控制新版系统的数学模型.doc

第二章 控制系统数学模型2-1 什么是系统数学模型？大体可以分为哪些类型？答 定量地表达系统各变量之间关系表达式，称工矿公司 数学模型。从不同角度，可以对数学模型进行大体分类，例如：用来描述各变量间动态关系数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关称为集中参数模型，反之与几何位置关于称为分布参数模型；变量间关系体现为线性称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间关于称为时变模型，与时间无关称为时不变或定常模型；以系统输入、输出变量这种外部特性来描述系统特性数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述数学模型称为状态空间模型；等等。2-2 系统数学模型获取有哪几种办法？答 获取系统数学模型办法重要有机理分析法和实验测试法。机理分析法是通过对系统内部机理分析，依照某些基本物理或化学变化规律而导出支配系统运动规律数学模型，这样得到模型称为机理模型。实验测试法是通过对实际系统实验测试，然后依照测试数据，通过一定数据解决而获得系统数学模型，这样得到模型可称为实测模型或经验模型。如果将上述两种办法结合起来，即通过机理分析办法预先得到数学模型构造或函数形式，然后对其中某些参数用实验辨识办法来拟定，这样得到数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种办法之间一种比较切合实际应用较为普遍办法。2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型重要环节有哪些？答 重要环节有：依照系统控制方案和对象特性，拟定对象输入变量和输出变量。普通来说，对象输出变量为系统被控变量，输入变量为作用于对象操纵变量或干扰变量。依照对象工艺机理，进行合理假设和简化，突出重要因素，忽视次要因素。依照对象工艺机理，从基本物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律原始微分方程式（或方程式组）。消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系方程式。依照规定，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化解决，最后得出无因次、可以描述对象输入变量与输出变量增量之间关系线性微分方程式（对于严重非线性对象，可进行分段线性化解决或直接导出非线性微分方程式）。2-4 试述传递函数定义。如何由描述对象动态特性微分方程式得到相应传递函数？并写出传递函数普通形式。答 对于线性定常系统、对象或环节传递函数定义可以表述为：当时始条件为零时，系统、对象或环节输出变量拉氏变换式与输入变量拉氏变换式之比。如果已知系统、对象或环节动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述：式中y 为输出变量， x为输入变量， 表达y(t) n 阶导数， 表达x(t) m阶导数。对于普通实际物理系统， 。假定初始条件为零，对上式等号两边进行拉氏变换，得式中Y(s)是y(t) 拉氏变换， X(s)是x(t) 拉氏变换，于是可得传递函数：上式就是传递函数普通形式。由此可见，传递函数普通可以表达为两个 多项式之比，并且分母 多项式阶次总是不不大于或等于分子 多项式阶次。2-5 试分别写出下述典型环节时域和复域输入输出模型：放大环节、一阶惯性环节、积分环节、二阶振荡环节、超前-滞后环节、微分环节、纯滞后环节、PID环节。答 环节输入输出模型可以用微分方程和传递函数来表达。前者是它时域形式，后者是它复域形式。下面列表2-1阐明各典型环节输入输出模型（以y(t) 表达输出， x(t)表达输入）。表2-1 典型环节输入输出模型2-6 什么是控制系统方块图？如何运用方块图来进行控制系统建模？答 方块图是控制系统中各个环节（元件）功能和信号流向图解表达。