数学竞赛初赛试题分析.pptx

数学竞赛初赛试题分析第第四四届届大大学学生生数数学学竞竞赛赛初初赛赛试试题题分分析析一、填空题一、填空题 评讲评讲 3对于对于第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析1.1.设是柱面设是柱面x x2 2+y+y2 2=4=4介于介于1z31z3之间的外侧之间的外侧曲面部分，则曲面部分，则 因因 在在XOYXOY平面上的平面上的投影为零，投影为零，4对于对于第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析投影投影5对于对于第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析所以：原式所以：原式=0注意到：被积函数注意到：被积函数 关于关于 为偶函数为偶函数积分区域积分区域 关于坐标面关于坐标面yoz对称，则积分对称，则积分0想一想，若第二个积分为想一想，若第二个积分为注意到：注意到：前侧取前侧取“+”后侧取后侧取“-”7不能用格林公式，不能用格林公式，不能直接用斯托克斯公式不能直接用斯托克斯公式第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析2.2.设设L L为空间圆周曲线：为空间圆周曲线：，则积分则积分 8第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析由对称性由对称性（称为（称为“轮换对称性轮换对称性”）9第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析注：除重积分外，都可以将积分区域注：除重积分外，都可以将积分区域 代入被积函数代入被积函数10解：解：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析3.3.设设S S是球面是球面 的外侧，则的外侧，则积分积分奥高公式奥高公式由对称性由对称性11第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析原式原式换球坐标系换球坐标系（）12第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析不能代入，若代入并换成不能代入，若代入并换成R2，那么被积函数，那么被积函数 只在只在“球体球体”的表面上取值了！的表面上取值了！三重积分是要求在整个三重积分是要求在整个“球体球体”上取值上取值13分析：这是第一类曲线积分，分析：这是第一类曲线积分，它的实际背景可看成分布在曲线上的质量。考查：它的实际背景可看成分布在曲线上的质量。考查：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析4.4.设设L为圆弧段：为圆弧段：，则曲线积分则曲线积分曲线曲线 对称于对称于y y轴，轴，分布密度分布密度 关于关于 是是奇函数奇函数 14第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析4.4.设设L为圆弧段：为圆弧段：，则曲线积分则曲线积分L L关于关于Y Y轴对称轴对称(轴对称！轴对称！)关于关于X X为奇函数为奇函数15二重积分的几何背景：二重积分的几何背景：算曲顶柱体的体积算曲顶柱体的体积第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析5.5.设平面区域设平面区域 （R0），），则二重积分则二重积分第第四四届届大大学学生生数数学学竞竞赛赛初初赛赛试试题题分分析析二、选择题二、选择题 评讲评讲 17则则（A A）x=0必是必是g(x)的第一类间断点的第一类间断点.（B B）x=0必是必是g(x)的第二类间断点的第二类间断点.（C C）x=0必是必是g(x)的连续点的连续点.（D D）g(x)在点在点x=0处的连续性与处的连续性与a的取值有关的取值有关.1.1.设设 在在 内有定义，且内有定义，且第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析18考察：考察：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析若若a=0a=0，则，则g(x)g(x)在在x=0 x=0处连续处连续若若a0a0，则，则g(x)g(x)在在x=0 x=0处间断处间断（可去间断点）（可去间断点）选选D19（A）极限不存在）极限不存在（B）极限存在但不连续）极限存在但不连续（C）连续但不可导）连续但不可导（D）可导）可导2.2.设函数设函数 则则 在在 x=0处处_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析20无穷小量无穷小量有界变量有界变量计算极限计算极限先考察连续性：先考察连续性：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析排除排除 A B21右导数都不存在，所以在右导数都不存在，所以在x=0处不可导处不可导又因为又因为第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析所以所以 极限不存在极限不存在选选C22（A）1 （B）2 （C）3 （D）43.3.当当 时，时，与与 是同阶是同阶 无穷小，则无穷小，则n的值应该是的值应该是_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析当当 时时23所以选所以选 C而而第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析24整理后上下求导也可作出整理后上下求导也可作出请同学自行验证请同学自行验证【注注】：本题也可不用皮亚诺展开式：本题也可不用皮亚诺展开式 用罗必塔法则也行用罗必塔法则也行第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析25解：解：A B C D第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析4.4.