2.2-常用失效分布.ppt

三、对数正态分布三、对数正态分布3 可靠性中常用的失效分布可靠性中常用的失效分布一、指数分布一、指数分布四、威布尔分布四、威布尔分布二、正态分布二、正态分布五、二项分布五、二项分布六、泊松分布六、泊松分布一、指数分布一、指数分布指数分布一般指数分布一般记为记为1.失效概率密度函数失效概率密度函数f（t）式中式中 指数分布的失效率，为一常数。指数分布的失效率，为一常数。指数分布的失效概率密度函数指数分布的失效概率密度函数f（t）的图形）的图形如下图所示。如下图所示。2.累积失效概率函数累积失效概率函数F（t）3.可靠度函数可靠度函数R（t）可靠度函数可靠度函数R（t）的图形如下图所示。）的图形如下图所示。4.失效率函数失效率函数(t)(t)=常数常数失效率函数的图形如下图所示。失效率函数的图形如下图所示。5.平均寿命平均寿命（MTTF或或MTBF）因此，当产品寿命服从指数分布时，因此，当产品寿命服从指数分布时，其平均寿命其平均寿命与失效率与失效率互为倒数。互为倒数。6.可靠寿命可靠寿命Tr给定可靠度给定可靠度r 时，时，7.中位寿命中位寿命T0.5将将r=0.5 代入上式可得：代入上式可得：8.特征寿命特征寿命 指数分布有一个重要特性，即产品工作了指数分布有一个重要特性，即产品工作了t0 时间后，它再工作时间后，它再工作t 小时的可靠度与已工作小时的可靠度与已工作过的时间过的时间t0 无关（无记忆性），而只与时间无关（无记忆性），而只与时间t 的长短有关。的长短有关。小结小结n（1）产品失效率是与时间无关的常数，）产品失效率是与时间无关的常数，且与平均寿命互为倒数；且与平均寿命互为倒数；n（2）产品特征寿命与产品平均寿命相同；）产品特征寿命与产品平均寿命相同；n（3）产品工作状态具有）产品工作状态具有“无记忆性无记忆性”，即即t0后产品工作寿命的长短与已工作时间后产品工作寿命的长短与已工作时间的长短无关。的长短无关。n例例1:某机械设备寿命服从指数分布，其某机械设备寿命服从指数分布，其平均寿命平均寿命=10000h，求该机工作到求该机工作到t=10，100，1000，10000h各给定寿各给定寿命的失效概率。命的失效概率。n解：解：（1/h）n 例例2：设有某种电子元器件，根据以往试验：设有某种电子元器件，根据以往试验资料知道，在某种应力的条件下，其寿命服资料知道，在某种应力的条件下，其寿命服从指数分布，并且这种器件在从指数分布，并且这种器件在100h的工作的工作时间内将约有时间内将约有5%失效，求可靠寿命失效，求可靠寿命t(0.9)和可靠度和可靠度R(1000)n解：由题可知解：由题可知P(T=100)=F(100)=0.05即：即：1-=0.05,=0.0005t(0.9)=210.7hR(1000)=0.6065例例3 3：假设人的寿命服从指数分布，预期平均寿命假设人的寿命服从指数分布，预期平均寿命71岁，请问某人活到岁，请问某人活到71岁的可能性有多大？此外岁的可能性有多大？此外,50%的人的寿命为多大年龄？的人的寿命为多大年龄？（1）（2）（岁（岁)例题例题4：某设备的寿命服从指数分布，要使它：某设备的寿命服从指数分布，要使它连续工作连续工作1000h的可靠度不低于的可靠度不低于0.8，其失效，其失效率应限制在多大？率应限制在多大？二、正态分布二、正态分布T N(、2)简记为：简记为：1.失效概率密度函数失效概率密度函数f(t)式中式中 随机变量的均值；随机变量的均值；随机变量的标准差。随机变量的标准差。2.累积失效概率函数累积失效概率函数F（t）3.可靠度函数可靠度函数R（t）4.