1、*四、二重积分的换元法四、二重积分的换元法 第二节二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 一、空间中曲顶柱体的体积一、空间中曲顶柱体的体积对 D 进行分割：小曲顶柱体曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 一、空间中曲顶柱体体积问题(底面积底面积)(高高)小曲顶柱体小曲顶柱体的体积的体积.小平顶柱体小平顶柱体体积为：体积为：近似代替近似代替曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量小曲顶柱体平面薄板小块(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱
2、体的体积？利用平行截面面积为已知利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法的几何体体积的计算方法.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到就是说，二重积分可以通过二次定积分来计算就是说，二重积分可以通过二次定积分来计算。由此想想，其它的几种积分是不是也可通由此想想，其它的几种积分是不是也可通过定积分来计算过定积分来计算？二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于
3、说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则例例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例例4.交换下列积分顺序解
4、解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则例例5.设在区间设在区间a,b上有连续函数上有连续函数f(x),f(x),证明证明解解:由积分的左边可知,D 为X 型域:abaoyxD将D改为Y-型域：于是，解：解：原式例例5*、给定改变积分的次序.注意1设区域D与D关于直线y=x对称，则注意2设区域D为矩形区域，即：并假设被积函数为分离变量形式，即：注意3：（偶倍奇零）若函数f(x,y)关于x是偶函数，而积分区域关于y轴例例6.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,练习练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换对应有三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,
5、用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,分划区域D 为即设则特别特别,对若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)例例7.计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得故式成立.例例8.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知2.计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.极坐
6、标极坐标 交换积分顺序提示提示:积分域如图定积分换元法*四、二重积分换元法四、二重积分换元法 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理定理:变换:是一一对应的,*因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如例如,直角坐标转化为极坐标时,例例9.计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域.解解:令则例例10.计算由所围成的闭区域 D 的面积 S.解解:令则例例11.试计算椭球体解解:由对称性令则D 的原象为的体积V.内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则则(2)一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为在变换下(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性（偶倍奇零、）应用换元公式
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