设函数设函数 连续，则连续，则换元必换限换元必换限26第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析而：而：27取取f(x)=1，则，则选项变为选项变为本题虽然不是明显的用特殊值法的题，但其本题虽然不是明显的用特殊值法的题，但其选项均为抽象函数形式的结果，也可用特殊选项均为抽象函数形式的结果，也可用特殊值法试试，不管能不能选出，至少可以先排值法试试，不管能不能选出，至少可以先排除一些。除一些。第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析A x B -x C 2x D -2x285.5.设函数设函数f(x)二阶可导，二阶可导，若若f(x)有有极值，且极值，且 曲线曲线y=f(x)有拐点，则曲线有拐点，则曲线y=f(x)的图形可能为的图形可能为_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析有有极值极值-用一阶导数的符号判定用一阶导数的符号判定有有拐点拐点-用二阶导数的符号判定用二阶导数的符号判定29A第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析曲线凹曲线凹所以无极值也无拐点所以无极值也无拐点曲线曲线无极值无极值30B第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析（0，0）点两边）点两边二阶导数变号二阶导数变号曲线曲线无极值无极值所以（所以（0，0）是曲线）是曲线 的拐点的拐点 31C第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析无拐点无拐点曲线是凹的曲线是凹的X=0是曲线是曲线极小值点极小值点32D第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析（0，0）点两边）点两边二阶导数变号二阶导数变号有拐点有拐点有两个极值点有两个极值点有两个极值点有两个极值点曲线曲线33由由6.6.若若 ，在，在 内内 则则 在在 内内_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析DCBA函数是奇函数函数是奇函数34第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析函数是奇函数函数是奇函数单调增加且凹单调增加且凹现画一草图现画一草图看图说话看图说话可见可见357.7.设设 的导数在的导数在 处连续，又处连续，又 ，则，则_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析（A A）是是 的极小值点的极小值点.（B B）是是 的极大值点的极大值点.（C C）是曲线是曲线 的拐点的拐点.（D D）不是不是 的极值点，的极值点，也不是曲线也不是曲线 的拐点的拐点.36于是于是解解:(:(用判定极值的第二充分条件用判定极值的第二充分条件)第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析又因又因 在在a点连续点连续37由极值的第二判定定理可知由极值的第二判定定理可知第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 在在 处取得极大值处取得极大值 38是一开口向下的抛物线，在顶点处取极大值是一开口向下的抛物线，在顶点处取极大值此时此时解法二，解法二，用特殊值法用特殊值法第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析取取 ，显然满足题设条件，显然满足题设条件取积分常数取积分常数C=039最后提示下：也可用最后提示下：也可用“保号性保号性”做做第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析在在 点附近：点附近：上下异号上下异号也可判断出是极大值也可判断出是极大值40（A A）没有渐近线）没有渐近线.（B B）仅有水平渐近线）仅有水平渐近线.（C C）仅有铅直渐近线）仅有铅直渐近线.（D D）既有水平渐近线也有铅直渐近线）既有水平渐近线也有铅直渐近线.8.8.曲线曲线 【】第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析两让两让41让让分母趋于零，即让分母趋于零，即让第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析让让得水平渐近线得水平渐近线:y=1:y=1得垂直渐近线得垂直渐近线:X=0:X=042的参考图形的参考图形第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析y=1y=1水平渐近线水平渐近线x=0 x=0垂直渐近线垂直渐近线偶函数偶函数43分析：此题考查定积分的定义，由于定积分的定义分析：此题考查定积分的定义，由于定积分的定义式是一个特殊结构的极限，这种数列极限问题要想式是一个特殊结构的极限，这种数列极限问题要想到用定积分来处理，关键是找被积函数和积分区间到用定积分来处理，关键是找被积函数和积分区间9.9.等于等于 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析A AD DC CB B44第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析45下限：起步于下限：起步于第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析注注换换换换上限：终止于上限：终止于46下限下限0 0，上限，上限1 1第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析换换换换别误选别误选C换元换限换元换限4710.10.设周期函数设周期函数 在在 内可导，内可导，周期为周期为4.4.