失效率函数失效率函数(t)（1）f(x)曲线以曲线以x为对称；为对称；（2）x=时，时，f(x)f(x)有最大值：有最大值：（3 3）时，时，；（4 4）f(x)f(x)曲线在曲线在 处有拐点；处有拐点；（5 5），（6 6）3原则：原则：随机变量的概率值随机变量的概率值 落在落在 中几乎是肯定的中几乎是肯定的 （99.73%）正态分布特点：正态分布特点：3准则准则 在正态分布中在正态分布中代表标准差代表标准差,代表均值代表均值x=即即为图像的对称轴为图像的对称轴 3原则即为原则即为:n数值分布在（数值分布在（,+)中的概率为中的概率为0.6826n数值分布在（数值分布在（2,+2)中的概率为中的概率为0.9544n数值分布在（数值分布在（3,+3)中的概率为中的概率为0.9974 n可以认为，随机变量的概率值几乎全部集中在可以认为，随机变量的概率值几乎全部集中在（3,+3)区间内，超出这个范围的可区间内，超出这个范围的可能性仅占不到能性仅占不到0.3%.求累积失效概率时，积分求值相当麻烦。求累积失效概率时，积分求值相当麻烦。一般进行一般进行标准化标准化处理，然后直接用标准正态积处理，然后直接用标准正态积分表求解。标准化处理主要是通过变量代换，分表求解。标准化处理主要是通过变量代换，把一般正态分布转化为标准正态分布其过程把一般正态分布转化为标准正态分布其过程如下：令如下：令则则可以得到可以得到标标准化正准化正态态分布的累分布的累积积失效概率失效概率密度和累密度和累积积失效概率函数。失效概率函数。n上两式表示均值为上两式表示均值为0，标准差为，标准差为1的标准正态的标准正态分布，记作分布，记作ZN(0,1)标准正态分布图标准正态分布图 例例1:已知已知XN(3，22)，求（求（1）P(X3)；（2）P(2X5)5)解：解：(1)标准化处理，标准化处理，(2)(2)例例2：大批：大批铆钉铆钉，规规定直径定直径d100.12mm为为合格品，合格品，=0.06mm，如估计得其标淮差如估计得其标淮差求铆钉合格的概率。求铆钉合格的概率。mmmm标准化处理标准化处理=1-2*0.02275=0.9545 解：解：(1)(2)例例3:某轴在精细加工后，其直径的尺寸变动可某轴在精细加工后，其直径的尺寸变动可用正态分布描述，且其均值为用正态分布描述，且其均值为14.90mm，标准差为，标准差为0.05mm。按图纸规定，轴径尺寸为。按图纸规定，轴径尺寸为14.90+0.1mm的的产品为合格品，求合格品率。产品为合格品，求合格品率。例例4：若统计得到人的身高若统计得到人的身高XN(1650,602)mm，希望碰头的概率小于希望碰头的概率小于1%，试设计车门高度。，试设计车门高度。解：令车门高度为解：令车门高度为x1 标准化处理：由标准化处理：由 时，查得时，查得则则x11650+2.32601790mm由题意求由题意求时的时的x1正态分布的加法定理正态分布的加法定理例例5 5：设男子的平均身高为设男子的平均身高为168cm，标准差为，标准差为6cm;女子女子的平均身高为的平均身高为158cm，标准差为，标准差为5cm。问在偶然相遇的。问在偶然相遇的一对男女中，女子高于男子的概率是多少？一对男女中，女子高于男子的概率是多少？三、对数正态分布三、对数正态分布1.失效概率密度函数失效概率密度函数f(t)2.累积失效概率函数累积失效概率函数F(t)1.失效概率密度函数失效概率密度函数f(t)对数正态分布在可靠性研究中主要用于描述材料零部件的对数正态分布在可靠性研究中主要用于描述材料、零部件的疲劳寿命、疲劳强度裂纹增长、腐蚀深度增大等现象，不仅适用疲劳寿命、疲劳强度裂纹增长、腐蚀深度增大等现象，不仅适用于寿命与时间的分布，也适用于维修与时间的分布。于寿命与时间的分布，也适用于维修与时间的分布。