《高等数学》第十章-无穷级数(下).ppt

高等数学第十章 无穷级数（下）返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20242第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 第十章第十章(Expanding to power series)两类问题两类问题:在收敛域内在收敛域内和函数和函数求求 和和展展 开开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20243一、泰勒级数一、泰勒级数其中其中(在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在则在若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有 n+1 阶导数阶导数,此式称为此式称为 f(x)的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有该邻域内有:（Taylor series）返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20244为为f(x)的的泰勒级数泰勒级数.则称则称当当x0=0 时时,泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数,待解决的问题待解决的问题:1)对此级数对此级数,它的收敛域是什么它的收敛域是什么？2)在收敛域上在收敛域上,和函数是否为和函数是否为 f(x)返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20245各阶导数各阶导数,则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f(x)的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令令设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有定理定理1返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20246若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的,且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.证证:设设 f(x)所展成的幂级数为所展成的幂级数为则则显然结论成立显然结论成立.定理定理2返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20247二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知,第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x=0 处的值处的值;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R;第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R,R)内内是否为是否为0.骤如下骤如下:展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式的函数展开的函数展开(Expanding to power series)返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20248展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x,其余项满足其余项满足故故(在在0与与x 之间之间)故得级数故得级数 例例1 将函数将函数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 20249展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:得级数得级数:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x,其余项满足其余项满足例例2 将将返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202410类似可推出类似可推出:(课本课本 例例4)返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202411展开成展开成 x 的幂级数的幂级数,其中其中m为任意常数为任意常数.解解:易求出易求出 于是得于是得 级数级数由于由于级数在开区间级数在开区间(1,1)内收敛内收敛.因此对任意常数因此对任意常数 m,例例3 将函数将函数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202412可以证明，可以证明，上式称为上式称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关.(2)当当 m 为正整数时为正整数时,级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式,上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得由此得 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202413对应对应的二项展开式分别为的二项展开式分别为返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202414利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.（补充题）（补充题）解解:因为因为把把 x 换成换成,得得将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.（自学课本（自学课本 例例6）2.间接展开法间接展开法返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202415展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:从从 0 到到 x 积分积分,得得定义且连续定义且连续,区间为区间为利用此题可得利用此题可得上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛,所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛例例5 将函数将函数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202416展成展成解解:的幂级数的幂级数.（课本（课本 例例7）例例6 将将返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202417展成展成 x1 的幂级数的幂级数.解解:（课本（课本 例例8）例例7 将将返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202418内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1)直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式;(2)间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式式的函数式的函数.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202419当 m=1 时返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202420课外练习课外练习习题习题104 1（要求用两种方法）；（要求用两种方法）；2；3；4；5；7思考练习思考练习1.函数函数处处“有泰勒级数有泰勒级数”与与“能展成泰能展成泰勒级勒级数数”有何不同有何不同 提示提示:后者必需证明后者必需证明前者无此要求前者无此要求.2.如何求如何求的幂级数的幂级数(习题习题 题题2(4)提示提示:返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 2024213.将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数解解:x1 时时,此级数条件收敛此级数条件收敛,因此因此 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 2024224.将将在在x=0处展为幂级数处展为幂级数.解解:因此因此返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202423常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202424第三节第三节 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 第十章第十章(Application of expanding of power series)一、近似计算一、近似计算二、欧拉公式二、欧拉公式返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202425一、近似计算一、近似计算(Approximate computation)例例1 计算计算的近似值的近似值,使准确到使准确到解解:已知已知故故令令得得于是有于是有返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202426在上述展开式中取前四项在上述展开式中取前四项,返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202427(取取 的近似值的近似值,精确到精确到解解:例例2 计算积分计算积分返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202428则则 n 应满足应满足则所求积分近似值为则所求积分近似值为欲使截断误差欲使截断误差返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202429二、欧拉公式二、欧拉公式(Euler formula)则称则称 收敛收敛,且其和为且其和为绝对收敛绝对收敛收敛收敛.若若收敛收敛,若若对复数项级数对复数项级数绝对收敛绝对收敛则称则称 绝对收敛绝对收敛.由于由于,故知故知 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202430的指数函数为的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛易证它在整个复平面上绝对收敛.当当 y=0 时时,它与实指数函数它与实指数函数当当 x=0 时时,的幂级数展式一致的幂级数展式一致.定义定义 复变量复变量返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202431（欧拉公式）（欧拉公式）（也称欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式利用欧拉公式可得复数的指数形式则则返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202432据此可得据此可得(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法利用幂级数的乘法,不难验证不难验证特别有特别有课外练习课外练习 习题105 1(2),(4);2返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202434第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数 第十章第十章(Fourier Series)一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数四、周期为四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数五、小结与思考练习五、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202435一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(Trigonometric series)简单的周期运动简单的周期运动:(谐波函数谐波函数)(A为为振幅振幅,复杂的周期运动复杂的周期运动:令令得函数项级数得函数项级数 为为角频率角频率,为为初相初相)(谐波迭加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202436证证:同理可证同理可证:正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在定理定理 1 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202437上的积分不等于上的积分不等于 0.