依照各环节信号流向，用带有箭头信号线依次将各函数方块连接起来便可以得到系统方块图。运用方块图来进行控制系统建模重要环节如下：绘制控制系统控制流程图。依照控制系统功能，将控制系统划分为若干个环节，例如被控对象、控制器、测量变送环节、执行机构（控制阀）等等。列写各环节微分方程或传递函数，即分别对各个环节建模，并将建模成果（传递函数）填入各相应方块中。依照控制系统信号走向（各输入输出通道）关系将各方块用信号线连接起来，便得到控制系统方块图。依照控制系统类型和功能，拟定控制系统输入输出变量。运用方块图简化规则来求出等效传递函数，或借助于信号流图中梅逊（Mason）增益公式来求出信号流图总增益，于是便可以得到控制系统输入输出数学模型。2-7 在方块图中，方块之间基本连接形式有哪几种？从这几种基本连接形式出了，可归纳出哪些方块图基本运算法则？答 方块图基本连接形式有串联、并联和反馈三种，下面分别简介它们连接形式与相应基本运算法则。串联 图2-1表达三个环节串联。图2-1 方块串联若干个环节串联时，总传递函数等于各方块传递函数乘积。相应于图2-1，则有：并联 图2-2表达三个环节关联。若干个环节并联时，总传递函数等于各方块传递函数之代数和。相应于图2-2，则有： 图2-2 方块并联 图2-3 负反馈连接 图2-4 正反馈连接反馈 图2-3表达负反馈连接，图2-4表达正反馈连接。负反馈连接时，其闭环传递函数 为：式中G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反馈通道传递函数， G(s)H(s)称为开环传递函数。当反馈通道传递函数H(s)=1时，称为单位反馈系统，此时有：正反馈连接时，如图2-4所示，则有：2-8 方块图等效变换有哪些基本运算规则？答 系统方块图有时不一定只是环节串联、并联和反馈三种基本连接简朴组合，而也许具备较复杂连接方式，这时可以通过方块图等效变换，将方块图逐渐简化为上述三种基本连接关系，然后再运用其相应传递函数求得整个系统传递函数，从而建立系统复域模型。方块图等效变换基本运算规则列表2-2如下。表2-2 方块图等效变换基本运算规则2-9 试阐明信号流图基本构成，并回答信号流图基本运算规则有哪些？答 信号流图是类似于方块图又一种表达变量之间关系图示建模法。在信号流图中，有如下某些基本构成及相应术语。节点 用来表达变量点。此变量等于所有进入该节点信号代数和，从节点流出信号值都等于这个变量值。支路 连接两节点间有向线段。输入节点或源点 只有输出支路节点称为输入节点或源点，它相应于输入变量。在画信号流图时，普通将其放在左面。输出节点或阱点 只有输入支路节点称为输出节点或阱点，它相应于输入变量。在画信号流图时，普通将其放在信号流图最右面。混合节点 既具备输入支路又具备输出支路节点称为混合节点。传播 两个节点间增益称为传播。在信号流图中，输入节点与输出节点之间传播称为信号流图总传播。通路 沿支路箭头方向而穿过各相连支路途径称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次称为开通路；如果通路又回到了起点，并且与其她节点相交不多于一次，就称为闭通路或回路；如果从输入节点到输出节点通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。不接触回路 如果一种（或某些）回路与另一种（或另某些）回路，它们没有任何公共节点，就称它们为不接触回路。信号流图基本连接形式及其运算规则如表2-3所示。表2-3 信号流图基本运算规则2-10 试简述梅逊公式及其应用。答 梅逊增益公式为：式中 p-信号流图输入节点与输出节点之间总增益；-第k条前向通道总增益；-第k条前向通道特性式余因子，即与第k条前向通道不相接触回路信号流图特性式；-信号流图特性式，可写为：其中 -所有不同回路增益之和；-每两个互不接触回路增益乘积之和；-第三个互不接触回路增益乘积之和。在建立复杂系统数学模型时，可以通过变量置换、消去中间变量办法来建立系统输入-输出模型，亦可以通过方块图等效变换来建立系统复域数学模型。