T ln(、2)对数正态分布是一个偏态分布，对数正态分布是一个偏态分布，而且是单峰的，见下图。而且是单峰的，见下图。2.累积失效概率函数累积失效概率函数F(t)3.可靠度函数可靠度函数R(t)4.失效率函数失效率函数(t)例例 某弹簧的疲劳寿命服从对数正态分布某弹簧的疲劳寿命服从对数正态分布LN(13.9554，0.10352)问：问：将该弹簧在使用将该弹簧在使用106次载荷循环后更换，在其更换次载荷循环后更换，在其更换前失效的概率？前失效的概率？若要保证它若要保证它99%的可靠度，应在多少次载荷循环后更换的可靠度，应在多少次载荷循环后更换？解：解：(1)循环次数为随机变量循环次数为随机变量N，令，令X=lnn，则则XN(13.9554，0.10352)标准化处理：标准化处理：故弹簧在承受故弹簧在承受106次循环载荷之前失效的概率为次循环载荷之前失效的概率为0.0885(2)可靠度可靠度R(x)=0.99，则失效概率则失效概率（z）=F(x)=1-R(x)=0.01设设 n次次 循循 环环 之之 前前 更更 换换，则则z2.326，lnn=13.717，n=9.06105次次。故故，为为保保证证可可靠靠度度为为0.99，应应在在工工作作9.06105循环次数前更换。循环次数前更换。四、威布尔正态分布四、威布尔正态分布1.失效概率密度函数失效概率密度函数f(t)2.累积失效概率函数累积失效概率函数F（t）3.可靠度函数可靠度函数R（t）1.失效概率密度函数失效概率密度函数f(t)T W(m,)三个参数（三个参数（m、）的意义）的意义当当m1时，时，f(t)曲线随时间增加曲线随时间增加出现峰值而后下降；出现峰值而后下降；当当m=3时，时，f(t)曲线已接近正态曲线已接近正态分布。分布。通常通常m=34 即可当做正态分布。即可当做正态分布。（1）形状参数）形状参数m（2）位置参数）位置参数当当0时，表示这些元件在起始时间时，表示这些元件在起始时间内不会失效，内不会失效，f(t)曲线由曲线由=0时的位置向右平移时的位置向右平移|的距离。的距离。此时，可将此时，可将称为最小保证寿命。称为最小保证寿命。（3）尺度参数）尺度参数当当值增大时，值增大时，f(t)的的高度变小而宽度变大。高度变小而宽度变大。故把故把称为尺度参数。称为尺度参数。2.累积失效概率函数累积失效概率函数F（t）3.可靠度函数可靠度函数R（t）4.失效率函数失效率函数(t)例例 已知某飞机上的机械零件的疲劳寿命服从威已知某飞机上的机械零件的疲劳寿命服从威布尔分布，参数布尔分布，参数m2，200h，3h，试推算该零件工作到试推算该零件工作到50h时不失效的概率。时不失效的概率。例题例题2：已知机械部件的疲劳寿命服从威布尔分布，且由历：已知机械部件的疲劳寿命服从威布尔分布，且由历次试验得知形状参数为次试验得知形状参数为2,尺度参数为尺度参数为200h,位置参数为位置参数为0。求求:(1）当可靠度为）当可靠度为0.95时的可靠寿命时的可靠寿命 （2）在）在200小时内平均失效率小时内平均失效率 （3）当失效率为）当失效率为0.1次次/100h的更换寿命的更换寿命 五五 二项分布二项分布 应用场合：产品抽检，抽得次品数的概率。应用场合产品抽检，抽得次品数的概率。进进行行n次次独独立立试试验验（各各次次试试验验的的结结果果互互不不影影响响），在在一一次次试试验验中中有有两两种种可可能能结结果果，事事件件发发生生的的概概率率为为p，不不发发生生的的概概率率为为q=1-p，则在则在n次试验中恰有次试验中恰有x（0，1，2，）发生的概率为：发生的概率为：称称X服从二项分布，记作服从二项分布，记作XB(np)累积发生累积发生k次的概率为：次的概率为：二项分布的二项分布的均值均值：方差方差:：独立参数：独立参数：n、p 特点特点：（：（1）参加试验的次数（）参加试验的次数（n）已知；已知；（2）参加试验的样品只有两个状态，即）参加试验的样品只有两个状态，即p+q=1;（3）参加试验的样品的两种状态发生的概率分别为参加试验的样品的两种状态发生的概率分别为p与与q，且且p、q均为常数；均为常数；（4）事件相互独立；）事件相互独立；（5）只取整数的离散型分布，可用概率分布表和条形图表示。）