2--梁的计算.ppt

2 2 梁的梁的计计算算定义：通常把以弯曲变形为主的杆件称作梁常见玻璃钢梁的3种主要类型：（1）层合梁、（2）夹层梁、(3)薄壁梁。2.1 2.1 层合梁层合梁如图，一矩形等截面层合梁处于纯弯曲状态，与研究普通梁一样，需作两点假定：（1）变形前垂直于梁轴的平截面，变形后仍垂直于挠曲线。（2）平行于梁轴的纵向线微元，在弯曲平面内呈同心圆弧状弯曲。纵向线微元间无相互作用力，可自由伸缩。（一）轴向应变分布规律 距中性轴为z z的x方向线微元的轴向应变 中性层的曲率半径（当曲率中心在z轴的负方向时为正曲率）正比于离中性轴的距离z z，反比于曲率半径一、层合梁的正应力（二）横截面上的正应力分布规律由假定(2)、虎克定律及轴向应变分布：距中性轴为z处的正应力 距中性轴为z处在x方向的弹性模量第k层:第k层内，距中性轴为z处的正应力 第k层内在x方向的弹性模量（三）正应力计算公式在横截面上，法向内力素构成空间平行力系，由静力平衡条件：M作用在横截面的弯矩（使梁下凸为正弯矩，反之为负弯矩）代入 的表达式得：式中，横截面对中性轴（y轴）的抗弯刚度。若用表示：若层合梁由N层组成，抗弯刚度可表示为：第k层横截面对中性轴y的惯性矩对于各向同性和均质正交异性梁，沿整个截面为一常量，因此正应力计算公式：(四)中性轴位置和抗弯刚度计算公式1.确定中性轴位置 或写成或写成式中 第k层的横截面面积 第k层形心到中性轴的距离 仅当层合梁对称铺层时，中性轴才通过截面几何形心。整个截面的抗拉刚度为：由合力之矩等于各分力矩之和，得抗拉刚度对轴的静矩：其中横截面的中性轴 NA到梁的上表面 的距离 自 到第k层下表面的距离于是当各层板厚度相同时，有：2.计算抗弯刚度整个截面对梁上表面轴的抗弯刚度为第k层横截面对自身形心轴的惯性矩：若层合梁的各单层宽度不等，则计算中性轴和抗弯刚度:由一种材料制成的均质梁，其抗弯刚度EJEJ可以分解为（弹性模量E）（截面惯性矩J）。但是，对于由不同性能的单层组成的层合梁，必须把抗弯刚度看作不能分解的整体。保证层合梁不发生弯曲破坏的条件是：例5-1图为五层层合简支梁。在跨中作用着集中力P。验算梁的抗弯强度。已知：P=5600kg，l=1000mm,b=50mm,t=20mm,材料的弹性模量：=3000kg/;，材料的设计强度：，=20kg/=10kg/。解跨中最大弯矩 层合梁为对称结构，中性轴过形心。截面抗弯刚度：计算最大弯矩截面的正应力：（1）处（梁的上、下表面）（2）处各层正应力分别小于该层材料设计强度，因此设计是安全的。正应力分布如图，在各层交界处，由于弹性模量的改变，正应力发生突变例5-2如图所示，五层层合梁，=2000kg/，=0，求截面抗弯刚度 解：二、层合梁的剪应力两个假定：（1）横截面上任一点处剪应力的方向平行于剪力；（2）横截面上同一高度上各点的剪应力，大小相等、方向相同得：距中性轴为Z处的剪应力：自至间的第i层横截面面积对中性轴的静矩i层在x方向的弹性模量保证层合梁不被破坏的条件：剪切设计强度例5-2例5-1中的层合梁；若层间剪切设计强度=1.0kg/，试绘出该梁剪切应力分布图，并校核剪切强度。