加权Bergman空间上以调和多项式为符号函数的Toeplitz算子的亚正规性.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(9),2683-2689 Published Online September 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.139275 文章引用文章引用:郑益,杨纪龙.加权 Bergman 空间上以调和多项式为符号函数的 Toeplitz 算子的亚正规性J.理论数学,2023,13(9):2683-2689.DOI:10.12677/pm.2023.139275 加权加权Bergman空间上以调和多项式为符号函数空间上以调和多项式为符号函数的的Toeplitz算子的亚正规性算子的亚正规性 郑郑 益，杨纪龙益，杨纪龙 辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 收稿日期：2023年8月13日；录用日期：2023年9月14日；发布日期：2023年9月22日 摘摘 要要 本文刻画了在复平面上开单位圆盘中一般加权本文刻画了在复平面上开单位圆盘中一般加权Bergman空间上以调和多项式为符号的空间上以调和多项式为符号的Toeplitz算子的亚算子的亚正规性。正规性。关键词关键词 加权加权Bergman空间，空间，Toeplitz算子，亚正规，调和多项式算子，亚正规，调和多项式 Hyponormality of the Toeplitz Operators with the Harmonic Polynomial Functions on Weighted Bergman Spaces Yi Zheng,Jilong Yang School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian Liaoning Received:Aug.13th,2023;accepted:Sep.14th,2023;published:Sep.22nd,2023 Abstract In this paper,we describe the hyponormality of the Toeplitz operators with harmonic polyno-mialsas symbols on the weighted Bergman space in the open unit disk on the complex plane.Keywords Weighted Bergman Space,Toeplitz Operator,Hyponormal,Harmonic Polynomial 郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2684 理论数学 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 Toeplitz 算子的研究一直是算子理论研究的重点内容之一。Toeplitz 算子理论将 Toeplitz 矩阵和函数空间建立纽带，使能够对无限维矩阵进行变换运算，为一般算子的研究提供模板和技术方法。Toeplitz算子也广泛应用于数值计算、信号检测与处理、和量子物理学等学科中。设 H 表示无穷维复可分 Hilbert 空间，()B H表示其上所有有界线性算子构成的 Banach 代数。()TB H称为正规算子，若T TTT=；()TB H称为亚正规算子若0T TTT。亚正规算子是正规算子，正规算子作为亚正规算子的一个特殊情况。由于正规算子理论完备性，非正规算子的研究更能激发学者们的兴趣。亚正规算子是重要的非正规算子。此外，亚正规算子的研究与量子力学紧密联系，如海森堡对易关系、波算子、散射矩阵和扰动等。Bergman 空间是指区域上平方可积的解析空间，Bergman空间是重要的解析函数空间理论，与算子理论一直以来的公开问题不变子空间问题相关联。在 20 世纪 80 年代，与 Bergman 空间相关的算子理论研究蓬勃发展，这一时期的成果斐然，体现在 1990 年出版的函数空间中的算子理论一书中。在 20 世纪 90 年代，学者们对 Bergman 空间的研究取得了函数论和算子论两方面的突破。随着研究的进步，人们不再满足把算子理论局限于经典 Bergman 空间，进一步将算子理论上升到加权 Bergman 空间。诸多学者在加权 Bergman 空间上的研究，尽管面临着许多挑战，但是收获了丰富的理论成果，极大地推动了算子理论的发展。本文主要研究复平面上开单位圆盘上一般加权 Bergman 空间上 Toeplitz 算子的亚正规性，Bergman 空间和加权 Bergman 空间上的关于亚正规的Toeplitz 算子的研究，见参考文献1 2 3 4 5。记为复平面上的开单位圆盘。将上的测度 v 定义为()()dded2iv rr=，这里d代表)0,1上的概率测度。Bergman 空间是上关于dv测度的平方可积空间()2,dLv的解析闭子空间，记为()2vA。序列 0tt=定义为()()0,1:dd.tttzv zrr=这样 Bergman 空间()2vA可表示成()()22200:,nvnnnnnAf za za=其上内积有对应的表示 2000,.nnnnnnnnnna zb za b=对于自然数 n，()()2nnnzezz=是()2vA上的正规正交基。