且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202438二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数(Expanding to Fourier series)定理定理 2 设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分,则有则有证证:由定理条件由定理条件,对对在在逐项积分逐项积分,得得返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202439(利用正交性利用正交性)类似地类似地,用用 sin k x 乘乘 式两边式两边,再逐项积分可得再逐项积分可得返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202440叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数;由公式由公式 确定的确定的以以的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数称为函数 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202441设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则 f(x)的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛,且有且有 x 为间断点为间断点其中其中(证明略证明略)为为 f(x)的傅的傅里里叶系数叶系数.x 为连续点为连续点注意注意:函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202442设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 上的表达式为上的表达式为解解:先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.例例1返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202443机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 2024441)根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时,级数收敛于级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图的情况见右图.说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202445上的表达式为上的表达式为将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.（由课本（由课本 例例2改编）改编）解解:设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 例例2返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202446说明说明:当当时时,级数收敛于级数收敛于返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202447周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅上的傅里里叶级数叶级数其它其它定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202448级数级数.（自学课本（自学课本例例4）则则解解:将将 f(x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x),例例3 将函数将函数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202449利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x=0 时时,f(0)=0,得得说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202450设设已知已知又又返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202451三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.正弦级数和余弦级数的概念正弦级数和余弦级数的概念定理定理4 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f(x),其傅里叶其傅里叶级数为级数为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f(x),其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为(Sine series and cosine series)返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202452的的表达式为表达式为 f(x)x,将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.（课本例（课本例6）是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在解解:若不计若不计周期为周期为 2 的奇函数的奇函数,因此因此例例4 设设返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202453n1根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数的正弦级数:级数的部分和级数的部分和 n2n3n4逼近逼近 f(x)的情况见右图的情况见右图.n5返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202454展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:是周期为是周期为2 的的周期偶函数周期偶函数,因此因此例例5 将周期函数将周期函数（课本（课本 例例7）返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202455返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202456周期延拓周期延拓 F(x)f(x)在在 0,上展成上展成周期延拓周期延拓 F(x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f(x)在在 0,上展成上展成2.函数展开为正弦级数或余弦级数函数展开为正弦级数或余弦级数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202457分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数.（课本（课本例例8）解解:先求正弦级数先求正弦级数.去掉端点去掉端点,将将 f(x)作奇周期延拓作奇周期延拓,例例6 将函数将函数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202458注意注意:在端点在端点 x=0,级数的和为级数的和为0,与给定函数与给定函数因此得因此得 f(x)=x+1 的值不同的值不同.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202459将将则有则有作偶周期延拓作偶周期延拓,再求余弦级数再求余弦级数.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202460说明说明:令令 x=0 可得可得即即返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202461返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202462四、周期为四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202463设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中定理定理5返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202464,则则令令则则所以所以且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:(在在 F(z)的连续点处的连续点处)变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,证明证明:令令返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202465其中其中令令(在在 f(x)的的 连续点处连续点处)证毕证毕 返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202466其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数收敛于收敛于如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202467展开成展开成(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则有则有在在 x=2 k 处级数处级数收敛于何值收敛于何值?例例8 把把返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202468作作偶偶周期延拓周期延拓,则有则有(2)将将返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202469说明说明:此式对此式对也成立也成立,由此还可导出由此还可导出据此有据此有（自行练习课本（自行练习课本 例例1011）返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202470方法方法1令令即即在在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202471令令在在上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式在在即即上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 方法方法2返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202472展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令设设将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理理条件条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故则它满足收敛定则它满足收敛定例例9 将函数将函数（课本例（课本例12）返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202473内容小结内容小结1.周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中其中注意注意:若若为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于2.周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 2024743.在在 0,上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓,展开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓,展开为余弦级数展开为余弦级数为正弦为正弦 级数级数.4.周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点间断点)其中其中当当f(x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)5.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202475课外练习课外练习习题习题106 1；2(1)；3(2)；4；6 思考练习思考练习1.在在 0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 答答:不唯一不唯一,延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同.傅氏级数的和函数傅氏级数的和函数.2.写出函数写出函数答案答案:返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202476处收敛于处收敛于则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在在在处收敛于处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 ,3.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202477又设又设求当求当的表达式的表达式.解解:由题设可知应对由题设可知应对作作奇延拓奇延拓:由周期性由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域定义域4.设设返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202478数展式为数展式为则其中系数则其中系数提示提示:利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”(93 考研考研)的傅里叶级的傅里叶级5.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202479是以是以 2 为周期的函数为周期的函数,其傅氏系数为其傅氏系数为则则的傅氏系数的傅氏系数提示提示:令令6.设设返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202480立叶级数立叶级数,并由此求级数并由此求级数(91 考研考研)解解:为偶函数为偶函数,因因 f(x)偶延拓后在偶延拓后在展开成以展开成以2为周期的傅为周期的傅的和的和.故得故得 7.返回返回上页上页下页下页目录目录03 六月 202481得故教学资料资料仅供参考