但是，借助于信号流图，特别是梅逊公式，可以更加以便地求出信号流图总传播，从而得到系统等交往传递函数或输入-输出模型。在运用梅逊公式时应注意，梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间，而不合用于任意两个混合节点之间。2-11 试简述数学模型各种表达式之间相应关系。答 线性定常系统数学模型重要有微分方程、传递函数和状态方程三种形式，这三种形式之间存在着内在联系，互相之间在一定条件下可以转化，下面简述微分方程与传递函数之间转化办法。微分方程与传递函数之间转化是通过位氏变换与拉氏反变换来实现。例已知微分方程为：在初始条件为0时，对上式两端取拉氏变换，则有：因此，相应传递函数模型为：显然，如果已知系统传递函数，只要通过拉氏反变换，就可以得到描述系统输入输出之间关系微分方程式。2-12 试分析几种简朴系统（对象）数学模型，以阐明它们之间相似性。水力系统； 电系统；机械系统； 传热系统；气动阻容组件； 溶液制备系统。解 图2-9表达一种水槽，假定水槽截面积为A ，输出阀线性阻力系数为R ，则依照物料平衡有：式中V 表达水槽内水蓄存量， 。此外，通过线性化后 与h 成线性关系，即，将 v与 代入原始方程并整顿后有：令T=RA,K=R，则有： 其相应传递函数为： 图2-9 水槽 图2-10 RC电路 图2-11 弹簧阻尼器系统图2-10是一 电路，依照基本电路定律有：两式联立，可得： 令T=RC ，则上式可写为：其相应传递函数为： 图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧上端有一位多 ，其下端就会有一位移 。由于弹簧所受力与变形成正比，故有：F=k(x-y)式中F为力， 为弹簧刚度。对于阻尼器来说，假设其产生摩擦力与运动速度成正比，有：式中 为阻尼器粘性摩擦系数。由于作用在阻尼器上力与作用在弹簧上力是相等，因此有：可写成： 其相应传递函数为如果令，则：图2-12所示为一水银温度计。为了建立温度计测量值与被测温度之间数学模型，咱们忽视温度计玻璃自身热容，只考虑温度计内水银热容。水银具备热量Q为：Q=McT式中 M水银重量； c水银比热容。单位时间由周边环境（温度为 ）传给水银温度计热量应当等水银内蓄存热量变化率，因而可写成下列式子：式中 a水银温度计等效导热系数；F水银温度计外表面积。上述方程式可改写为：如令 ，则有： 其相应有传递函数G(s)为： 图2-12 水银温度计图2-13所示为一气动阻容组件，由一种气阻R与一种气容C构成。当输入压力 增长时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内压力也逐渐增长，直至为止。当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻气流量将与气阻两端压差成正比，即： 式中 R气阻值； 图2-13 气动阻容组件 G通过气阻气体质量流由于气体进入气室，将使气室中气体密度增长，依照物料平衡，单位时间进入气容气体量应当等于气室中气体蓄存量变化率，即：（2-2）式中 V气室体积； P气室内气体密度。由于气体压力不高，气室中气体可近似看做抱负气体，故符合抱负气体状态方程，即：（2-3）式中 n气室中气体分子摩尔数；通过气体常数；气室中气体绝对温度；气室中气体绝对压力。气室中气体密度等于单位体积中气体质量，即：式中 M气室中气体平均分子量。将式（2-3）代入上式并求导得：（2-4）将式（2-4）和式（2-1）同步代入式（2-2），可得：或 令 ，则有： （2-5）式中T 时间常数。图2-14所示为一溶液制备槽。 x为单位时间加入溶质量， q为单位时间加入溶剂量。槽中溶液由溢流管引出，因而槽中溶液体积为一常数 。考虑到加入溶擀很少，故流出量等于溶剂加入量 由于搅拌均匀，故流出液浓度等于槽中溶液浓度c ，而流入液浓度假设为0。依照物料平衡，单位时间进入槽中溶质量减去单位时间流出槽溶质量应当等于槽中溶质蓄存量变化率，因而有： （2-6）如果流入流出量 q为一常数，且令：则有： 式中 T时间常数； K放大系数。