得c＝4.
由余弦定理,得
又由正弦定理,得。 ∴.
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的.
正解：由已知可得。由正弦定理，得
。。
例题4　在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值.
错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°,B＝150°－A。
由正弦定理，得，

又∵∴。
故的最大值为。
辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系.这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量,sinA与sin(150°－A）不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错误的。
正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理,得
因此

∴a＋b的最大值为。
例题5　在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°,求A。
错解：由余弦定理，得
∴。
又由正弦定理，得 而。
辨析:由题意,∴.因此A＝150°是不可能的.错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题,避免错误发生。
正解：同上， 。
例题6　在△ABC中，,判断△ABC的形状。
错解：在△ABC中，∵，由正弦定理
得
∴ ∴A＝B且A＋B＝90°
故△ABC为等腰直角三角形。
辨析:对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义,导致结论错误。
正解：在△ABC中，∵，由正弦定理，
得。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
例题7　若a，b，c是三角形的三边长，证明长为的三条线段能构成锐角三角形。
错解:不妨设，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。
。
由于a,b，c是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有，即。
∴长为的三条线段能构成锐角三角形。
辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。
正解：由错解可得
又∵
即长为的三条线段能构成锐角三角形。
典型题
1、若的内角满足，则
A. B． C． D．
解:由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，
又，故选A
2、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则
A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形
解：的三个内角的余弦值均大于0,则是锐角三角形，若是锐角三角形，由,得，那么，，所以是钝角三角形.故选D。
3、的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为
(A) （B) (C) （D)
【解析】,利用余弦定理可得，即,故选择答案B.
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力.
4、已知等腰的腰为底的2倍,则顶角的正切值是(　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：依题意，结合图形可得，故，选D
5、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且,则
A． B． C． D．
解：中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.
6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=，b=1，则c=
(A) 1 （B）2 (C）—1 （D）
解：由正弦定理得sinB＝，又a〉b,所以A>B,故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B
7、设分别是的三个内角所对的边，则是的
（A）充要条件 （B)充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
解析:设分别是的三个内角所对的边，若，
则，则,
∴ ，，
又，∴ ，∴ ，,
若△ABC中,，由上可知，每一步都可以逆推回去,得到，
所以是的充要条件，选A.
8、在中,若,则的大小是___________。
解: Ûa：b：c＝5:7:8设a＝5k,b＝7k，c＝8k， 由余弦定理可解得的大小为.
9、在ABC中，已知,b＝4，A＝30°，则sinB＝ .
解由正弦定理易得结论sinB＝。
10、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°,B＝45°，则AC＝　　　　
【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，解得
【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理
11、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
解析： 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得
AD为边BC上的中线可知BD=2，由余弦定理定理可得。
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理，难度中等。
12、在△中,已知，三角形面积为12，则 。
解：由三角形面积公式，得,即．
于是从而应填．

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