进而()2vA上再生核为 Open AccessOpen Access郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2685 理论数学 ()()()()()0021,vnnznnnnnKwez ewz wz w=本文总记()()2220,0,1n iin ivnkzczAi+=。这样()2vA中的每个函数都有形如()0kz和()1kz这样的分解表达式。记(),dLv是上关于测度dv的本性可测函数空间。若(),dLv，称T为在()2vA上以为符号的 Toeplitz 算子，H为以为符号的 Hankel 算子()()(),T fPfH fIPf=其中()2vfA，P 是从()2,dLv到()2vA的正交投影。2.一般加权一般加权 Bergman 空间的结果空间的结果 令(),dLv，Toeplitz 算子T是亚正规算子，那么就有0T TT T。为了简化本文定理的计算过程，引入下面两个引理。引理引理 2.1 若,k m为自然数，则()()()220,.kmk mkk mkmP z zwwkm=(2.1)证明：对于自然数,k m，()()()()()()()02202,1,0,.vkmkmkmzjjjk mkkj mjk mjjP z zwz zKwz zezewwkmzzwkm=+=引理引理 2.2 令0,1i，1m，km=(2.2)2)()()()()()()()2222 22222 22 202 221222 2222 202 2,;mm ik ik ik ik i mk i mm ikk i mkizk ik ik i mkk i mccmiHkcmi+=+=+=+=(2.3)3)01,0zzH kH k=;4)2201,0zzHkHk=.郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2686 理论数学 证明：(1)当0,1i=时，由 Hankel 算子的概念，()()()()()()().mmmmiiiizHkzIPz kzz kzP z kz=应用()ikz的展开式和引理 2.1 得()()()()()()22 222 21222 2202 2,k i mk ik im ik i mkmik i mk ik ikk i mzcmiP z kzzcmi+=+=+=将()miP z k带入，则结果得证。(2)对于0i=或1i=，2,mmmiiizzzHkHk Hk=。当mi时，带入式(2.2)得()()()()()()()()()()()()()()2222 22 222002 22 222222 22 2222 2202 22 21222 222 2,mk i mk i mk ik immiik iik izkkk i mk i mk i mk ik immik iik ik i mm ikk i mk i mkk i mk ik ik i mzzHkz kzcz kzczz kcz kzczc+=+=+=+=+()()()()()()()122222 2222 2002 2222 222 202 2,.mim ikk ik ik ik i mkkk i mk ik ik i mkk i mz kzccc=+=+=+=相似地，当mi时()()()()22222 22222 22 202 212.mm ik iik ik ik i mk i mzm ikk i mkHkcc+=+=+=+(3)与(4)由式(2.2)直接可得。定理定理 2.3 设()()()zf zg z=+，其中()212f za za z=+，()212g za za z=+且1212a aa a=。则T在()2vA上是亚正规算子当且仅当()()()()()()2222112224222222114226022222411622820,0,0,aaaaaaaaaaaa+郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2687 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222 22 211222 212 222 212 222222222 212 2111222 222 232 22 2121kkkkkkkkkkkkaaaakaaaak+(2.4)同时成立。证明：由 Toeplitz 算子与 Hankel 算子的基本性质，得*.ggffT TT TH HH H=带入()f z有，212zfzHa Ha H=+。进一步，()()22222*121222*121212.zzffzzzzzzzzzzH Ha Ha Ha Ha HaH HaH Ha a H Ha a HH=+=+(2.5)上式用()g z代替()f z，结合式(2.6)得到()()()()()()2222222222*1122*121212122222*1122.ggzzffzzzzzzzzzzH HH HaaH HaaHHa aa aH Ha aa aHHaaH HaaHH=+=+(2.6)T在()2vA上是亚正规的当且仅当()()0*101,0ggkffH HH Hkkk+。