2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一(下)期末数学试卷.doc

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）不等式的解集为　　
A．， B．，
C．，， D．，
2．（4分）已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数的值为　　
A． B．4 C．4或 D．
3．（4分）设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为　　
A．65 B．62 C．59 D．56
4．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
5．（4分）设等差数列的前项和为，若，，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（4分）若直线与直线关于点对称，则直线恒过点　　
A． B． C． D．
7．（4分）在中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，，，则　　
A． B．2 C． D．
8．（4分）设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等．
其中正确命题的序号是　　
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
9．（4分）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
10．（4分）设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为　　
A． B．4 C． D．
11．（4分）若实数，满足，则的最小值为　　
A．4 B．8 C．16 D．32
12．（4分）在中，，，角的平分线，则长为　　
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设等比数列的前项和为，若，，则的值为　　．
14．（5分）过点直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当最小时，直线的一般方程为　　．
15．（5分）已知，，，是球的球面上的四点，，，两两垂直，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为　　．
16．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若的面积为，且，，成等差数列，则最小值为　　．
三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17．（10分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．

18．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．

19．（14分）如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．
（1）证明：；
（2）求证：．

20．（14分）已知．
（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．

21．（16分）在平面直角坐标系中，已知点，，坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点．
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值．

22．（16分）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）不等式的解集为　　
A．， B．，
C．，， D．，
【解答】解：根据题意，且，
解可得：，
即不等式的解集为，，
故选：．
2．（4分）已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数的值为　　
A． B．4 C．4或 D．
【解答】解：由已知可得：，解得，或．
故选：．
3．（4分）设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为　　
A．65 B．62 C．59 D．56
【解答】解：，
，
．
故选：．
4．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为：．
所以棱锥的高为：．
所以棱锥的体积为：．
故选：．
5．（4分）设等差数列的前项和为，若，，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：等差数列的前项和为，，，
，
解得．
故选：．
6．（4分）若直线与直线关于点对称，则直线恒过点　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线恒过点．
设点关于点的对称点为，
则，解得，．
直线恒过点．
故选：．
7．（4分）在中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，，，则　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：，，
三角形的面积，
．，
，
，
由余弦定理可得，，
，
，
故选：．
8．（4分）设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等．
其中正确命题的序号是　　
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则或，因此不正确；
②若，，则，正确；
③若，，，则，或，或与相交，因此不正确；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等，正确．
其中正确命题的序号是②④．
故选：．
9．（4分）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：在长方体中，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，，，，0，，
，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．

10．（4分）设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为　　
A． B．4 C． D．
【解答】解：联立，解得，．可得．
直线化为：，因此直线经过定点．
到直线的距离最大值为．
故选：．
11．（4分）若实数，满足，则的最小值为　　
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：实数，满足，，．
则，当且仅当，时取等号．
的最小值为8．
故选：．
12．（4分）在中，，，角的平分线，则长为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：中，由正弦定理可得，，
，
，，，
，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设等比数列的前项和为，若，，则的值为　16　．
【解答】解：等比数列，，，
，
，
整理可得，，

故答案为：16
14．（5分）过点直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当最小时，直线的一般方程为　　．
【解答】解：设直线的方程为：，可得，，，，又，解得．
，当且仅当时取等号．
当最小时，直线的一般方程为，化为：．
故答案为：．
15．（5分）已知，，，是球的球面上的四点，，，两两垂直，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为　　．
【解答】解：依题意，设，
则三棱锥的体积，
解得，
，，两两垂直，，
所以三棱锥为棱长为2的正方体的一角，如图．
设球的半径为，则，即，
所以球的表面积．
故答案为：．

16．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若的面积为，且，，成等差数列，则最小值为　4　．
【解答】解：、、成等差数列，
，
又，
，
，
，
由余弦定理有：
，
，
，
故填4．
三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17．（10分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．

【解答证明：（1）连接交于点，因为底面为平行四边形，所以为中点，
在中，又为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面为平行四边形，所以，
又即，所以，
又即，
又平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．

18．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【解答】解：（1）在由正弦定理得，①
因为，
所以，
又因为，所以，
整理可得，，
解得．
（2）在锐角中，因为，所以，
将代入①得，
在由正弦定理得，
所以．
19．（14分）如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．
（1）证明：；
（2）求证：．

【解答】证明：（1）因为平面，平面，平面平面，
所以；
又在直棱柱中，有，
所以；
（2）连接，如图所示；

因为棱柱为直棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以；
在直棱柱中，有四边形为平行四边形；
又因为，所以四边形为菱形，
所以；
又，平面，平面，
所以平面；
又平面，
所以．
20．（14分）已知．
（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）对任意的，恒成立，
即恒成立，
因为当时，（当且仅当时取等号）
所以，即，
故得实数的取值范围是；
（2）不等式，
，
即，
①当即时，，
②当即时，，
③当即时，，
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
21．（16分）在平面直角坐标系中，已知点，，坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点．
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值．

【解答】解：（1）当时，直线的方程为．
所以，直线的方程为①
又直线的方程为②
①②又联立方程组得，
所以直线的方程为．
（2）直线的方程为，设．
直线的方程为，所以．
因为在轴负半轴上，
所以，．
令，则，
当时，．
答：的最小值为．
22．（16分）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在数列中，当时，，
当时，由得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即．
在数列中，当时，有
叠加得，，
当时，也符合上式，
所以．
（2）
当为偶数时，
．
当为奇数时，
．
（3）对任意的正整数，有，
假设存在正整数，使得，则，
令，
解得，又为正整数，
所以或3满足题意．
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