图2-14 溶液制备槽以上通过机理推导办法分别建立了六个系统（或对象）数学模型。尽管这些系统物理过程很不相似，但导得数学模型却是惊人相似。如果以 x表达输入变化量，y 表达输出变化量，则描述x,y 之间关系都是一阶微分方程式，即：其传递函数亦具备相似形式，即：这是一种典型一阶惯性环节。由于各种物理过程相似性，因此给系统模仿与仿真提供了以便与也许。同步，通过建立数学模型，也有得于进行系统研究和分析。2-13 图2-16是一种有源四端网络，试建立网络下列形式数学模型。微分方程式；传递函数；图2-16 有源四端网络解：要建立该网络微分方程数学模型，普通应按下列环节进行。依照题意，拟定模型输入、输出变量。本例可选 为输入变量，电阻R上压降 作为输出变量，目是要建立起可以描述变化时， 是如何变化数学模型。依照基本物理、化学规律列写原始方程式。本列中可依照电路基本规律列写下列方程：（2-12）（2-13）（2-14）消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。本例中就要设法消去中间变量 ，使方程式中只含 与 ，消中间变量环节可以这样进行，先由式（2-12）、式（2-13）消去 得：（2-16）由式（2-13）求导，可得：将式（2-14）代入上式可得求导可得： （2-17）将式（2-17）代入（2-16），可得将式（2-15）代入上式并整顿可得：（2-18）式（2-18）就是描述 与 关系微分方程式。为了求得输入输出之间传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换，可得：式中 分别为 位氏变换。于是可得传递函数为：（2-19）为了避免推导微分方程式中消去中间变量繁琐过程，可以通过画方块图办法直接求出输入输出之间传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）分别在零初始条件下取拉氏变换，得：（2-20）（2-21）（2-22）（2-23）依照上述四个方程，可以分别画出其方块图如图2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。然后依照信号传递关系将图2-17中各方块用信号线连接起来，便成为整个网络方块图，如图2-18 图2-17 方块图图2-18 整个网络方块图为了求得 与 之间传递函数，可以通过方块图等效变换，先将两个相加点顺序互换，然后求出内回路传递函数 为：于是方块图就可以简化为图2-19所示。进一步简化方块图，可画为图2-20所示。整个网络传递函数为： 图2-19 方块图图2-20 方块图由此可见，通过画方块图，可以比较以便地得到与式（2-19）相似成果。由图2-18，也可以直接运用梅逊公式，得出系统总增益。由图可见，共有两个回路，且互相接触，其增益分别为：系统只有一条前向通道，且与两个回路均接触，故有：依照梅逊公式，可得总增益：此成果也与式（2-19）相似。2-14 试求图2-25所示方块图传递函数 。解 由于考虑是单输入单输出系统传递函数，因此在输入为X(s) 时，则假定F(s)=0 ；在输入为F(s) 时，则假定X(s)=0 。图2-25经恰当变换后，分别如图2-26(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)所示。注旨在上述变换过程中，运用了线路中负号可在线路上先后移动，并可超过函数方块规则。通过上述变换后，依照反馈连接传递函数计算办法，分别由图2-26(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)很容易写出下述传递函数： 图2-25 方块图 图2-26 方块图对于 和 ，由于此时 E(s)和Z(s) 不是输入节点，系统并没有构成闭环，故：注意此时由于方块图单向性， 与 不是简朴倒数关系。2-15 已知系统方块图如图2-27所示。图2-27 方块图试通过方块图等效变换，求出 ；试画出相应信号流图，并运用梅逊公式，求得 。