又又 ，则曲线，则曲线 在点在点 处的切线斜率为处的切线斜率为_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析在在 内可导内可导解：解：48第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析在在 内可导内可导49【注注】：周期函数周期函数f(x)f(x)在自变量在自变量x x相距相距 整数倍周期整数倍周期的点处的各种性态的点处的各种性态 （如：函数值，导数值，极值）均相同（如：函数值，导数值，极值）均相同第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析5011.11.已知已知 ，设设 ，则，则F(x)F(x)为为_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析ABCD51解：解：F(x)F(x)可导，可导，当然必定连续当然必定连续第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析易知易知 在在0,20,2上连续上连续A不连续不连续52解：解：F(x)F(x)可导，可导，当然必定连续当然必定连续易知易知 在在0,20,2上连续上连续第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析C不连续不连续53解：解：F(x)F(x)可导，可导，当然必定连续当然必定连续易知易知 在在0,20,2上连续上连续第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析D不连续不连续综上综上A,C,D被排除被排除B54解：解：F(x)F(x)可导，可导，当然必定连续当然必定连续易知易知 在在0,20,2上连续上连续第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析连续，还可验证可导连续，还可验证可导选选B B55第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析【注注】：在在I上有第一类间断点，则上有第一类间断点，则 连续，连续，在在I上连续，则上连续，则 可导，可导，56（A A）0 0个个.（B B）1 1个个.（C C）2 2个个.（D D）无穷多个）无穷多个.12.12.设函数设函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上连续，上连续，且且 ，则，则方程方程 在开区间（在开区间（a,ba,b）内的根有）内的根有_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析57记记则则考察考察零点零点的个数的个数解解1 1：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析又又根据零点定理根据零点定理F(x)=0F(x)=0在在(a,b)(a,b)内只有一个根内只有一个根选选B B取取 ，显然满足题设条件，显然满足题设条件，而此时原方程化为而此时原方程化为58解解2 2：特殊值法：特殊值法第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析而该方程显然在（而该方程显然在（a a，b b）内只有一个实根，）内只有一个实根，可见可见ACD不正确不正确选选B B5913.13.曲线曲线 与与x x轴所围图形轴所围图形 面积可表示为面积可表示为_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析A AB BC CD D所围的面积要为正（几何值）非定积分的有向代数和，所围的面积要为正（几何值）非定积分的有向代数和，当曲线在当曲线在x x轴下侧时，需在定积分前添负号求出轴下侧时，需在定积分前添负号求出60根根一个实根一个实根+共轭复根共轭复根三个不等的实根三个不等的实根下面先讲三次方程根的问题下面先讲三次方程根的问题第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析三个相等的实根三个相等的实根61有三个不等的实根有三个不等的实根的情形的情形第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析62仅有一个实根仅有一个实根（一对共轭复根）（一对共轭复根）的情形的情形第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析63三个相等的实根三个相等的实根第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析64算这块面积时添负号就行了算这块面积时添负号就行了回到此题回到此题第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析方程方程 有三个不等的实根有三个不等的实根选选C C6514.14.通过坐标系的原点，且与微分方程通过坐标系的原点，且与微分方程 的一切积分曲线均正交的曲线方程是的一切积分曲线均正交的曲线方程是_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析A BA BC DC D66的切线斜率的切线斜率过原点过原点即：即：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析的斜率是的斜率是的法线斜率是的法线斜率是选选A A67给一个大致的图像演示给一个大致的图像演示第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析68A A B BC C D D15.15.具有特解具有特解 的三阶常系数齐次线性微分方程是的三阶常系数齐次线性微分方程是_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析69解：解：对应的微分方程为对应的微分方程为特征方程为特征方程为第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析选选B B【注注】：条件：条件y y2 2,y y3 3中的常系数在选择中有什么作用吗？