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Unit11 传递函数和拉普拉斯变换
传递函数
若已知图2-1所示线性系统的输入输出关系，该系统的特点也就知道了。在拉普拉斯域里输入输出关系叫做传递函数（TF或者G增益）。通过定义，一个元件或系统的传递函数是输入的拉氏变换形式与输出的拉氏变换形式的配给量：
公式2—1
这个传递函数的定义要求系统是线性的和定常的，并且有连续的变量和零初始状态。当系统有多个参数并且缺少或忽略传输延迟时,这个传递函数是最有用的。在这些条件下传递函数可被表示为两个关于复拉普拉斯变量s的多项式之比，或者Function（式2—2）。
对于物理系统，自然
2、特性通常为积分形式而不是微分形式，故N（s)比D（s)的阶数低.在传递函数中将拉普拉斯变量s用jωt代替可得到在频域中使用的频率传递函数（FTF）,稍后将会被表示出来。
在式2-2中，传递函数的分母D(s)称为特征函数,因为它包含了系统所有的物理特性。特征方程由令D（s）等于0得到。特征方程的根决定了系统的稳定性和任何输入的暂态响应的一般特性。分子多项式N（s)是一个反映输入如何进入系统的函数。因此,N（s)和特定的输入一起决定了每个暂态模式的大小和符号,并且建立了暂态响应的模型以及输出稳态值.
对于一个闭环系统,传递函数为：
公式2-3
其中W(s)是闭环传递函数，G(s）H(s）成
3、为开环传递函数，1+ G(s)H（s）是特征函数。
传递函数可通过几种方法得到。一种方法是将描述元件或系统的微分方程进行拉普拉斯变换并解出传递函数，这种方法是单纯的数学方法，仅由拉普拉斯变换和非零初始条件组成，非零初始条件将作为额外输入。第二种方法是根据实验得出的.一个已知输入(通常用正弦输入或阶跃输入）应用于系统时，测量输出，则传递函数由操作数据和已知的个别元件的传递函数的组合构成。这种组合或归纳过程叫做代数方程图.
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换来自工程数学领域,在分析和设计线性系统时非常有用.普通的具有常数系数的微分方程转换为可求得传递函数的代数方程。此外,拉式域是一个很好地工作空
4、间,在拉式域里传递函数可以很容易地被处理、改进和分析。设计者实际上不用解出系统方程，很快变得擅长将拉式域的变化和时域的状态联系起来。当要求时域的解时，拉普拉斯变换的方法简单直接.这个解是完整的，包括齐次解（暂态)和特定解（稳态），且自动包含初始状态.最后,很容易从拉式域转移到频域。
拉普拉斯变换是单边傅里叶积分的演变形式，定义式为
公式2—4
其中F（s)是f（t)的拉普拉斯变换，反过来，f(t)是F(s)的拉普拉斯反变换，关系式表示为
公式2-5
符号s是拉普拉斯变量，它是一个复变量(σ+jω）；s有时候涉及到复频率,因此拉普拉斯域又叫做复频域。
由于式2-4是非奇异的，所以不是
5、所有的函数都可以进行拉普拉斯变换；幸运的是，控制系统设计者所感兴趣的函数通常是非奇异的。若条件存在，理论的证明和其他拉普拉斯变换的运用在工程数学上可以建立为标准问题。
式2-4的定义式可用来建立可能遇到或用到的函数的拉普拉斯变换.为方便起见，我们常常构造一个变换对表,这个表使得变入和变出拉式域简单化。
下面是拉普拉斯变换的一些重要且有用的特定理论和性质.
1、 线性性质和叠加性质 公式blabla，其中c和ci是常数。
2、 微分性质和积分性质：派生的拉式变换关于时间响应可表示为:
公式blabla
其中f（0）、df(0）等是初始条件，若初始条件为0，同控制系统的分析和设计的一般
6、情况一样，最后公式可归纳为：
公式blabla
拉普拉斯变换的积分为
公式blabla
零初始条件时也可归纳为F(s）/s。
3、 初值定理和终值定理：初值定理描述如下
公式blabla
在逆变换的时候也很有用.终值定理描述如下
公式blabla
其中fss为f(t)的稳态值。
4、 平移定理:平移定理描述如下
公式2-6
公式2-6表明在拉式域里平移一个单元会导致在时域里乘以.第二个平移定理描述为
公式blabla
这个定理在转换延迟输入或信号时很有用，例如传输延迟和解析函数表示的分段连续输入。
建模
解析的技巧要求用数学模型。对于具有有限个微分方程和代数方程图的线性定常系统的分析和设计，传递函数是一个很方便的模型。从描述一个特定设备、过程或元件的微分方程或积分—微分方程,用拉普拉斯变换和它的性质可推导传递函数,下面举一个简单的例子来说明:
如图2-2所示电路，输出电压uc由输入电压u激励，根据基尔霍夫定律，uc和u之间的关系可写为
公式blabla
用以上理论,在零初始条件下方程可变换为
公式blabla
解出输出拉式变换和输入拉氏变换的比值得出系统的传递函数
公式blabla
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