解 这是一种多回路方块图，且在 、之间有相加点和分支点交叉。为了从内回路到外回路逐渐化简，一方面要消除交叉连接。办法之一是将 之后相加点前移至 之前，然后两相加点互换，将图2-27等效变换为图2-28(a)。然后对图2-28(a)中由 、构成简朴反馈系统进行化简，可得到图2-28(b)。进一步对内回路进行化简，便可得到图2-28(c)。通过简朴运算和化简，最后便可得到一种简朴反馈控制系统，如图2-28(d)所示。图2-28 方块图由图2-28(d)便可计算得：（2-43）办法之二是将 前相加点后移至 之后，然后相加点互换，便可得到如图2-29所示等效方块图，然后对内回路逐个化简，便可得到式（2-43）相似传递函数。图2-29 等效方块图办法之三是将 之后分支点移至 之后，然后分支点互换，便可得到如图2-30所示等效方块图，然后对内回路逐个化简，也可得到式（2-43）所示传递函数。图2-30 等效方块图值得注意是在方块图中，一条线路上相加点与分支点先后顺序是不能任意互换。对于图2-27所示方块图，如将 前相加点后移，然后与分支点互换，就会得到与图2-27不等效方块图，如图2-31所示。图2-31 方块图贴图产2-31导得传递函数为：该成果与式（2-43）不相似，显然是错误。将图2-27所示方块图画成信号流图，如图2-32所示。依照梅逊公式： 可以求得总增益p ，即为该系统 。图2-32 信号流图该信号流图中共有三个回路，且均互相接触，其增益分别为：图中仅有一条前向通路，其增该信号流图特性式为由于前向通道 p1与三个回路均接触，故别的因式 。因而，该信号流图总增益为：此成果与式（2-43）成果完全相似。2-16系统方块图如图2-33所示。图2-33 方块图通过方块图等效变换，求出 ；画出该系统信号流图，由梅逊公式求出系统总增益p 。解 由于该方块图中存在相加点、分支点交叉，因此一方面要消除交叉连接。为此，可以将与 之间相加点与分支点分别前移与后移，得到如图2-34所示等效方块图。图2-34 等效方块图由该图，运用串联、并联和反馈连接方块图传递函数运算法则，就可得到：通过逐渐化简，可得 ：（2-44）将图2-33所示方块图转化为信号流图，如图2-35所示。在该信号流图中，共有五个互不接触回路，其增益分别为：故信号流图特性式为：信号流图中共有二条前向通道，且均与各回路有接触，因而有：依照梅逊公式，则有：上述成果成果式（2-44）完全相似。图2-35 信号流图2-17 系统方块图如图2-36所示，试画出相应信号流图，并运用梅逊公式求出系统总增益。解 画出相应信号流图如图2-37所示。值得指出是：信号流图中节点输出信号等于输入该节点诸信号叠加，因此在由方块图转化为信号流图时，要注意分支点与相加点画法。例如在图2-36中， 环节后分支点与相加点在信号流图中不能用一种节点来表达，否则通过 反馈信号就不只是 输入信号，还包括了 反馈信号。因此在图2-37信号流图中，用了两个节点，中间用传播为1线连了起来。但是在 环节前相加点与分支点却可以在信号流图中用一种节点表达，阐明 与 输出信号叠加后同步作为 与 输入信号。图2-36 方块图图2-37 信号流图在图2-37中，可以看出共有五个回路，其增益分别为其中 、为两两不接触回路， 为三个不接触回路，故信号流图特性式为前向通道共有两条，且与所有回路均有接触，故：依照梅逊公式，则总增益为：2-18 系统方块图如图2-38所示。试运用梅逊公式求出传递函数 。图2-38 系统方块图解 梅逊公式可以用于信号流图求出总增益p ，也可以直接用于方块图求出系统传递函数。对于图2-38，可以不进行方块图等效变换，而直接运用梅逊公式，求出传递函数 。由图可见，共有三个回路，其回路传递函数分别为：其中L1 、L2 为不接触回路，因此特性式为：系统由 R(s)到C(s) 前向通道共有三条，其通道传递函数分别为：其中P3 与 L1不接触，故有：代入梅逊公式，则有：2-19 设描述系统微分方程为：试求：系统传递函数；解:将微分方程两端在零初始条件下取拉氏变换，得：于是可求得传递函数：