只取整数的离散型分布，可用概率分布表和条形图表示。例例:某型号产品在运行时间超过规定值时为合格产品。根某型号产品在运行时间超过规定值时为合格产品。根据以往的经验，该产品在规定的生产、运行条件下的次品据以往的经验，该产品在规定的生产、运行条件下的次品率为率为0.2，问从该产品中随机抽出，问从该产品中随机抽出20台，有台，有10个次品的概个次品的概率是多少率是多少？解解:：例例:将次品率为将次品率为1%的大批产品装箱，每箱装的大批产品装箱，每箱装90件，今抽件，今抽检检1箱，进行全数检验，求查出次品数不超过箱，进行全数检验，求查出次品数不超过5的概率。的概率。解解:：显然，显然，,若发现超过若发现超过5件，则次品率可能大于件，则次品率可能大于1%。例例:已知产品发生故障的概率为已知产品发生故障的概率为p=0.1。现现问从该产品中抽取问从该产品中抽取n=4的样品的失效期望值的样品的失效期望值和标准差是多少？和标准差是多少？解解:：(件）件）(件）件）六六 泊松分布（泊松分布（二项分布的特例二项分布的特例）若若n很大，很大，p很小，且很小且np=0时，则有：时，则有：（x=0,1,2,）累积分布函数：累积分布函数：则称则称X服从泊松分布，记作服从泊松分布，记作Xp()。独立参数：独立参数：一般，一般，当当 时，可用泊松分布代替二项分布时，可用泊松分布代替二项分布。用泊松分布计算。用泊松分布计算。解解:：例例:将次品率为将次品率为1%的大批产品装箱，每箱装的大批产品装箱，每箱装90件，今抽件，今抽检检1箱，进行全数检验，求查出次品数不超过箱，进行全数检验，求查出次品数不超过5的概率。的概率。1.1.某机械零件疲劳寿命服从对数正态分布，其对数均值某机械零件疲劳寿命服从对数正态分布，其对数均值与对数标准差分别为与对数标准差分别为=15，=0.3，试求当循环次数试求当循环次数N=2106次时，其失效概率次时，其失效概率?2.2.某机械零件疲劳强度服从威布尔分布，其形状参数某机械零件疲劳强度服从威布尔分布，其形状参数m=2，位置参数位置参数=150MPa，尺度参数尺度参数=50MPa，求分布的求分布的均值及方差，若应力水平达到均值及方差，若应力水平达到170MPa时，其失效概率是时，其失效概率是多少多少?6 6、某机械厂生产一批电机轴，该轴上轴颈直径、某机械厂生产一批电机轴，该轴上轴颈直径尺寸精度制造原因产生变动，根据以往的经验可尺寸精度制造原因产生变动，根据以往的经验可以判断其变动服从正态分布。通过抽样检测得知以判断其变动服从正态分布。通过抽样检测得知其均值为其均值为20.49cm20.49cm，标准差为，标准差为0.02cm0.02cm。若按该轴。若按该轴的技术要求，轴颈直径尺寸在的技术要求，轴颈直径尺寸在20.47-20.53cm20.47-20.53cm尺尺寸范围内为合格品，试求该批轴的合格品率？寸范围内为合格品，试求该批轴的合格品率？7 7、已知某电器零件的失效寿命服从正态分布，、已知某电器零件的失效寿命服从正态分布，其平均寿命为其平均寿命为600h600h，寿命标准差为，寿命标准差为100h100h，试求其，试求其工作工作400h400h的可靠度和失效概率。若要求其可靠度的可靠度和失效概率。若要求其可靠度为为0.90.9，求相应的可靠寿命。，求相应的可靠寿命。