而()()()()()()()22*01012222222211012201,.ggffzzzzH HH HkkkkaaH kH kaaH kH k+=+(2.7)应用引理 2.2(2)得到()()()()()()22222 222 212201022212 212 22102 212 2kkzzkkkkkkkkH kH kccc+=+=+(2.8)和()()()()()()2222222 22201042822 2222 2222 21216212 2312 21.kkkzzkkkkkkkHkHkccccc+=+=+=+(2.9)所以()()()()()()()()()()()()()()()*01012222 222 2122211022212 212 22102 212 2222 2222222042822 2222 222222216,ggffkkkkkkkkkkkkkkkH HH Hkkkkaacccaacccaac+=+=+=+()()()22 21212 2312 21kkkkkc+=+郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2688 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()222222222222112224011422610222222411622822222 22 2222211222 212 222 212 22kkkkkkkaaaacaaaacaaaacaaaa+=+()()()()()()()222222 212 2122221122212 222 2312(2)2 21.kkkkkkkkkcaaaac=+=+分别取01kk+为()()0,1,nezn=可得定理，证毕。若()2rr=，则()()dedd d.irv rA zr=()z同定理 2.3，T为()2vA上亚正规算子见参考文献1；若()()121rr+=，则()()()()()()()22ded1 1d1 1d d.irv rAzzA zrr=+=+()z同定理 2.3，T为()2vA上亚正规算子见参考文献2。3.特殊加权特殊加权 Bergman 空间的结果空间的结果 以下研究由()()11rr+=诱导的上测度()()1de1d d,2iv rrr=+对应的加权 Bergman 空间上的亚正规 Toeplitz 算子。此时，()10,11dd.1tttzv zrrt+=+定理定理 3.1 设()()()zf zg z=+，其中()212f za za z=+，()212g za za z=+且1212a aa a=。则T在()2vA上是亚正规算子当且仅当 1)若22aa，()()222211220aaaa+，2)若22aa，()()222211220aaaa+，其中()()()241,41 21+=+()()()261 41max,4.4 81+=+证明：运用定理 2.3，直接计算得 42211,41+=+郑益，杨纪龙 DOI:10.12677/pm.2023.139275 2689 理论数学 ()()()()()2224220141121,41412141 21+=+()()()()()()222642041 21411,614 6141 21+=+()()()()()()224862261 41411,814 8161 41+=+()()()()()()()()()222 22 22 222 212 222 214 42114,2441kkkkkkkkk+=+()()()()()()()()()222 212 212 232 222 212 24 44114,1461kkkkkkkkk+=+定理得证。本文研究了复平面上开单位圆盘中一般和特殊加权 Bergman 空间上以调和多项式为符号的 Toeplitz算子的亚正规性的充分必要条件。参考文献参考文献 1 Hwang,I.S.(2005)Hyponormal Toeplitz Operators on the Bergman Space.Journal of the Korean Mathematical So-ciety,42,387-403.https:/doi.org/10.4134/JKMS.2005.42.2.387 2 Lu,Y.F.and Shi,Y.Y.(2009)Hyponormal Toeplitz Operators on the Weighted Bergman Space.Integral Equations and Operator Theory,65,115-129.https:/doi.org/10.1007/s00020-009-1712-z 3 Ahern,P.and Cuckovic,Z.(1996)A Mean Value Inequality with Applications to Bergman Space Operators.Pacific Journal of Mathematics,173,295-305.https:/doi.org/10.2140/pjm.1996.173.295 4 Hwang,I.S.and Lee,J.(2007)Hyponormal Toeplitz Operators on the Bergman Space.II.Bulletin of the Korean Ma-thematical Society,44,517-522.https:/doi.org/10.4134/BKMS.2007.44.3.517 5 Lu,Y.f.and 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