解：kg ，梁宽b=50mm，抗弯刚度 =Z=1.5t处：Z=0.5t处：Z=0，中性层处：得：z=1.5t，z=0.5t，z=0，各层结合处的剪应力都小于设计强度,故各层间不会被破坏。上例中，、取不同值时，令可得：绘得剪应力分布图：三、层合梁的挠度（）（一）弯矩引起的挠度挠曲线方程：（二）剪力引起的挠度令中性轴处剪应力中性轴处最大剪应力与平均剪应力之比GA/梁的抗剪强度，常用U表示所以跨中作用集中荷载P是简支梁，跨中挠度：沿梁长作用均布荷载的简支梁，跨中挠度：对于玻璃钢梁，由于剪切模量低，剪切挠度往往不能忽略例5-4例5-1中层合梁，若剪切模量分别为试求层合梁的最大挠度。解 （1）计算抗剪刚度（2）计算层合梁挠度 2.22.2 夹层梁夹层梁 一、夹层梁的组成和容重计算（一）夹层梁的组成夹层梁由三部分组成（1）面板：主要承受由弯曲变形引起的正应力（2）中间较厚的芯材：主要承受剪应力（3）粘接面板和芯材的胶合层:在受弯构件中，胶合层主要承受剪应力（二）容重计算定义：单位体积的重量，即 夹层结构的容重（）面板的容重（）芯材的容重（）单位面积夹层结构上的胶层重量（）蜂窝夹层结构看作如下图所示的基本单元组成。即其中通常 很小，忽略不计 若d=c，则=60时，取最小值一般取二、夹层梁的应力（一）夹层梁的正应力时，上下面板的弹性模量和厚度 上下面板中线间的距离 上、下面板中线至中性轴的距离当弯矩为M时，上下面板正应力:当 时，有 （二）夹层梁的剪应力分别为经向剪应力、纬向剪应力则三、芯材和面板厚度设计最大剪力和最大弯矩芯材的剪切强度受压面板的强度受拉面板的强度设计安全系数（一）蜂窝型材的剪切强度1、由蜂壁剪切强度确定的芯材剪切强度经向、纬向剪切力蜂壁剪切强度、蜂窝芯材经向剪切强度2、由蜂壁临界应力 确定的芯材剪切强度蜂壁的弹性模量胶层的剪切强度（二）面板的拉、压强度1、面板褶皱时临界应力的估算公式：面板褶皱时的临界应力面板的弹性模量芯材在垂直面板方向的弹性模量芯材的剪切弹性模量2、面板在蜂格区内凹陷时临界应力的估算公式：面板凹陷时临界应力受压面板厚度蜂格斜边长度保证胶层不首先被破坏四、夹层梁的挠度芯材的抗剪强度l跨度 P跨中作用集中载荷五、蜂窝芯材平压弹性模量和剪切弹性模量的估算公式（一）蜂窝芯材平压弹性模量估算公式对正六角形蜂格：对于常用蜂窝，则蜂芯的弹性模量约为蜂壁弹性模量的1/30（二）蜂窝芯材剪切弹性模量估算公式 对正六角形蜂格：由于蜂壁是单层布的玻璃钢片例5-5 一跨中作用集中荷载P的简支梁，跨度l=600mm，梁宽b=100mm，集中力P=200kg，蜂窝带向与跨度方向一致。试设计面板和芯材的厚度，并计算胶层必须具有的剪切强度、夹层梁的挠度和容重。