中的常系数在选择中有什么作用吗？不起作用不起作用7016.16.设在设在XOYXOY全平面上有全平面上有则在下列条件中使则在下列条件中使成立的是成立的是_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析ADCB71所以当所以当 时：时：解：解：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析选选 C C72解一：解一：交换累次积分的积分顺序交换累次积分的积分顺序17.17.设设f(x)f(x)为连续函数，为连续函数，则则 等于等于_ _ 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析D 0ABC73从而从而于是于是第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析选选 B74解法二：解法二：特殊值法特殊值法第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析选选 B75下面我们先来复习下第一类曲面积分的物理意义下面我们先来复习下第一类曲面积分的物理意义18.18.设设 S S1 1为为S S在在 第一卦限中的部分，则有第一卦限中的部分，则有_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析ABCD空间空间“壳壳”的质量的质量76曲面关于曲面关于XOZXOZ坐标平面对称坐标平面对称曲面为上半球面：曲面为上半球面：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析函数函数是关于是关于y y的奇函数的奇函数左右半球面正负左右半球面正负质量相互抵消质量相互抵消77曲面关于曲面关于YOZYOZ坐标平面对称坐标平面对称曲面为上半球面：曲面为上半球面：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析函数函数是关于是关于x x的奇函数的奇函数前后半球面正负前后半球面正负质量相互抵消质量相互抵消78而而第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析函数函数是关于是关于x x的奇函数的奇函数函数函数是关于是关于y y的奇函数的奇函数同理：同理：ABD都错都错79从物理上看：从物理上看：正确正确另：另：现在看现在看C第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析？关于关于x x、y y是偶函数是偶函数用两倍用两倍曲面关于曲面关于yozyoz对称对称曲面关于曲面关于xozxoz对称对称选选C8019.19.设设 ，则级数，则级数_第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析A 与与 都收敛都收敛 B 与与 都发散都发散 C 收敛而收敛而 发散发散D 发散而发散而 收敛收敛81解：解：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析82易知：易知：第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析选选C一般项趋于零，且一般项趋于零，且递减的交错级数递减的交错级数 收敛收敛8320.20.设函数设函数 ，而，而 其中其中 第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析则则 等于等于_ _ 分析：不能从这个就说是偶函数（只是半区间）分析：不能从这个就说是偶函数（只是半区间）正弦级数，可见对正弦级数，可见对f(x)f(x)做的是奇开拓做的是奇开拓84 图图1 1（函数图）（函数图）做奇开拓做奇开拓用三个图来用三个图来 说话说话第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析不能说是偶函数不能说是偶函数（因是半区间）（因是半区间）85第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图1 1（函数图）（函数图）图图2 2（一个周期内（一个周期内 的和函数图）的和函数图）取平均值取平均值由狄利克雷结论由狄利克雷结论86第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图2 2（一个周期内（一个周期内 的和函数图）的和函数图）现在我们来周期延拓图现在我们来周期延拓图2 2（T=2T=2）图图3 3正弦级数在正弦级数在R R上的和函数上的和函数 图，是周期为图，是周期为T=2T=2的周期函数的周期函数87第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图3 3（正弦级数在（正弦级数在R R上的和函数图，是周期为上的和函数图，是周期为T=2T=2的周期函数）的周期函数）选选B88第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图3 3（正弦级数在（正弦级数在R R上的和函数图，是周期为上的和函数图，是周期为T=2T=2的周期函数）的周期函数）又如：又如：89第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图3 3（正弦级数在（正弦级数在R R上的和函数图，是周期为上的和函数图，是周期为T=2T=2的周期函数）的周期函数）又如：又如：90第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图3 3（正弦级数在（正弦级数在R R上的和函数图，是周期为上的和函数图，是周期为T=2T=2的周期函数）的周期函数）另：另：91第四届大学生数学竞赛第四届大学生数学竞赛初赛试题分析初赛试题分析 图图3 3（正弦级数在（正弦级数在R R上的和函数图，是周期为上的和函数图，是周期为T=2T=2的周期函数）的周期函数）又另：又另：谢谢大家！结结 语语