所用材料的性能：面板材料的拉压强度 弹性模量 容重 芯材蜂格尺寸：蜂壁：厚度 ，弹性模量剪切模量 ，剪切强度容重 ，取安全系数K=3解 （1）计算单位宽度梁的内力（2）计算芯材的剪切强度、剪切模量和平压弹性模量（3）确定芯材和面板的厚度，取30mm（4）验算受压面板的局部失稳 计算褶皱临界应力：凹陷临界应力：（5）计算胶层必须具有的剪切强度 胶层不首先破坏的最小强度值：（6）计算夹层梁跨中挠度（7）计算夹层容重 取六、芯材的剪切变形和横截面变形（一）芯材剪切变形对面板正应力的影响作用在横截面上的弯矩 作用在上、下面板中线处的轴向力单独作用于上、下面板的弯矩 上、下面板中轴线间距上下面板相对滑移量或作用在结合处单位长度上的水平剪切力芯材的宽度和厚度芯材剪切模量系数芯材与面板交接处上、下面板的应变：轴力N的微分方程：以跨中作用集中荷载P的简支梁为例，利用边界条件：x=0时N=0，x=1/2时式中（芯材剪切变形影响的无因次参数）（芯材剪切变形等于零时的轴向力）例5-6 考虑剪切变形影响，计算例5-5跨中截面面板的正应力解 由轴力N引起的面板正应力：弯矩M引起各面板边缘的正应力：（二）横截面变形与屈服屈曲 屈服：当弯矩增加到某一临界值Mcr时，横截面变形急剧增大，夹层梁丧失承载能力而破坏。夹层梁屈服也可以看作是屈曲的一种形式，称为屈服屈曲芯材沿板厚方向的压应力：压应力作用下芯材的高度变化量：是芯材在z方向的平压弹性模量：取夹层梁的挠曲线微分方程：其中临界状态的曲率半径和屈服弯矩：屈服时的梁高：七、夹层梁的最小重量设计（一）给定抗弯刚度，求最小重量单位宽度夹层梁弯曲刚度：单位面积夹层梁重量表达式：分别为单位面积夹层梁、面板、芯材、胶层重量分别为面板和芯材的容重令当芯材重量等于面板重量2倍时，夹层梁在保持给定抗弯刚度下的重量最小对正六角形蜂芯，令 得：考虑到蜂芯不规则，近似表示为：玻璃布蜂芯通常有：（二）给定弯矩，求梁的最小重量代入 取最小值的条件：对蜂窝芯材，由蜂格的不规则性：当芯材重量等于面板重量时，夹层梁在给定 弯矩条件下的重量最小2.32.3 薄壁梁薄壁梁一、薄壁梁中的剪应力腹板中的剪应力Q横截面上的剪力 横截面对中性轴y的惯性矩t腹板厚度 S 腹板上所求应力点z至边缘部分面积对中性轴的静矩 翼缘上水平剪应力：翼缘厚度所求应力点y到其边缘部分面 积对中性轴的静矩其中二、宽凸缘薄壁梁的有效宽度为有效宽度：式中各向同性简支梁承受均布荷载时，有效宽度和实际宽度比随（l/b）的变化规律当凸缘宽度非常大时，若取一般各向同性材料G/E=3/8，则可知，玻璃钢宽凸缘的有效宽度，约为跨度的10%三、剪切变形对正应力的影响该变形曲线的倾角剪应变横截面上距中性轴为z处的变形：剪切变形引起的正应力：对于等截面均质梁：剪切变形在梁中引起的纵向应变由剪切变形引起的正应力和弯曲变形引起的正应力方向相反，叠加后的正应力分布：剪切引起的正应力组成的弯矩：四、薄壁梁的横截面变形（一）I型梁的横截面变形M横截面上的弯矩作用在下缘单位宽度上的拉力作用在下缘上的正应力上式中，若令P作用在下缘上、指向曲率中心的分布力t下缘厚度（mm）曲率半径（mm）最大挠度：其中最大弯矩：翼缘简化为承受均布载荷 的长边嵌固悬臂板b翼缘的一侧宽度 翼缘板的横向刚度翼缘的横向弹性模量 泊松比（二）薄壁圆管的横截面变形 圆截面的抗弯刚度 k抗弯刚度下降系数 曲率半径 r、t圆管的中面半径和壁厚 泊松比在圆管中取一单位宽度圆环，假定分布力如图所示最大弯矩发生在管的上、下缘为避免圆管产生纵向开裂，设计时应保证圆管的环向刚度。